23 专项突破提升(一)（教师版）初中数学人教版九年级上册
文档属性
| 名称 | 23 专项突破提升(一)（教师版）初中数学人教版九年级上册 |
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| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 253.8KB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 人教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2025-12-31 00:00:00 | ||
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文档简介
专项突破提升(一)
二次函数的图象与性质
类型一 二次函数图象的对称性与系数的关系
1．(4分)已知抛物线y＝(x－2)2＋1，下列结论错误的是( D )
A．抛物线开口向上
B．抛物线的对称轴为直线x＝2
C．抛物线的顶点坐标为(2，1)
D．当x＜2时，y随x的增大而增大
2．(4分)已知二次函数y＝ax2＋bx－c(a≠0)，其中b＞0，c＞0，则该函数的图象可能是( C )
3．(4分)抛物线y＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0)的部分图象如图所示，设m＝a－b＋c，则m的取值范围是 －4＜m＜0 ．
类型二 二次函数的增减性与最值问题
4．(4分)已知点A(a，2)，B(b，2)，C(c，7)都在抛物线y＝(x－1)2－2上，点A在点B左侧，下列选项正确的是( D )
A．若c＜0，则a＜c＜b
B．若c＜0，则a＜b＜c
C．若c＞0，则a＜c＜b
D．若c＞0，则a＜b＜c
5．(4分)设二次函数y＝a(x－m)(x－m－k)(a＞0，m，k是实数)，则( A )
A．当k＝2时，函数y的最小值为－a
B．当k＝2时，函数y的最小值为－2a
C．当k＝4时，函数y的最小值为－a
D．当k＝4时，函数y的最小值为－2a
解析：令y＝0，则(x－m)(x－m－k)＝0，
∴x1＝m，x2＝m＋k．
∴二次函数y＝a(x－m)(x－m－k)与x轴的交点坐标是(m，0)，(m＋k，0)．
∴二次函数的对称轴是直线x＝＝＝．
∵a＞0，
∴y有最小值．
当x＝时，y最小，
即y＝a＝－a．
当k＝2时，函数y的最小值为y＝－a＝－a；
当k＝4时，函数y的最小值为y＝－a＝－4a．
故选A．
6．(4分)点A(m－1，y1)，B(m，y2)都在二次函数y＝(x－1)2＋n的图象上．若y1＜y2，则m的取值范围为( B )
A．m＞2 B．m＞
C．m＜1 D．＜m＜2
7．(10分)已知函数y＝－x2＋bx＋c(b，c为常数)的图象经过点(0，－3)，(－6，－3)．
(1)求b，c的值；
(2)当－4≤x≤0时，求y的最大值；
(3)当m≤x≤0时，若y的最大值与最小值之和为2，求m的值．
解：(1)把(0，－3)，(－6，－3)代入y＝－x2＋bx＋c，
得b＝－6，c＝－3．
(2)∵y＝－x2－6x－3＝－(x＋3)2＋6，
－4≤x≤0，
∴当x＝－3时，y有最大值，最大值为6．
(3)①当－3＜m≤0时，
当x＝0时，y有最小值，为－3．
当x＝m时，y有最大值，为－m2－6m－3．
∵y的最大值与最小值之和为2，
∴－m2－6m－3＋(－3)＝2．
∴m1＝－2，m2＝－4(舍去)．
②当m≤－3时，
当x＝－3时，y有最大值，为6．
∵y的最大值与最小值之和为2，
∴y的最小值为－4．
∴－(m＋3)2＋6＝－4．
∴m1＝－3－，m2＝－3＋(舍去)．
综上所述，m＝－2或m＝－3－．
类型三 二次函数的动点问题
8．(10分)如图，抛物线y＝x2＋bx＋c经过点A(－1，0)，B(2，－3)，与y轴交于点C，抛物线的顶点为D．
(1)求抛物线的解析式．
(2)抛物线上是否存在点P，使△PBC的面积是△BCD面积的4倍？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
解：(1)∵抛物线y＝x2＋bx＋c经过点A(－1，0)，B(2，－3)，
∴
解得
∴抛物线的解析式为y＝x2－2x－3．
(2)存在．
∵y＝x2－2x－3＝(x－1)2－4，
∴点D的坐标为(1，－4)．
令x＝0，则y＝x2－2x－3＝－3，
∴点C的坐标为(0，－3)．
又∵点B的坐标为(2，－3)，∴BC∥x轴．
∴S△BCD＝×2×1＝1．
设抛物线上的点P的坐标为(m，m2－2m－3)，∴S△PBC＝×2×|m2－2m－3－(－3)|＝－2m|．
当|m2－2m|＝4×1时，
解得m＝1±．
当m＝1＋时，m2－2m－3＝1；
当m＝1－时，m2－2m－3＝1．
综上，点P的坐标为(1＋，1)或(1－，1)．
类型四 二次函数的图象与字母系数之间的关系
9．(4分)如图，二次函数y＝ax2＋bx(a≠0)的图象过点(2，0)，下列结论错误的是( D )
A．b＞0
B．a＋b＞0
C．x＝2是关于x的方程ax2＋bx＝0(a≠0)的一个根
D．若点(x1，y1)，(x2，y2)在二次函数的图象上，则当 时，y2＜y1＜0
10．(4分)如图，二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象与y轴的交点在(0，1)与(0，2)之间，对称轴为直线x＝－1，函数最大值为4，结合图象给出下列结论：①b＝2a；②－3＜a＜－2；③4ac－b2＜0；④若关于x的一元二次方程ax2＋bx＋a＝m－4(a≠0)有两个不相等的实数根，则m＞4；⑤当x＜0时，y随x的增大而减小．其中，正确的有( B )
A．2个 B．3个
C．4个 D．5个
11．(4分)已知抛物线y＝x2－bx＋c，当x＝1时，y＜0；当x＝2时，y＜0．下列判断：①b2＞2c；②若c＞1，则b＞；③已知点，n1)，B(m2，n2)在抛物线y＝x2－bx＋c上，当 m1＜m2＜b时，n1＞n2；④若方程x2－bx＋c＝0的两个实数根分别为x1，x2，则x1＋x2＞3．其中，正确的有( C )
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
类型五 二次函数与图形变换
12．(4分)将抛物线y＝(x－1)2＋5平移后，得到抛物线的解析式为y＝x2＋2x＋3，则平移的方向和距离是( D )
A．向右平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度
B．向右平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度
C．向左平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度
D．向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度
13．(4分)小嘉说：将二次函数y＝x2的图象平移或翻折后经过点(2，0)有4种方法：
①向右平移2个单位长度；
②向右平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度；
③向下平移4个单位长度；
④沿x轴翻折，再向上平移4个单位长度．
你认为小嘉说的方法中正确的有( D )
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
14．(12分)如图，点P(a，3)在抛物线C：y＝4－(6－x)2上，且在C的对称轴的右侧．
(1)写出C的对称轴和y的最大值，并求a的值；
(2)坐标平面上放置一透明胶片，并在胶片上描画出点P及C的一段，分别记为P′，C′．平移该胶片，使C′所在抛物线对应的函数恰为y＝－x2＋6x－9．求点P′移动的最短路程．
解：(1)∵抛物线C：y＝4－(6－x)2＝－(x－6)2＋4，
∴抛物线的顶点为Q(6，4)，抛物线的对称轴为直线x＝6，y的最大值为4．
当y＝3时，3＝－(x－6)2＋4，
解得x＝5或x＝7．
∵点P在对称轴的右侧，
∴P(7，3)．∴a＝7．
(2)∵平移后的抛物线的解析式为y＝，∴平移后的顶点为Q′(3，0)．
∵平移前抛物线的顶点为Q(6，4)，∴点P′移动的最短路程为QQ′＝＝5．
15．(12分)如图，在平面直角坐标系中，抛物线M经过A(－1，0)，且顶点坐标为B(0，1)．
(1)求抛物线M的函数解析式．
(2)设F(t，0)为x轴正半轴上一点，将抛物线M绕点F旋转180°得到抛物线M1．
①若t＝1，直接写出抛物线M1的函数解析式(顶点式即可)；
②t取符合条件的值时抛物线M1的顶点B1的坐标可表示为 (2t，－1) ，当抛物线M1与线段AB有公共点时，结合函数的图象，求t的取值范围．
解：(1)由抛物线M的顶点坐标为B(0，1)，设抛物线的函数解析式为y＝ax2＋1．
将A(－1，0)代入，得a×(－1)2＋1＝0，
解得a＝－1．
∴抛物线M的函数解析式为y＝－x2＋1．
(2)①由旋转的性质，得B1(x，y)与B(0，1)关于点F(t，0)对称，
∴＝t，＝0，解得x＝2t，y＝－1．
∴当t＝1时，点B1的坐标为(2，－1)．
∴y＝(x－2)2－1．
②由题意可知抛物线M1的顶点B1的坐标可以表示为(2t，－1)．
故答案为(2t，－1)．
∵二次项系数为1，∴抛物线M1的函数解析式为y＝(x－2t)2－1(t＞0)．
如图，当抛物线M1经过点A(－1，0)时，(－1－2t)2－1＝0，
解得t1＝－1(舍去)，t2＝0．
如图，当抛物线M1经过点B(0，1)时，
(0－2t)2－1＝1，解得t1＝，t2＝－(舍去)．
结合图象可得0类型六 二次函数与一次函数的综合问题
16．(4分)如图，已知抛物线y＝ax2＋c与直线y＝kx＋m交于A(－3，y1)，B(1，y2)两点，则关于x的不等式ax2＋c≥－kx＋m 的解集是( D )
A．x≤－3或x≥1
B．x≤－1或x≥3
C．－3≤x≤1
D．－1≤x≤3
17．(4分)如图，抛物线y＝－x2－6x－5交x轴于A，B两点，交y轴于点C，D(m，m＋1)是抛物线上的点，则点D关于直线AC的对称点的坐标为 (－5，－4)或(0，1) ．
18．(14分)如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝x的图象与二次函数y＝－x2＋bx(b为常数)的图象相交于O，A两点，点A的坐标为(3，m)．
(1)求m的值以及二次函数的解析式；
(2)根据图象，直接写出不等式－x2＋bx＜x的解集；
(3)若P为抛物线的顶点，连接OP，AP，求△POA的面积．
解：(1)∵点A(3，m)在一次函数y＝x的图象上，
∴m＝3．
将点A(3，3)代入y＝－x2＋bx，
得3＝－32＋3b，
解得b＝4．
故二次函数的解析式为y＝－x2＋4x．
(2)由图象可知，一次函数与二次函数相交于O(0，0)，A(3，3)两点，
观察图象可以看出当x＜0或x＞3时，y＝＋bx的图象在y＝x图象的下方，
∴不等式－x2＋bx＜x的解集为x<0或x>3．
(3)如图，连接AB，分别过点P，A向x轴作垂线，垂足分别为E，F．
∵点P为抛物线的顶点，
∴点P的坐标为(2，4)．
由题意，得A(3，3)，抛物线与x轴的另一个交点为B(4，0)．
∴OE＝2，PE＝4，EF＝1，AF＝3，BF＝1，
则S四边形APOB＝×2×4＋×(4＋3)×1＋×1×3＝9．
∵S△ABO＝×4×3＝6，
∴S△POA＝S四边形APOB－S△ABO＝9－6＝3．
∴△POA的面积为3．
类型七 二次函数与方程、不等式
19．(4分)已知抛物线y＝ax2＋bx＋c的图象与x轴交于点A(－2，0)，B(4，0)，若以AB为直径的圆与在x轴下方的抛物线有交点，则a的取值范围是( A )
A．a≥ B．a＞
C．0＜a＜ D．0＜a≤
20．(4分)已知函数y＝ax2－(a＋1)x＋1，有下列说法：
①若该函数图象与x轴只有一个交点，则a＝1；
②方程ax2－(a＋1)x＋1＝0至少有一个整数根；
③若＜x＜1，则y＝ax2－(a＋1)x＋1的函数值都是负数；
④不存在实数a，使得ax2－(a＋1)x＋1≤0对任意实数x都成立．
其中，不正确的有( C )
A．0个 B．1个
C．2个 D．3个
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二次函数的图象与性质
类型一 二次函数图象的对称性与系数的关系
1．(4分)已知抛物线y＝(x－2)2＋1，下列结论错误的是( D )
A．抛物线开口向上
B．抛物线的对称轴为直线x＝2
C．抛物线的顶点坐标为(2，1)
D．当x＜2时，y随x的增大而增大
2．(4分)已知二次函数y＝ax2＋bx－c(a≠0)，其中b＞0，c＞0，则该函数的图象可能是( C )
3．(4分)抛物线y＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0)的部分图象如图所示，设m＝a－b＋c，则m的取值范围是 －4＜m＜0 ．
类型二 二次函数的增减性与最值问题
4．(4分)已知点A(a，2)，B(b，2)，C(c，7)都在抛物线y＝(x－1)2－2上，点A在点B左侧，下列选项正确的是( D )
A．若c＜0，则a＜c＜b
B．若c＜0，则a＜b＜c
C．若c＞0，则a＜c＜b
D．若c＞0，则a＜b＜c
5．(4分)设二次函数y＝a(x－m)(x－m－k)(a＞0，m，k是实数)，则( A )
A．当k＝2时，函数y的最小值为－a
B．当k＝2时，函数y的最小值为－2a
C．当k＝4时，函数y的最小值为－a
D．当k＝4时，函数y的最小值为－2a
解析：令y＝0，则(x－m)(x－m－k)＝0，
∴x1＝m，x2＝m＋k．
∴二次函数y＝a(x－m)(x－m－k)与x轴的交点坐标是(m，0)，(m＋k，0)．
∴二次函数的对称轴是直线x＝＝＝．
∵a＞0，
∴y有最小值．
当x＝时，y最小，
即y＝a＝－a．
当k＝2时，函数y的最小值为y＝－a＝－a；
当k＝4时，函数y的最小值为y＝－a＝－4a．
故选A．
6．(4分)点A(m－1，y1)，B(m，y2)都在二次函数y＝(x－1)2＋n的图象上．若y1＜y2，则m的取值范围为( B )
A．m＞2 B．m＞
C．m＜1 D．＜m＜2
7．(10分)已知函数y＝－x2＋bx＋c(b，c为常数)的图象经过点(0，－3)，(－6，－3)．
(1)求b，c的值；
(2)当－4≤x≤0时，求y的最大值；
(3)当m≤x≤0时，若y的最大值与最小值之和为2，求m的值．
解：(1)把(0，－3)，(－6，－3)代入y＝－x2＋bx＋c，
得b＝－6，c＝－3．
(2)∵y＝－x2－6x－3＝－(x＋3)2＋6，
－4≤x≤0，
∴当x＝－3时，y有最大值，最大值为6．
(3)①当－3＜m≤0时，
当x＝0时，y有最小值，为－3．
当x＝m时，y有最大值，为－m2－6m－3．
∵y的最大值与最小值之和为2，
∴－m2－6m－3＋(－3)＝2．
∴m1＝－2，m2＝－4(舍去)．
②当m≤－3时，
当x＝－3时，y有最大值，为6．
∵y的最大值与最小值之和为2，
∴y的最小值为－4．
∴－(m＋3)2＋6＝－4．
∴m1＝－3－，m2＝－3＋(舍去)．
综上所述，m＝－2或m＝－3－．
类型三 二次函数的动点问题
8．(10分)如图，抛物线y＝x2＋bx＋c经过点A(－1，0)，B(2，－3)，与y轴交于点C，抛物线的顶点为D．
(1)求抛物线的解析式．
(2)抛物线上是否存在点P，使△PBC的面积是△BCD面积的4倍？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
解：(1)∵抛物线y＝x2＋bx＋c经过点A(－1，0)，B(2，－3)，
∴
解得
∴抛物线的解析式为y＝x2－2x－3．
(2)存在．
∵y＝x2－2x－3＝(x－1)2－4，
∴点D的坐标为(1，－4)．
令x＝0，则y＝x2－2x－3＝－3，
∴点C的坐标为(0，－3)．
又∵点B的坐标为(2，－3)，∴BC∥x轴．
∴S△BCD＝×2×1＝1．
设抛物线上的点P的坐标为(m，m2－2m－3)，∴S△PBC＝×2×|m2－2m－3－(－3)|＝－2m|．
当|m2－2m|＝4×1时，
解得m＝1±．
当m＝1＋时，m2－2m－3＝1；
当m＝1－时，m2－2m－3＝1．
综上，点P的坐标为(1＋，1)或(1－，1)．
类型四 二次函数的图象与字母系数之间的关系
9．(4分)如图，二次函数y＝ax2＋bx(a≠0)的图象过点(2，0)，下列结论错误的是( D )
A．b＞0
B．a＋b＞0
C．x＝2是关于x的方程ax2＋bx＝0(a≠0)的一个根
D．若点(x1，y1)，(x2，y2)在二次函数的图象上，则当 时，y2＜y1＜0
10．(4分)如图，二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象与y轴的交点在(0，1)与(0，2)之间，对称轴为直线x＝－1，函数最大值为4，结合图象给出下列结论：①b＝2a；②－3＜a＜－2；③4ac－b2＜0；④若关于x的一元二次方程ax2＋bx＋a＝m－4(a≠0)有两个不相等的实数根，则m＞4；⑤当x＜0时，y随x的增大而减小．其中，正确的有( B )
A．2个 B．3个
C．4个 D．5个
11．(4分)已知抛物线y＝x2－bx＋c，当x＝1时，y＜0；当x＝2时，y＜0．下列判断：①b2＞2c；②若c＞1，则b＞；③已知点，n1)，B(m2，n2)在抛物线y＝x2－bx＋c上，当 m1＜m2＜b时，n1＞n2；④若方程x2－bx＋c＝0的两个实数根分别为x1，x2，则x1＋x2＞3．其中，正确的有( C )
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
类型五 二次函数与图形变换
12．(4分)将抛物线y＝(x－1)2＋5平移后，得到抛物线的解析式为y＝x2＋2x＋3，则平移的方向和距离是( D )
A．向右平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度
B．向右平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度
C．向左平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度
D．向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度
13．(4分)小嘉说：将二次函数y＝x2的图象平移或翻折后经过点(2，0)有4种方法：
①向右平移2个单位长度；
②向右平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度；
③向下平移4个单位长度；
④沿x轴翻折，再向上平移4个单位长度．
你认为小嘉说的方法中正确的有( D )
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
14．(12分)如图，点P(a，3)在抛物线C：y＝4－(6－x)2上，且在C的对称轴的右侧．
(1)写出C的对称轴和y的最大值，并求a的值；
(2)坐标平面上放置一透明胶片，并在胶片上描画出点P及C的一段，分别记为P′，C′．平移该胶片，使C′所在抛物线对应的函数恰为y＝－x2＋6x－9．求点P′移动的最短路程．
解：(1)∵抛物线C：y＝4－(6－x)2＝－(x－6)2＋4，
∴抛物线的顶点为Q(6，4)，抛物线的对称轴为直线x＝6，y的最大值为4．
当y＝3时，3＝－(x－6)2＋4，
解得x＝5或x＝7．
∵点P在对称轴的右侧，
∴P(7，3)．∴a＝7．
(2)∵平移后的抛物线的解析式为y＝，∴平移后的顶点为Q′(3，0)．
∵平移前抛物线的顶点为Q(6，4)，∴点P′移动的最短路程为QQ′＝＝5．
15．(12分)如图，在平面直角坐标系中，抛物线M经过A(－1，0)，且顶点坐标为B(0，1)．
(1)求抛物线M的函数解析式．
(2)设F(t，0)为x轴正半轴上一点，将抛物线M绕点F旋转180°得到抛物线M1．
①若t＝1，直接写出抛物线M1的函数解析式(顶点式即可)；
②t取符合条件的值时抛物线M1的顶点B1的坐标可表示为 (2t，－1) ，当抛物线M1与线段AB有公共点时，结合函数的图象，求t的取值范围．
解：(1)由抛物线M的顶点坐标为B(0，1)，设抛物线的函数解析式为y＝ax2＋1．
将A(－1，0)代入，得a×(－1)2＋1＝0，
解得a＝－1．
∴抛物线M的函数解析式为y＝－x2＋1．
(2)①由旋转的性质，得B1(x，y)与B(0，1)关于点F(t，0)对称，
∴＝t，＝0，解得x＝2t，y＝－1．
∴当t＝1时，点B1的坐标为(2，－1)．
∴y＝(x－2)2－1．
②由题意可知抛物线M1的顶点B1的坐标可以表示为(2t，－1)．
故答案为(2t，－1)．
∵二次项系数为1，∴抛物线M1的函数解析式为y＝(x－2t)2－1(t＞0)．
如图，当抛物线M1经过点A(－1，0)时，(－1－2t)2－1＝0，
解得t1＝－1(舍去)，t2＝0．
如图，当抛物线M1经过点B(0，1)时，
(0－2t)2－1＝1，解得t1＝，t2＝－(舍去)．
结合图象可得0
16．(4分)如图，已知抛物线y＝ax2＋c与直线y＝kx＋m交于A(－3，y1)，B(1，y2)两点，则关于x的不等式ax2＋c≥－kx＋m 的解集是( D )
A．x≤－3或x≥1
B．x≤－1或x≥3
C．－3≤x≤1
D．－1≤x≤3
17．(4分)如图，抛物线y＝－x2－6x－5交x轴于A，B两点，交y轴于点C，D(m，m＋1)是抛物线上的点，则点D关于直线AC的对称点的坐标为 (－5，－4)或(0，1) ．
18．(14分)如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝x的图象与二次函数y＝－x2＋bx(b为常数)的图象相交于O，A两点，点A的坐标为(3，m)．
(1)求m的值以及二次函数的解析式；
(2)根据图象，直接写出不等式－x2＋bx＜x的解集；
(3)若P为抛物线的顶点，连接OP，AP，求△POA的面积．
解：(1)∵点A(3，m)在一次函数y＝x的图象上，
∴m＝3．
将点A(3，3)代入y＝－x2＋bx，
得3＝－32＋3b，
解得b＝4．
故二次函数的解析式为y＝－x2＋4x．
(2)由图象可知，一次函数与二次函数相交于O(0，0)，A(3，3)两点，
观察图象可以看出当x＜0或x＞3时，y＝＋bx的图象在y＝x图象的下方，
∴不等式－x2＋bx＜x的解集为x<0或x>3．
(3)如图，连接AB，分别过点P，A向x轴作垂线，垂足分别为E，F．
∵点P为抛物线的顶点，
∴点P的坐标为(2，4)．
由题意，得A(3，3)，抛物线与x轴的另一个交点为B(4，0)．
∴OE＝2，PE＝4，EF＝1，AF＝3，BF＝1，
则S四边形APOB＝×2×4＋×(4＋3)×1＋×1×3＝9．
∵S△ABO＝×4×3＝6，
∴S△POA＝S四边形APOB－S△ABO＝9－6＝3．
∴△POA的面积为3．
类型七 二次函数与方程、不等式
19．(4分)已知抛物线y＝ax2＋bx＋c的图象与x轴交于点A(－2，0)，B(4，0)，若以AB为直径的圆与在x轴下方的抛物线有交点，则a的取值范围是( A )
A．a≥ B．a＞
C．0＜a＜ D．0＜a≤
20．(4分)已知函数y＝ax2－(a＋1)x＋1，有下列说法：
①若该函数图象与x轴只有一个交点，则a＝1；
②方程ax2－(a＋1)x＋1＝0至少有一个整数根；
③若＜x＜1，则y＝ax2－(a＋1)x＋1的函数值都是负数；
④不存在实数a，使得ax2－(a＋1)x＋1≤0对任意实数x都成立．
其中，不正确的有( C )
A．0个 B．1个
C．2个 D．3个
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