【学霸笔记】4.1一元二次方程 第2课时 一元二次方程（2） 教学课件 初中数学青岛版九年级上册

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第4章一元二次方程
4.1一元二次方程
第2课时 一元二次方程(2)
情 境 导 入
4.1一元二次方程
第2课时 一元二次方程(2)
学习无理数时，我们曾利用有理数来估计一个无理数的大致范围.实际上，当时我们已经解决了估计一个最简单的一元二次方程x2=m(m是一个大于0的有理数)的根的问题.对于一般的一元二次方程，如何估计它的根呢？
新 课 探 究
4.1一元二次方程
第2课时 一元二次方程(2)
在上一课时的探究二中，我们得到了如下的一元二次方程：
x2+(x+7)2=112 , ②
你能估计出这个方程的根吗？
探究二、
直角三角形斜边长为11cm,两条直角边的差为7cm，如果要求出两条直角边的长，应该怎样列出方程？
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新课探究
情境导入
课堂小结
判断一个数是否为一元二次方程的根
将数分别代入方程的左、右两边
左边求值
右边求值
比较
左边=右边
左边≠右边
是方程的根
不是方程的根
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新课探究
情境导入
课堂小结
合作探究
(1) 估计出方程②的根，可以先估计出方程根的一个大致范围.
结合方程②的实际意义，你能说出适合方程②的x的一个大致范围吗？
小亮:因为x是直角三角形中直角边的长，一定为正值，且小于斜边的长，所以可以估计x的范围是0＜x＜11.
x2+(x+7)2=112 , ②
小莹：因为较长直角边x+7小于斜边的长，因而x+7＜11,解得x＜4;
又因为两直角边的和大于斜边，因而x+(x+7) ＞11,解得x＞2.
所以可以估计x的范围是2＜x＜4.
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课堂小结
(2) 小亮与小莹的估计范围正确吗？你认为谁估计的范围更合理？
小亮:因为x是直角三角形中直角边的长，一定为正值，且小于斜边的长，所以可以估计x的范围是0＜x＜11.
小莹：因为较长直角边x+7小于斜边的长，因而x+7＜11,解得x＜4;
又因为两直角边的和大于斜边，因而x+(x+7) ＞11,解得x＞2.
所以可以估计x的范围是2＜x＜4.
二人的估计范围都是正确的，但相比之下，小莹估计的范围更小一些，更便于进一步估计原方程的根.
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课堂小结
(3) 怎样才能进一步缩小估计的范围呢？
将方程②进行变形，化为：
x2+7x=36. ④
利用二分法，取2和4的中间值3，分别计算当x=2,3,4时，方程④左边的代数式的值，并与36比较大小，填写下表：
x 2 3 4
x2+7x
与36比较
说明在3和4之间有方程④的根，并且根的整数部分是3.
18
30
44
小于36
小于36
大于36
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课堂小结
(4)取3和4的中间值3.5，借助计算器计算当x=3.5时x2+7x的值，并比较它与36的大小，填写下表：
x 3 3.5 4
x2+7x
与36比较
说明在3和3.5之间有方程④的根.
30
36.75
44
小于36
大于36
大于36
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新课探究
情境导入
课堂小结
(5)取3和3.5的中间值3.3，重复以上过程，填写下表：
x 3 3.3 3.5
x2+7x
与36比较
说明在3.3和3.5之间有方程④的根.
30
33.99
36.75
小于36
小于36
大于36
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情境导入
课堂小结
(6) 同样地，再取3.3和3.5的中间值3.4，填写下表：
x 3.3 3.4 3.5
x2+7x
与36比较
说明在3.4和3.5之间有方程④的根，并由此可知这个根的十分位上的数字是4，即x=3.4…
借助计算器继续做下去，可以陆续确定方程④的根的百分位、千分位上的数字，……由于方程④的根就是方程②的根，这样就能用估计的方法求出方程②的根的精确到0.01，0.001，…的近似值.
33.99
35.36
36.75
小于36
小于36
大于36
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情境导入
课堂小结
(7)如果不考虑方程④的实际意义，你会估计方程④还有其他的根吗？
小莹是这样想的：因为当x的值较大时，如x≥4时，方程的左边x2+7x＞36，所以原方程不可能有大于或等于4的根.
当0≤x≤3时，0≤x2+7x＜36，所以原方程在0和3范围内也不可能有根.这就是说，方程④有一个根在3和4之间，这个问题我们已经解决，并且不可能有其他的正根.当x＜0时，x2是正数，7x是负数.当x的绝对值较大时，例如当x=-12时，x2+7x=60＞36.所以在-12和0之间还有原方程的根，这个根是负根.
课后小组合作，尝试求出原方程在-12和0之间的负根.
课 堂 小 结
4.1一元二次方程
第2课时 一元二次方程(2)
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估算一元二次方程的根的具体步骤
列表
确定范围
取近似值
把未知数的值分别代入ax2+bx+c,并计算
在表格中找出使代数式ax2+bx+c的值可能为0，且符合要求的未知数的取值范围
进一步利用二分法取中间值，缩小范围，确定近似值
THANK YOU