【学霸笔记】4.4用因式分解法解一元二次方程 教学课件 初中数学青岛版九年级上册

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第4章一元二次方程
4.4用因式分解法解一元二次方程
情 境 导 入4.4用因式分解法解一元二次方程1.我们已经学过了几种解一元二次方程的方法 2.什么叫因式分解 把一个多项式分解成几个整式乘积的形式叫做因式分解.直接开平方法配方法x2=a(a≥0)(x+m)2=n(n≥0)公式法
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4.4用因式分解法解一元二次方程
对于一元二次方程x2+7x=0,用配方法和公式法都可以求出它的解，还有更简便的求解方法吗？
思考下面的问题：
(1) 这个方程的两边有什么特征呢？
方程的右边为0，
左边可以分解成两个一次因式的积：x(x+7).
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课堂小结
对于一元二次方程x2+7x=0,用配方法和公式法都可以求出它的解，还有更简便的求解方法吗？
思考下面的问题：
(2) 小莹的解法是：把方程左边的多项式进行因式分解，得x(x+7)=0,从而x=0,或x+7=0. 所以x1=0,x2=-7.
你同意小莹的解法吗？这种解法的依据是什么？
同意.这种解法的依据是：
如果两个因式中有一个因式为0，那么它们的积也就等于0；
如果两个因式的积为0，那么这两个因式中至少有一个因式等于0.
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当一元二次方程的一边是0，另一边可以分解为两个一次因式的积时，可分别令两个一次因式为0，得到两个一元一次方程.这两个一元一次方程的根都是原一元二次方程的根. 这种解一元二次方程的方法叫做因式分解法.
因式分解法
若a=0或b=0,则ab=0.反之，若ab=0，则a=0或b=0.
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快速说出下列方程的解：
(1) (x-2)(x-3)=0; x1 =（ ）, x2 = ( );
(2) (2x+3)(x-4)=0; x1 =（ ）, x2 = ( );
(3) (4x-1)(5x+7)=0. x1 =（ ）, x2= ( ).
-
-
2
3
4
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课堂小结
对于一元二次方程x2+7x=0,用配方法和公式法都可以求出它的解，还有更简便的求解方法吗？
思考下面的问题：
(3) 分别用配方法和公式法解原方程，验证用这三种方法求得的根是一致的.
解：配方法：
(x+)2=()2,
x+= ± ，
即x1=0,x2=-7;
公式法：
这里a=1,b=7,c=0,b2-4ac=49 ＞0,
所以x=,
即x1=0,x2=-7.
验证可得，三种方法求得的根一致.
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思考下面的问题：
三种解法的降次依据分别是什么？
配方法利用平方根的意义实现降次；
公式法是把解方程转化为求代数式的值实现降次；
因式分解法是通过把一元二次方程化为两个一元一次方程实现降次.
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【例1】用因式分解法解方程：
(1)15x2+6x=0; (2)4x2-9=0.
解:(1)把方程左边因式分解，
得3x(5x+2)=0,
从而x=0,或5x+2=0.
所以x1=0,x2=-;
(2)把方程左边因式分解，得(2x+3)(2x-3)=0,
从而2x+3=0,或2x-3=0.
所以x1=-,x2=.
运用因式分解法，通过降低未知数的次数，便把解一元二次方程的问题转化为解两个一元一次方程的问题.
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【例2】用因式分解法解方程：
(2x+1)2=(x-3)2.
解：移项，得 (2x+1)2-(x-3)2=0.
把方程的左边进行因式分解，得
(2x+1+x-3)(2x+1-x+3)=0.
即(3x-2)(x+4)=0.
从而3x-2=0, 或x+4=0.
所以x1=, x2=-4.
还有其他的求解方法吗？
还可以根据平方根的意义求解.
过程如下：
根据平方根的意义，得2x+1=±(x-3),
所以2x+1=x-3或2x+1=-(x-3),
所以x1=-4, x2=.
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挑战自我
(1)对于本节课开始给出的方程x2+7x=0,小亮是这样解的：
把方程两边同除以x,得
x+7=0,
所以x=-7.
怎么少了一个根？
小亮的解法错在什么地方？
(2)对于例2，大刚想到的解法是：
把原方程两边开平方，得
2x+1=x-3,
所以x=-4.
怎么也少了一个根？
大刚的解法错在什么地方？
本题中的x可以为0，
因此方程两边不能同除以x.
一个正数的平方根有两个，它们互为相反数.
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解一元二次方程的注意事项
1.方程两边都乘(或除以)同一个整式时，要保证整式不为0；
2.方程两边开平方时，不能漏掉“±”；
3.当一元二次方程的一边为0，另一边能分解成两个一次因式时，才能用因式分解法求解.
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1.下列方程，最适合用因式分解法解的是（ ）
A.(x-1)(x-2)=3 B.2(x-1)2=x2-1
C.x2+2x-1=0 D.x2+4x=2
B
【解析】选项A,整理得x2-3x-1=0,方程左边不能进行因式分解，故不适合；选项B，原方程可化为2(x-1)2=(x+1)(x-1),移项后方程左边可提取公因式(x-1),能进行因式分解；选项C，方程左边不能进行因式分解，故不适合；选项D，整理得x2+4x-2=0,方程左边不能进行因式分解，故不适合.
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2.方程2x2=3x的解为（ ）
A. x=0 B. x=
C. x=- D. x1=0, x2=
【解析】移项，得2x2-3x=0,左边因式分解，得x(2x-3)=0,
所以x=0或2x-3=0,所以x1=0, x2= .
D
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课堂小结
一元二次方程的四种解法
方法 理论依据 适用题型 关键步骤
根据平方根的意义
配方法
公式法
因式分解法
平方根的意义
完全平方公式
完全平方公式
如果两个因式的积为0，那么这两个因式至少有一个为0
(mx+n)2=p(p≥0)或
(ax+b)2=(cx+d)2
所有一元二次方程
所有一元二次方程
一边是0，另一边易分解成两个一次因式的积的一元二次方程
开平方
配方
代入求根公式
分解因式
课 堂 小 结
4.4用因式分解法解一元二次方程
因式分解法解一元二次方程的步骤
1
2
3
4
令每个因式为0，得到两个 一元一次方程；
THANK YOU