25　专项突破提升(三)（教师版）初中数学人教版九年级上册

专项突破提升(三)
探究圆的有关题型
类型一　与圆的基本性质有关的计算
1．(4分)如图，AB是⊙O的直径，∠ACD＝∠CAB，AD＝2，AC＝4，则⊙O的半径为(　D　)
A．2 B．3
C．2 D．
2．(4分)工人师傅为检测该厂生产的一种铁球的大小是否符合要求，设计了一个如图(1)所示的工件槽，其两个底角均为90°，将形状规则的铁球放入槽内时，若同时具有图(1)所示的A，B，E三个接触点，该球的大小就符合要求．图(2)是过A，B，E三点的截面示意图，已知⊙O的直径就是铁球的直径，AB是⊙O的弦，CD切⊙O于点E，AC⊥CD，BD⊥CD．若CD＝16 cm，AC＝BD＝4 cm，则这种铁球的直径为(　C　)
第2题图
A．10 cm B．15 cm
C．20 cm D．24 cm
3．(4分)如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形．若∠BCD＝121°，则∠BOD的度数为(　C　)
A．138° B．121°
C．118° D．112°
4．(4分)一圆形玻璃镜面损坏了一部分，为得到同样大小的镜面，工人师傅用直角尺作如图所示的测量，测得AB＝12 cm，BC＝5 cm，则圆形镜面的半径为 cm ．
5．(10分)如图是一个半圆形桥洞的截面示意图，圆心为O，直径AB是河底线，弦CD是水位线，CD∥AB，且AB＝26 m，OE⊥CD于点E．水位正常时测得OE∶CD＝5∶24．
(1)求CD的长；
(2)现汛期来临，水面若以每小时4 m的速度上升，则经过多长时间桥洞会刚好被灌满？
解：(1)∵直径AB＝26 m，
∴OD＝AB＝×26＝13(m)．
∵OE⊥CD，∴DE＝CD．
∵OE∶CD＝5∶24，
∴OE∶DE＝5∶12．
设OE＝5x m，DE＝12x m．
在Rt△ODE中，(5x)2＋(12x)2＝132，
解得x1＝1，x2＝－1(舍去)．
∴OE＝5 m，DE＝12 m．
∴CD＝2DE＝2×12＝24(m)．
(2)如图，延长OE交⊙O于点F．
由(1)得OE＝5 m，
∴EF＝OF－OE＝13－5＝8(m)．
8÷4＝2(h)，即经过2 h桥洞会刚好被灌满．
类型二　与圆的基本性质有关的证明
6．(4分)如图，A，B，C，D是⊙O上的四个点，且AB＝CD，OE⊥AB，OF⊥CD，则下列结论错误的是(　D　)
A．＝ B．OE＝OF
C．∠AOB＝∠COD D．＝
7．(10分)如图，点A，B，C，D，E都在⊙O上，AC平分∠BAD，且AB∥CE．求证：AD＝CE．
证明：∵AB∥CE，∴∠C＝∠BAC．
∵AC平分∠BAD，∴∠BAC＝∠DAC．
∴∠C＝∠DAC．∴＝．
∴＝．
∴＝．∴AD＝CE．
8．(10分)如图，△ABC内接于⊙O，P为上异于A，B两点的一动点，当△ABC满足一定条件时，PA能否平分∠BPC的外角∠CPE？若能，请写出△ABC满足的条件并证明；若不能，请说明理由．
解：当AB＝AC时，PA平分∠BPC的外角∠CPE．证明如下：
∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB．
又∵∠APE＋∠APB＝180°，∠ACB＋∠APB＝180°，
∴∠APE＝∠ACB．
又∵∠APC＝∠ABC，
∴∠APE＝∠APC，即当AB＝AC时，PA平分∠BPC的外角∠CPE．
类型三　与圆的切线有关的计算
9．(4分)如图，在平面直角坐标系中，半径为4的⊙P的圆心P的坐标为(－6，0)，将⊙P沿x轴的正方向平移，使得⊙P与y轴相切，则平移的距离为(　D　)
A．2 B．6
C．10 D．2或10
10．(4分)如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB为⊙O的直径，过点C作⊙O的切线，交AB的延长线于点D．若∠A＝23°，则∠D的度数是(　C　)
A．57° B．46°
C．44° D．23°
11．(4分)如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，过点C作⊙O的切线交AB的延长线于点D，连接AC．若BD＝AO＝2，则AC的长度为(　D　)
A．2 B．
C．4 D．2
12．(4分)如图，已知△ABE为直角三角形，∠ABE＝90°，BC为⊙O的切线，C为切点，CA＝CD，则△ABC和△CDE的面积之比为(　B　)
A．1∶3 B．1∶2
C．∶2 D．(－1)∶1
13．(4分)如图，PA与⊙O相切于点A，PO与⊙O相交于点B，点C在优弧上，且与点A，B不重合．若∠C＝26°，则∠P的度数为 38° ．
14．(4分)如图，在△ABC中，AC＝2，BC＝4，点O在BC上，以点O为圆心、OB长为半径的圆与AC相切于点A．D是边BC上的动点，当△ACD为直角三角形时，AD的长为 或 ．
类型四　与圆的切线有关的证明
15．(12分)已知AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，D为BA延长线上的一点，连接CD．
(1)如图(1)，若CO⊥AB，∠D＝30°，OA＝1，求AD的长；
(2)如图(2)，若DC与⊙O相切，E为OA上一点，且∠ACD＝∠ACE．求证：CE⊥AB．
(1)
(2)
第15题图
(1)解：∵OC＝OA＝1，CO⊥AB，∠D＝30°，
∴CD＝2，OD＝．
∴AD＝OD－OA＝－1．
(2)证明：∵DC与⊙O相切，
∴OC⊥DC，
即∠ACD＋∠OCA＝90°．
∵OA＝OC，
∴∠OCA＝∠OAC．
∵∠ACD＝∠ACE，
∴∠OAC＋∠ACE＝90°．
∴∠AEC＝90°，即CE⊥AB．
16．(14分)如图，四边形ABCD是⊙O的内接正方形，AB＝4，PC，PD是⊙O的两条切线，C，D为切点．
(1)如图(1)，求⊙O的半径；
(2)如图(1)，若E是BC的中点，连接PE，求PE的长度；
(3)如图(2)，若M是边BC上任意一点(不含点B，C)，以M为直角顶点，在BC的上方作∠AMN＝90°，交直线CP于点N．求证：AM＝MN．
(1)
(2)
第16题图
(1)解：如图(1)，连接BD．
∵四边形ABCD是⊙O的内接正方形，∠BAD＝90°，
∴BD为⊙O的直径．
在Rt△ABD中，∠BAD＝90°，AB＝AD＝4，
∴BD＝＝＝4．
∴⊙O的半径为2．
(1)
第16题解图
(2)解：如图(1)，连接OE，OC，OP．
∵PC，PD是⊙O的两条切线，C，D为切点，
∴∠ODP＝∠OCP＝90°．
∵四边形ABCD是⊙O的内接正方形，
∴∠DOC＝90°，OD＝OC．
∴四边形DOCP是正方形．
∴OP＝＝＝4，∠POC＝45°．
∵E是BC的中点，∴OE⊥BC，EC＝BC＝×4＝2，OE＝DC＝×4＝2．
∴∠EOC＝45°．∴∠EOP＝90°．
在Rt△OPE中，∠EOP＝90°，OE＝2，OP＝4，
∴PE＝＝2．
(3)证明：如图(2)，在AB上截取AF＝MC，连接FM，OC，OD．
(2)
第16题解图
∵AB＝BC，∴BF＝BM．
∵∠B＝90°，∴∠BFM＝∠BMF＝45°．
∴∠AFM＝135°．
又∵在正方形OCPD中，∠DCN＝45°，
∴∠MCN＝∠AFM＝135°．
∵∠AMN＝90°，
∴∠AMB＋∠CMN＝90°．
∵∠B＝90°，
∴∠AMB＋∠BAM＝90°．
∴∠BAM＝∠CMN．
∴△AFM≌△MCN(ASA)．
∴AM＝MN．
类型五　与外接圆和内切圆有关的计算或证明
17．(4分)如图，⊙O是△ABC的外接圆，AC是⊙O的直径，点P在⊙O上．若∠ACB＝40°，则∠BPC的度数是(　C　)
A．40° B．45°
C．50° D．55°
第17题图
第18题图
18．(4分)如图，在四边形材料ABCD中，AD∥BC，∠A＝90°，AD＝9 cm，AB＝20 cm，BC＝24 cm．现用此材料截出一个面积最大的圆形模板，则此圆的半径是(　B　)
A． cm B．8 cm
C．6 cm D．10 cm
19．(4分)如图，在平面直角坐标系中，点A，B，C的坐标分别为(1，3)，(5，3)，(1，－1)，则△ABC的外接圆圆心的坐标是(　C　)
A．(3，－1)　　　　　 B．(－3，－1)
C．(3，1)　　　　　 D．(－3，1)
20．(4分)如图，△ABC是一张周长为17 cm的三角形纸片，BC＝5 cm，⊙O是它的内切圆，小明准备用剪刀在⊙O的右侧沿着与⊙O相切的任意一条直线MN剪下△AMN，则剪下的三角形的周长为(　B　)
A．12 cm
B．7 cm
C．6 cm
D．随直线MN的变化而变化
21．(12分)如图，点E是△ABC的内心，AE的延长线和△ABC的外接圆相交于点D，连接BE，CE，BD，CD．
(1)若∠CBD＝34°，求∠BEC的度数；
(2)求证：DE＝DB．
(1)解：∵点E是△ABC的内心，
∴AE平分∠BAC，BE平分∠ABC，CE平分∠ACB．
∵∠CBD＝34°，
∴∠CAD＝∠CBD＝34°．
∴∠BAC＝2∠CAD＝68°．
∴∠ABC＋∠ACB＝180°－68°＝112°．
∴∠ABE＋∠ACE＝×112°＝56°．
∴∠BEC＝∠BAC＋∠ABE＋∠ACE＝68°＋56°＝124°．
(2)证明：∵点E是△ABC的内心，
∴∠BAD＝∠CAD，∠ABE＝∠CBE．
由圆周角定理，得∠DAC＝∠DBC．
又∵∠DBE＝∠DBC＋∠CBE，∠DEB＝∠ABE＋∠EAB，
∴∠DBE＝∠DEB．
∴DE＝DB．
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