24　专项突破提升(二)（教师版）初中数学人教版九年级上册

专项突破提升(二)
二次函数的应用
类型一　销售利润问题
1．(4分)某商店购进一批成本为5角的面包，如果以单价7角销售，每天可销售160个．在此基础上，这种面包的单价每提高1角，每天就会少卖出20个．若设每个面包上涨x(x＞0)角，每天销售利润为y角，则可列函数解析式为y＝(7＋x－5)(160－20x)，关于所列函数解析式中出现的代数式，下列说法错误的是(　A　)
A．(7＋x－5)表示涨价后面包的单价
B．20x表示涨价后少卖出面包的数量
C．(160－20x)表示涨价后卖出面包的数量
D．(7＋x)表示涨价后面包的单价
2．(4分)将进货单价为30元的某种商品按零售价100元1件卖出时，每天能卖出20件．若这种商品的零售价在一定范围内每降价1元，其日销售量就增加1件，为了获得最大的利润，则应降价(　C　)
A．5元 B．15元
C．25元 D．35元
3．(4分)某食品零售店新上架一款冷饮产品，每个成本为8元，在销售过程中，每天的销售量y(个)与销售价格x(元/个)的关系如图所示，当10≤x≤20时，其图象是线段AB，则该食品零售店每天销售这款冷饮产品的最大利润为 121 元．
4．(10分)李大爷每天到批发市场购进某种水果进行销售，这种水果每箱10 kg，批发商规定：整箱购买，一箱起售，每人一天购买不超过10箱；当购买1箱时，批发价为8.2元/千克，每多购买1箱，批发价每千克降低0.2元．根据李大爷的销售经验，这种水果售价为12元/千克时，每天可销售1箱；售价每千克降低0.5元，每天可多销售1箱．设这种水果的批发价为y(元/千克)，购进数量为x(箱)，且1≤x≤10．
(1)求这种水果的批发价y(元/千克)关于购进数量x(箱)的函数解析式．
(2)若每天购进的这种水果需当天全部售完，请你计算，李大爷每天应购进这种水果多少箱，才能使每天所获利润最大？最大利润是多少？
解：(1)根据题意，得y＝8.2－0.2(x－1)＝－0.2x＋8.4．
答：这种水果批发价y(元/千克)关于购进数量x(箱)的函数解析式为y＝－0.2x＋8.4．
(2)设李大爷每天所获利润是w元．
由题意，得w＝[12－0.5(x－1)－(－0.2x＋8.4)]×10x＝－3x2＋41x＝－3＋．
∵－3＜0，x为正整数，且＞，
∴当x＝7时，w取最大值，最大值为－3×＋＝140(元)．
答：李大爷每天应购进这种水果7箱，才能使每天所获利润最大，最大利润是140元．
5．(12分)某企业投入60万元(只计入第一年成本)生产某种产品，按网上订单生产并销售(生产量等于销售量)．经测算，该产品网上每年的销售量y(万件)与售价x(元/件)之间满足函数y＝24－x，第一年除60万元外其他成本为8元/件．
(1)求该产品第一年的利润w(万元)关于售价x(元/件)的函数解析式．
(2)该产品第一年利润为4万元，第二年将它全部作为技改资金再次投入(只计入第二年成本)后，其他成本下降2元/件．
①求该产品第一年的售价；
②若第二年售价不高于第一年，销售量不超过13万件，则第二年利润最少是多少万元？
解：(1)根据题意，得w＝(x－8)(24－x)－60＝＋32x－252．
(2)①∵该产品第一年利润为4万元，
∴4＝－x2＋32x－252，
解得x1＝x2＝16．
答：该产品第一年的售价是16元．
②∵第二年产品售价不超过第一年的售价，销售量不超过13万件，
∴解得11≤x≤16．
设第二年利润是w′万元．
w′＝(x－6)(24－x)－4＝－x2＋30x－148．
∵抛物线开口向下，对称轴为直线x＝15，
11≤x≤16，
∴当x＝11时，w′有最小值，最小为(11－6)×(24－11)－4＝61(万元)．
答：第二年的利润最少是61万元．
6．(12分)某文具店最近有A，B两款纪念册比较畅销．该店购进A款纪念册5本和B款纪念册4本共需156元，购进A款纪念册3本和B款纪念册5本共需130元．在销售中发现：A款纪念册售价为32元/本时，每天的销售量为40本，每降低1元可多售出2本；B款纪念册售价为22元/本时，每天的销售量为80本，B款纪念册每天的销售量y(本)与售价x(元/本)之间满足一次函数关系，其部分对应数据如表所示：
售价x/(元/本) … 22 23 24 25 …
每天销售量y/本 … 80 78 76 74 …
(1)求A，B两款纪念册每本的进价分别为多少元．
(2)该店准备降低每本A款纪念册的利润，同时提高每本B款纪念册的利润，且这两款纪念册每天销售总数不变，设A款纪念册每本降价m元．
①直接写出B款纪念册每天的销售量；(用含m的代数式表示)
②当A款纪念册每本售价为多少元时，该店每天所获利润最大？最大利润是多少？
解：(1)设A款纪念册每本的进价为a元，B款纪念册每本的进价为b元．
根据题意，得
解得
答：A款纪念册每本的进价为20元，B款纪念册每本的进价为14元．
(2)①根据题意，A款纪念册每本降价m元，可多售出2m本．
∵两款纪念册每天销售总数不变，
∴B款纪念册每天的销售量为(80－2m)本．
②设B款纪念册每天的销售量y(本)与售价x(元/本)之间满足的一次函数关系是y＝kx＋b′．
根据表格，得解得
∴y＝－2x＋124．
当y＝80－2m时，x＝22＋m，
即当B款纪念册每天的销售量为(80－2m)本时，每本售价是(22＋m)元．
设该店每天所获利润是w元．
由已知可得w＝(32－m－20)(40＋2m)＋(22＋m－14)(80－2m)＝－4m2＋48m＋1 120＝＋1 264．
∵－4＜0，
∴当m＝6时，w取最大值，最大值为1 264，
此时A款纪念册每本售价为32－m＝32－6＝26．
答：当A款纪念册每本售价为26元时，该店每天所获利润最大，最大利润是1 264元．
类型二　抛物线形问题
7．(4分)如图所示是抛物线形的拱桥，当水面离拱顶2 m时，水面宽4 m．若水面宽为2 m，则水面下降(　A　)
A．1 m B．2 m
C．3 m D．10 m
8．(12分)现要修建一条隧道，其截面为抛物线形，如图所示，线段OE表示水平的路面，以O为坐标原点，以OE所在直线为x轴，以过点O且垂直于x轴的直线为y轴，建立平面直角坐标系．根据设计要求：OE＝10 m，该抛物线的顶点P到OE的距离为9 m．
(1)求满足设计要求的抛物线的函数解析式；
(2)如图，现需在这一隧道内壁的点A，B处分别安装照明灯．已知点A，B到OE的距离均为6 m，求点A，B的坐标．
解：(1)由题意，得抛物线的顶点为P(5，9)，
∴设抛物线的解析式为y＝a(x－5)2＋9．
把(0，0)代入，得a＝－，∴抛物线的函数解析式为y＝－(x－5)2＋9．
(2)令y＝6，得－(x－5)2＋9＝6，
解得x1＝5＋，x2＝5－．
∴A，B．
类型三　投掷类抛物线形问题
9．(4分)如图(1)，校运动会上，九年级的同学们进行了投实心球比赛．我们发现，实心球在空中飞行的轨迹可以近似看作是抛物线．如图(2)建立平面直角坐标系，已知实心球运动的高度y(m)与水平距离x(m)之间的函数关系是y＝－x2＋x＋，则该同学此次投掷实心球的成绩是(　D　)
(1)　　 (2)
第9题图
A．2 m B．6 m
C．8 m D．10 m
10．(4分)距离地面有一定高度的某发射装置竖直向上发射物体，物体离地面的高度h(m)与物体运动的时间t(s)之间满足函数关系h＝－5t2＋mt＋n，其图象如图所示，物体运动的最高点离地面20 m，物体从发射到落地的运动时间为3 s．设w表示 0 s 到t s时h的值的“极差”(即0 s到t s时h的最大值与最小值的差)，则当0≤t≤1时，w的取值范围是 0≤w≤5 ；当2≤t≤3时，w的取值范围是 5≤w≤20 ．
类型四　图形面积问题
11．(4分)九(2)班计划在劳动实践基地内种植蔬菜，班长买回来8 m长的围栏，准备围成一边靠墙(墙足够长)的菜园，为了让菜园面积尽可能大，如图，同学们提出了围成矩形、等腰三角形(底边靠墙)、半圆形这三种方案，最佳方案是(　C　)
A．方案1 B．方案2
C．方案3 D．方案1或方案2
12．(4分)如图，在长为20 m、宽为14 m的矩形花圃里建有等宽的十字形小径．若小径的宽不超过1 m，则花圃中的阴影部分的面积有(　A　)
A．最小值，为247 m2
B．最小值，为266 m2
C．最大值，为247 m2
D．最大值，为266 m2
13．(10分)如图，在平面直角坐标系中，菱形OABC的顶点A在x轴正半轴上，顶点C的坐标为(4，3)，D是抛物线y＝－x2＋6x上一点，且在x轴上方，则△BCD面积的最大值是多少？
解：∵D是抛物线y＝－x2＋6x上一点，
∴设D(x，－x2＋6x)．
∵顶点C的坐标为(4，3)，
∴OC＝＝5．
∵四边形OABC是菱形，
∴BC＝OC＝5，BC∥x轴．
∴S△BCD＝×5×(－x2＋6x－3)＝－(x－3)2＋15．
∵－＜0，
∴S△BCD有最大值，最大值为15．
14．(12分)某农场计划建造一个矩形养殖场，为充分利用现有资源，该矩形养殖场一面靠墙(墙的长度为10 m)，另外三面用栅栏围成，中间再用栅栏把它分成面积为1∶2的两个矩形，已知栅栏的总长度为24 m，设较小矩形的宽为x m(如图)．
(1)若矩形养殖场的总面积为36 m2，求此时x的值；
(2)当x为多少时，矩形养殖场的总面积最大？最大面积为多少？
解：(1)根据题意，较大矩形的宽为2x m，长为＝(8－x)m，
∴(x＋2x)(8－x)＝36，
解得x1＝2，x2＝6．
经检验，当x＝6时，3x＝18＞10，不符合题意，舍去，∴x＝2．
答：此时x的值为2．
(2)设矩形养殖场的总面积是y m2．
∵墙的长度为10 m，
∴0＜x≤．
根据题意，得y＝(x＋2x)×(8－x)＝＋24x＝－3(x－4)2＋48．
∵－3＜0，0∴当x＝时，y取最大值，最大值为－3×＋48＝．
答：当x＝时，矩形养殖场的总面积最大，最大面积为 m2．
15．(12分)如图是一只菱形风筝的骨架示意图，它由4条竹棒AC，BD，EF，GH组成，其中E，F，G，H分别是菱形ABCD四边的中点，现有一根长为80 cm的竹棒，正好锯成风筝的四条骨架，设AC＝x cm，菱形ABCD的面积为y cm2．
(1)写出y关于x的函数解析式；
(2)为了使风筝在空中有较好的稳定性，要求25 cm≤AC≤BD，那么当骨架AC的长为多少时，这风筝即菱形ABCD的面积最大？此时最大面积为多少？
解：(1)∵E，F分别为AB，AD的中点，
∴EF＝BD．
同理，GH＝BD．
∵EF＋BD＋GH＋AC＝80 cm，
∴BD＝cm．
∵四边形ABCD是菱形，
∴y＝x＝－x2＋20x．
(2)∵AC≤BD，∴x≤．
∴x≤32．∴25≤x≤32．
∴y＝－x2＋20x＝－(x－40)2＋400．
∵－＜0，25≤x≤32，
∴当x＝32，即AC为32 cm时，风筝即菱形ABCD的面积最大，此时最大面积为384 cm2．
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