【学霸笔记】4.1一元二次方程 第1课时 一元二次方程（1） 教学课件 初中数学青岛版九年级上册

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第4章 一元二次方程
4.1一元二次方程
第1课时 一元二次方程(1)
情 境 导 入
4.1一元二次方程
第1课时 一元二次方程(1)
什么叫方程？我们学习过哪些方程？
复习回顾
新 课 探 究
4.1一元二次方程
第1课时 一元二次方程(1)
【过程分析】
探究一、
教室的面积为54m2,长比宽的2倍少3m,如果要求出教室的长和宽，怎样根据问题中的数量关系列出方程？
设这个教室的宽为xm，则它的长为_________m.
根据问题中的等量关系
长×宽=矩形的面积，
可以得到方程：_________________________.
2x-3
x(2x-3)=54
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探究二、
直角三角形斜边长为11cm,两条直角边的差为7cm，如果要求出两条直角边的长，应该怎样列出方程？
【过程分析】
设较短直角边的长为xcm,则较长直角边的长为______cm.
根据问题中的等量关系
两条直角边的平方和=斜边的平方,
可以得到方程：_________________________.
x2+(x+7)2=112
x+7
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探究三、
如图，点C是线段AB上的一点，且 .如果要求 的值，应该怎样列出方程？
【过程分析】
根据问题中的等量关系
,即AC2=AB · CB,
可以得到方程：_________________________.
x2=1-x
A
B
C
设AB=1，AC=x,由AC+CB=AB可知，CB的长为_________.
1-x
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由前面的问题探究，得到了如下三个方程：
x(2x-3)=54 , ①
x2+(x+7)2=112 , ②
x2=1-x . ③
化简整理
2x2-3x-54=0,
x2+7x-36=0,
x2+x-1=0.
方程①②③与整理后的三个方程有哪些共同特征？
1.方程两边都是_________；
2.只含有________个未知数；
3.整理后未知数的最高次数都是_______.
整式
一
2
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等号两边都是整式
2. 只含有一个未知数
3. 整理后未知数的最高次数都是2
像这样的方程还有很多.
观察上面的方程，你发现它们有哪些共同特征？
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方程两边都是整式，它们都只含有一个未知数,并且整理后未知数的最高次数都是2，像这样的方程叫做一元二次方程.
一元二次方程的概念
一元二次方程的一般形式是
ax2+bx +c = 0(a , b , c为常数, a≠0)
ax2 称为二次项, a 称为二次项系数.
bx 称为一次项, b 称为一次项系数.
c 称为常数项.
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课堂小结
一元一次方程 一元二次方程
一般式
相同点 不同点
思考：一元一次方程与一元二次方程有什么区别与联系？
ax=b (a≠0）
ax2+bx+c=0 (a≠0）
整式方程，只含有一个未知数
未知数最高次数是1
未知数最高次数是2
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下列关于x的方程中，一定是一元二次方程的是（ ）
A.x2-2=(x+3)2 B.3x2+5xy+6y2=0
C.(x-2)(x+3)=5 D.3x2+-2=0
【解析】A项经去括号合并同类项后变形为6x+11=0,为一元一次方程；B项含有两个未知数，不符合条件；
C项整理后化为x2+x-11=0,符合条件；D项中分母含有未知数，不是整式，不符合条件.
C
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课堂小结
小组合作，分别说出方程①②③化成一般形式后的二次项、一次项、常数项，以及二次项系数和一次项系数.
方程 二次项 一次项 常数项 二次项系数 一次项系数
2x2-3x-54=0
x2+7x-36=0
x2+x-1=0
2x2
-3x
-54
2
-3
x2
x2
7x
x
-36
-1
1
1
7
1
注意：系数和项均包括前面的符号.
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例1.把方程(2x+1)(3x-2)=x2+2化为一元二次方程的一般形式，写出它的二次项、一次项、常数项及二次项系数、一次项系数.
解：将原方程去括号，得
6x2+3x-4x-2=x2+2.
移项，合并同类项，得
5x2-x-4=0.
方程的二次项为5x2,一次项为-x,常数项为-4；
二次项系数为5，一次项系数为-1.
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挑战自我： a为何值时，方程ax2-x=2x2-ax-3是一元二次方程？a为何值时，是一元一次方程？
分析：
只有当二次项系数a≠0时，
方程ax2+bx+c=0才是一元二次方程.
解：原式整理得
(a-2)x2+(a-1)x+3=0.
当a≠2时，是一元二次方程；
当a=2时，是一元一次方程.
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课堂小结
k为何值时，下列方程为一元二次方程？
(1)kx2+x=2x2
(2) (k－1)x |k|+1 +3x－5=0.
解：(1)将方程式转化为一般形式，得(k-2)x2+x=0,所以当k-2≠0，即k≠2时，原方程是一元二次方程；
(2)由∣k∣+1=2，且k-1≠0知，当k=-1时，原方程是一元二次方程.
【点睛】用一元二次方程的定义求字母的值的方法：根据未知数的最高次数等于2，列出关于某个字母的方程，再排除使二次项系数等于0的字母的值．
课 堂 小 结
4.1一元二次方程
第1课时 一元二次方程(1)
一元二次方程
概念
是整式方程；
含一个未知数；
最高次数是2.
一般形式
ax2+bx+c=0 (a ≠0)
a≠0是一元二次方程的必要条件；
确定一元二次方程的二次项系数、
一次项系数及常数项要先化为一般式.
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