【学霸笔记】3.5三角形的内切圆 教学课件 初中数学青岛版九年级上册

(共16张PPT)
第3章 对圆的进一步认识
3.5三角形的内切圆
情 境 导 入
3.5三角形的内切圆
小明在一家木料厂上班，工作之余想对厂里的三角形废料进行加工：裁下一块圆形用料，怎样才能使裁下的圆的面积尽可能大呢？
新 课 探 究
3.5三角形的内切圆
问题1 如果最大圆存在，它与三角形三边应有怎样的位置关系？
O
O
O
O
最大的圆与三角形三边都相切
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课堂小结
3.5三角形的内切圆
三角形角平分线的这个性质，你还记得吗？
问题2 如何求作一个圆，使它与已知三角形的三边都相切？
(1) 如果半径为r的☉I与△ABC的三边都相切，那么圆心I应满足什么条件？
(2) 在△ABC的内部，如何找到满足条件的圆心I呢？
圆心I到三角形三边的距离相等，都等于r.
三角形三条角平分线交于一点，这一点与三角形的三边距离相等.
圆心I应是三角形的三条角平分线的交点.
为什么呢？
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3.5三角形的内切圆
A
E
B
F
C
D
I
新知探究
（3）怎样用尺规作一个圆，使它与△ABC的各边都相切呢？
已知：△ABC.
求作：⊙I，使它与△ABC各边都相切.
作法：1.作∠B，∠C的平分线BD，CE，BD与CE相交于点I；
2.过点I作IF⊥BC，垂足为点F；
3.以I为圆心，IF为半径作圆.
⊙I就是所求作的圆.
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3.5三角形的内切圆
（4）你能说出作图的道理吗？与三角形各边都相切的圆有几个？
A
E
B
F
C
D
I
由作法可知，与三角形的各边都相切的圆能作并且只能作出一个.
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3.5三角形的内切圆
三角形的内心是三角形的三条角平分线的交点，它到三角形各边的距离相等.
任何一个三角形都有且只有一个内心，三角形的内心在三角形的内部.
与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫做圆的外切三角形.
内心
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3.5三角形的内切圆
作三角形内切圆的步骤：
第1步：确定圆心----三角形两角平分线的交点；
第2步：确定半径----过圆心作一边的垂线；
第3步：作圆----以所求的圆心和半径画圆.
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3.5三角形的内切圆
例1 如图，在△ABC中，∠A=68°，点I是内心.求∠BIC的度数.
典例精讲
解：∵点I是△ABC的内心，
∴∠1=∠ABC，∠2=∠ACB.
因而∠1+∠2=(∠ABC+∠ACB)
=(180°-∠A)
=(180°-68°)
=56°.
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3.5三角形的内切圆
例1 如图，在△ABC中，∠A=68°，点I是内心.求∠BIC的度数.
∴∠BIC=180°-(∠1+∠2)
=180°-56°
=124°.
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3.5三角形的内切圆
（1）已知△ABC的三边长分别为a，b，c，它的内切圆半径为r.求△ABC的面积.
挑战自我
A
B
C
G
E
F
O
解：如图所示，作△ABC的内切圆，内心为点O，
E，G，F分别为切点，
连接OE，OG，OF，OA，OB，OC.
设AB=c，AC=b，BC=a，内切圆半径为r.
∵E为切点，∴OE⊥BC，
∴.
同理，，.
∴
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3.5三角形的内切圆
挑战自我
（2）已知Rt△ABC的两条直角边AC，BC的长分别为b，a.求它的内切圆半径.
A
C
B
E
D
F
O
解：如图所示，设Rt△ABC的内切圆的半径
为r，AB=c，⊙O分别切AB，BC，AC于
点D，E，F，则四边形OECF是正方形，
∴CE=CF=r.∴AF=AD=b-r，BE=BD=a-r.
∵AD+BD=AB，∴b-r+a-r=c.∴r=.
又∵c=，∴r=.
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3.5三角形的内切圆
随堂练习
1.已知△ABC的内心为点O，∠BOC=110°，则∠A为______.
解析：如图所示，
∵点O为△ABC的内心，
∴∠1＝∠ABC，∠2＝∠ACB.
又∵∠1＋∠2＝180°-∠BOC
＝180°-110°＝70°，
∴∠ABC＋∠ACB＝2（∠1＋∠2）＝140°，
∴∠A＝180°-（∠ABC＋∠ACB）＝40°.
40°
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3.5三角形的内切圆
2.如图，⊙I为△ABC的内切圆，点D，E分别为边AB，AC上的点，且DE为⊙I的切线.若△ABC的周长为21，BC边的长为6，求△ADE的周长.
解：如图，设⊙I与△ABC的三边AB，BC，AC分别相切于点M，N，Q，切DE于点P.
∵DM=DP，EQ=EP，BM=BN，CN=CQ，
∴BM+CQ=BN+CN=BC=6，
∴△ADE的周长为AD+DE+AE=
AD+AE+DM+EQ=21-（BM+BC+CQ）
=21-6×2=9．
M
N
Q
P
课 堂 小 结
3.5三角形的内切圆
三角形的内心是三角形的三条__________的交点，它到___________的距离相等.任何一个三角形都__________一个内心，三角形的内心在三角形的______.
与三角形___________的圆叫做三角形的内切圆，_____________叫做三角形的内心，这个三角形叫做圆的___________.
各边都相切
内切圆的圆心
外切三角形
角平分线
三角形各边
有且只有
内部
作三角形内切圆的步骤：____________________________
1.确定圆心；2.确定半径；3.作圆.
THANK YOU