福建省泉州市2026届高三上学期第一次月考数学试卷(图片版,含答案)

四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15.(13分)
为比较A、B两种AI教学系统在提升教师备课效率方面的差异，研究人员在某地区随机招
募了200名教师，并随机分配其中100名使用系统A,其余100名使用系统B.经过一个月的试
用后，以“备课时间减少15%以上”作为备课效率显著提升的标准，经整理得到如下列联表：
备课效率
显著提升
没有显著提升
合计
使用的教学系统
系统A
75
25
100
系统B
55
45
100
合计
130
70
200
(1)记事件“该地区教师使用系统A后，备课效率显著提升”的概率为P,求P的估计值：
(2)根据小概率值α=0.005的独立性检验，分析这两种A1教学系统在显著提升教师备课
效率方面是否存在差异。
2
0.05
0.005
0.001
附：2=
n(ad -be)2
(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)
Xa
3.841
7.879
10.828
高三数学试题第4页（共8页）
16.(15分)
已知函数f(x)=x2，设曲线y=f(x)在点(x,f(x,)》(n∈N)处的切线与x轴的交点为
(x1,0),其中x=1
(1)写出，x,并求数列{x,}的通项公式：
(2)设数列{xn}的前n项和为Sn,证明：S,<4.
高三数学试题第5页（共8页）
17.(15分)
矩形A8CD的长为4，宽为2，其四边的中点拾为椭圆E+)
+京=1(a>b>0)的顶点.
(1)求E的方程及离心率；
(2)若P,Q,R三点在以AC为直径的圆上，且直线PQ,PR均与E有且只有一个公共点，
证明：△POR是直角三角形
高三数学试题第6页（共8页）
18.(17分)
已知正方体ABCD-ABCD的棱长为2.
(1)证明：BD⊥平面ABC:
(2)动点P满足AP=AB+AC(1∈[0，)，且点P,A,C,D,在同一球面上.设该球面的
球心为O,半径为r
(i)求r的取值范围；
(i)当r最大时，求二面角A-BP-O的余弦值.
D
C
B
D火
C
B
高三数学试题第7页（共8页）
19.(17分)
已知函数f(x)=(m+1)sinx-xcoSx,x∈[0，.
(1)当m=0时，求f(x)的值域；
(2)若f(x)存在唯一的极值且为极小值，求m的取值范围：
(3)设n∈R,若存在m∈(-o,0)使得m≤√2(Uf(x)-)对x∈[0，π恒成立，求n的最大值.
高三数学试题第8页（共8页）