课件12张PPT。第11章 数的开方复习课 在利用平方根的概念解题时，主要涉及平方根的性质：正数有两个平方根，且它们互为相反数；以及平方根的非负性：被开方数为非负数，算术平方根也为非负数。 1.如何利用平方根的概念解题？释疑解惑例1 已知某数的平方根是a+3及2a－12，求这个数。解：根据题意可得，a+3+2a－12=0.
解得a=3.
∴a+3=6，2a－12=－6.
∴这个数是36.选一选1. 下列表述正确的是( )A. 9的平方根是-3 B. -7是-49的平方根C. -15是225的平方根 D. (-4)2的平方根是-4CD√√√√B8 36 ±9 填一填 1. 平方根恰是本身的数是_____; 算术平方根恰是本 身的数是______. 0 0 、1 2. 4的平方是_____; 4的平方根是_____. 16 ±2 3 ±2 5 -6 ±7 5. 81的算术平方根是____; (-9)2的平方根是____.9 81 ±9 ±3 ±9 2 4 81 0.82.15-81某建筑工地，用一根钢筋围成一个面积是25m2的正方形后还剩下7m，你能求出这根钢筋的长度吗？
解：正方形的边长为5m，钢筋的长度为27m。
做一做1、计算下列各题
（1）
（2）
（3）
（4）（3）0（4）30练一练1、若 则
2、若 和 互为相反数，求 的值
3、已知a、b满足 ，求a-b的算术平方根
4、已知 ，求式子
的值。
5、一个自然数的算术平方根为a，则与它相邻的上一个自然数的算术平方根是_____
6、已知a，b，c分别是64,125,216的立方根，求整式 的值的立方根。 7、若 ，则x与y的关系是______
8、已知x为整数，且满足 ，则x=
9、设a、b互为倒数，c、d互为相反数，求
的值。 2、某金属冶炼厂将27个大小相同的立方体钢铁在炉火中熔化后铸成一个长方体钢铁，此长方体的长，宽，高分别为160cm，80cm和40cm，求原来立方体钢铁的 边长。3、有一边条为6cm的正方体的容器中盛满水，将这些水倒入另一正方体容器时，还需再加水127cm3才满，求另一正方体容器的棱长。课件16张PPT。欢迎同学们新 学 年
愉快学习
我们已学过了有理数的加法、减法、乘法、除法、乘方这五种运算。在这五种运算中：
加法与减法互为逆运算；
乘法与除法互为逆运算；
那么乘方与谁互为逆运算呢？
本节课我们就来学习研究这个问题。
知识回顾： 指数
底数 幂问题情景 一个边长为5cm的正方形，它的面积是多少？
这个问题实际上就是求：
这是已知底数和指数，求幂的运算
乘方运算
反过来，如图中, 设面积为25cm2的正方形, 其边长
为多少呢？ 5cmx 2 = 25 又：面积为16，则边长为 4 ； a5边长所以, 其边长为 5cm 4 面积为9，则边长为 3 ； 3 面积为5，则边长为多少呢？ 面积为a，则边长又如何呢？ 根据正方形的面积公式， 这时，可设其边长为 x ， 得到 x2 = a . 实际上就是要求出一个数，使它的平方等于25，即：新知概念如果一个数 x 的平方等于 a, 那么这个数 x 叫做 a 的平方根
（二次方根）. 就是说, 当 x2 =a 时, 称 x 是 a 的平方根. (a≥0)1、定义：
问1：25的平方根只有一个吗？有没有其他的数，它的平方也是25？
因为 ，所以-5也是25的一个平方根。
问2：从上述解决问题过程中，你能总结一下求一个数的平方根的方法吗？
概念
平方根的表示法：
数a的平方根可以记作： 读作“正负根号a”
因为 ，所以5是25的一个平方根。例练1求下列各数的平方根: ⑴ 100 ⑵ 0.49 ⑶ 1.69
⑷ ⑸ 2 ⑴解：因为102=100,且(-10)2=100,所以100的平方根为 ±10.还可以表示：（6）2（6）2的平方根是：说出下列各数的平方根，说说有何规律。⑴ 121 ⑵ 232 ⑶ (-4)2
⑷ 0 ⑸ -25 （6） 11一、平方根的性质:⑴正数有两个平方根,它们互为相反数; ⑵ 0的平方根是0。想一想 ⑶负数没有平方根. 二、算术平方根： 正数a的正平方根，叫做a的算术平方根，记作： a有没有平方根？为什么？
分情况讨论：当a>0，a有两个平方根，且互为相反数；
当a=0，a有一个平方根；
当a<0，a没有平方根。
练习:下列说法中不正确的个数有 ( )
①0.25的平方根是0.5
②-0.5的平方 根是-0.25
③只有正数才有平方根
④0的平方根是0
A. 1个 B. 2个. C. 3个 D. 4个
例练2口答下列各数的平方根和算术平方根: ⑴ 49 ⑵ 1600 ⑶ 196 ⑺ 0 ⑻ 0.09 ⑼ 1.44 ⑽ 0.81 ⑾ 1.69辨一辨 下列叙述正确的打“ √” ，错误的打“×”：⑴ 16的平方根是 ±4; ( ) √⑵ ±7是49的平方根 ; ( ) √⑶ 112的平方根是11; ( ) ×⑷ -9是81的平方根; ( ) √⑸ 52的平方根是±25; ( ) ×⑹ -9的平方根是 -3; ( ) ×⑺ 0的平方根是 0; ( ) √⑻ 有一个平方根为 -2的数是 -4; ( ) ×⑼ 只有一个平方根的数是0; ( ) √回顾小结1、平方根的概念:当x2=a(a≥0) 时, 就称x是a的平方根.2、平方根的性质:数a的平方根是：⑴正数有两个平方根,它们互为相反数; ⑵ 0的平方根是0。⑶负数没有平方根. 二、算术平方根： 正数a的正平方根，叫做a的算术
平方根，记作： 例练31. 下列表述正确的是( )A. 9的平方根是-3 B. -7是-49的平方根C. -15是225的平方根 D. (-4)2的平方根是-4CD√√√√B8 36 ±9 课后作业书上page4 练习1,2。要有详细过程
明天记得带计算器课件10张PPT。一、复习题：
1、什么叫做平方根？如何表示数a的平方根？平方根有什么性质？（1）19600 （2） 0.0289 （3） 0 （4）12.25
（5） （6） 6 (7) (-5)2 (8)
2、求下列各数的平方根。例题：求2的平方根一、算术平方根正数 a 的正的平方根叫做a的算术 平方根， , 读作：根号a 区别三者的含义：注意：
其中a被称为被开方数；
0是0的平方根，也是0的算术平方根。
记做
说明：这样求一个正数的平方根，只要求出它的算术平方根后，就可以写出它的平方根了。
求2的平方根及算术平方根
“负数没有平方根”与“一个数的平方根不能为负数”意义是否一样？
求一个数的平方根（二次方根）的运算，叫做开平方，开平方运算的结果就是平方根。
平方与开平方是互为逆运算.
1. 先说说下列式子的意义，在求值: 100-12±0.232、计算：三、例题解析：例题1、解方程：
（1）x2-300=24. （2）25(x-2)2=36填一填 1. 平方根恰是本身的数是_____; 算术平方根恰是本 身的数是______. 0 0 、1 2. 4的平方是_____; 4的平方根是_____. 16 ±2 3 ±2 5 -6 ±7 5. 81的算术平方根是____; (-9)2的平方根是____.9 81 ±9 ±3 ±9 2 4 81 课后作业
书上page4练习 第4题
Page7 习题11.1 第2题
注：要有详细过程课件15张PPT。初二数学 平方根x2=2x =(之二) 1、平方根的概念:当x2=a(a≥0) 时, 就称x是a的平方根.2、口答下列数的平方根:知识回顾3、平方根的情况:⑴一个正数的平方根有两个,它们是互为相反数; ⑵ 0的平方根只有一个, 就是它本身0; ⑶负数没有平方根. （例: x2=49 =±7) 新知概念正数 a 的正的平方根叫做a的算术 平方根， , 读作：根号a a 称为被开方数. 注：1. 被开方数应为非负数的条件. 例练11. 求下列各数的算术平方根: ⑴ 196 ⑵ 0.09 ⑶ 0
⑷ ⑸ 2 ⑹(-5)2⑴解：2. 口答下列各式的值: 100-12±0.23例练2计算下列各数的算术平方根: ⑴ 2 ⑵ 529 ⑶ 1225 ⑷ 44.81 注: 对不是平方数的数和较大的数通常利用计算器 操作求它的算术平方根, 近似数常取四个有效数字.≈1.414 解:=23 =35 ≈6.694 操作: ≈7.071 ≈6.557 = 9= 0≈11.09 ≈31.62 ≈2.646 试一试 比较: ＜ ＜ ＜ ＜ ＜ ＜ 0 ＜ 7 ＜ 43 ＜ 50 ＜ 81 ＜ 123 ＜ 1000 x x 的值随着x的增大而增大。 结论: 叙述: 非负数的算术平方根随着被开方数
的增大而增大。 例练3估算下列各值在哪两个整数之间: 解:∵1 <2 <4 注: 一般先找出被开方数前后的两个完全平方数, 再进行算术平方根的比较估算. 回顾小结1、算术平方根与平方根:算术平方根是平方根中正的一个值, 平方根一般有互为相反数的两个值.3、进行算术平方根估值时, 先找出被开方数的前后 只有一个值; 2、计算器操作算术平方根时, 根据精度要求取小数, 没有要求的默认取四个有效数字.两个完全平方数, 再根据非负数的算术平方根随被开方数的增大而增大进行估算.填一填 1. 平方根恰是本身的数是_____; 算术平方根恰是本 身的数是______. 0 0 、1 2. 4的平方是_____; 4的平方根是_____. 16 ±2 3 ±2 5 -6 ±7 5. 81的算术平方根是____; (-9)2的平方根是____.9 81 ±9 ±3 ±9 2 4 例练31. 下列表述正确的是( )A. 9的平方根是-3 B. -7是-49的平方根C. -15是225的平方根 D. (-4)2的平方根是-4CD√√√√B±8 36 ±9 思维拓展求下列各式中的x: 1. x2=16 2. 64x2=25 3. (x-1)2=9 x=±4 x=± x-1=±3 x=4 或x= -2 课后作业求下列各式的值。
求下列各式中的x。
（1）x2－361＝0； （2）(x+1)2＝289；
解：（1）∵x2－361＝0，∴x2＝361.
∴x＝± ，即x＝±19。
（2）∵(x+1)2=289，∴x+1=± ，即x+1=±17。当x+1=17时，x=16；当x+1=－17时，x=－18。
（3）9(3x+2)2－64＝0 解：（3）∵9(3x+2)2=64，∴(3x+2)2= .
∴3x+2=± ，即3x+2=± .
当3x+2= 时，x= ；
当3x+2=- 时，x=- .
某建筑工地，用一根钢筋围成一个面积是25m2的正方形后还剩下7m，你能求出这根钢筋的长度吗？
解：正方形的边长为5m，钢筋的长度为27m。
课件18张PPT。一、复习：(1) 平方根的概念?如何用符号表示数a(≥0)的平方根?如何用符号表示数a(≥0)的算术平方根?(2)正数有几个平方根?它们之间的关系是什么?负数有没有平方根?0平方根是什么?1.口答：2.计算：问题：填写，并探求立方值与平方值的不同。
33= ，(－3)3= ；
= ， = ；
03= ，(0.1)3=
(－0.1)3= 。
新课导入 1.要做一个体积为27立方厘米的立方体模型,它的棱要多少长？ 你是怎么知道的?
想一想： 1.要做一个体积为125立方厘米的立方体模型,它的棱要多少长？ 你是怎么知道的?
1.要做一个体积为5立方厘米的立方体模型,它的棱要多少长？ 你是怎么知道的?
初二数学 立方根x3=8x =(之三) 新知概念3 , 读作：3次根号a 如果一个数 x 的立方等于 a, 那么这个数 x 叫做 a 的立方根. 即: 当 x3 =a 时, 称 x 是 a 的立方根. 注：1. 这里的3表示根指数. 2. 平方根是省写根次数的, 但两次以上的 根次数不能省写. 例如：识记1至9的立方13=123=833=2743=6453=12563=21673=34383=51293=729例练1求下列各数的立方根: ⑴解：-432-2立方根的性质: ⑴正数的立方根是正数;⑵ 0的立方根是0; ⑶负数的立方根是负数. 任何数都
有立方根例练2已知: 4x2=144, y3+8=0, 求 x+y 的值. 由 4x2=144 ,解:得 x2=36由 y3+8=0 ,得 y3= -8= ±6= -2当 x =6, y = -2时,x + y = 6+(-2)=4当 x = -6, y = -2时,x + y = -6+(-2)= -8例练2求下列各式的值: 试一试 1. 填空: 3 ⑵一个数的立方根为4, 这个数的算术平方根____.⑶一个数的立方根是它本身, 这个数是_________.±8 0 、1 、-1 2、先求每组式子中各个式子的值，找找有何规律。1.1 11 1100.4 4 40回顾小结1、平方根与立方根:2、区别:每个数都有立方根, 且一个数只有一个立方根, 而非负数才有平方根, 且0的平方根是0, 正数的平方如果x2=a, 就称x是a的平方根.如果x3=a , 就称x是a的立方根.(a≥0) 是互为相反数的两个数.思维拓展已知5x+32的立方根是-2, 求x+17的平方根. 求下列各式中的x。
（1）27x3－8=0； （2）(2x+3)3=54
在做浮力实验时，小华用一根细线将一正方体铁块拴住，完全浸入盛满水的圆柱烧杯中，并用一量筒量得被铁块排开的水的体积为40.5cm3，小华又将铁块从中提起，量得水杯中的水位下降了0.62cm，请问烧杯内部的底面半径和铁块的棱长各是多少？（用计算器求结果，结果精确到0.1cm）。
分析：铁块排出的40.5cm3的水的体积,是铁块的体积,也是高为0.62cm烧杯的体积.
答案:烧杯内部的底面半径约是4.6cm,铁块的棱长约是3.4cm.课堂练习1、计算下列各题
（1）
（2）
（3）
（4）（3）0（4）30 2、某金属冶炼厂将27个大小相同的立方体钢铁在炉火中熔化后铸成一个长方体钢铁，此长方体的长，宽，高分别为160cm，80cm和40cm，求原来立方体钢铁的 边长。3、有一边条为6cm的正方体的容器中盛满水，将这些水倒入另一正方体容器时，还需再加水127cm3才满，求另一正方体容器的棱长。4、若3x+16的立方根是4，求2x+4的平方根。
课件22张PPT。1.41421356237309504880 168872420969807856967 187537694807317667973 79907324784621070··· 初二数学 实数与数轴利用计算器如下操作: ⑴ 1.4142135622 显示: 1.99999999 即是说, 1.4142135622 =1.99999999 1.414213562,再平方得: 2问题: 相同显示的平方结果为何不同？ 是因为限于计算器显示位数的原因，其实操作 像这样, 位数无限又不循环的一类数称之无理数. 把下列各数写成小数的形式，你有什么发现？ 事实上，任何一个有理数都可以写成有限小
数或 无限循环小数。 反过来，任何有限小数或无限循环小数也都是有理数
新知概念无限不循环小数叫做无理数.
有理数与无理数统称为实数 实数的分类： 实数 有理数 无理数 整数 分数 正整数 零 负整数 (可化为有限小数
或无限循环小数) (无限不循环小数) 正分数 负分数 正无理数 负无理数 你能举几
个无理数
的例子吗？ 实数根据不同的需要还有另一种分类方法实数 正实数 0 负实数 正有理数 正无理数 负无理数 负有理数 无理数常有的表现形式: 不能开尽根的根号式 一定要知道(1)用根号表示的数不一定是无理数.如：
(2)无理数不一定都是用根号表示的数.如：π
(3)无理数有无数多个.
(4)无理数可分为正无理数和负无理数.
判定一个数是否无理数:
(1)是看它是不是无限小数；(2)看它是不是不循环小数；(3)所有的有理数都能写成分数形式，但无理数则不能；
具体从以下几方面来判断:
(1)开方开不尽的数是无理数;
(2)π是无理数;
(3)无理数与有理数的和、差一定是无理数；
(4)无理数与有理数（不为0）的积、商一定是无理数；
8. 无理数与有理数的积是无理数. ( )1. 无限小数是无理数. ( )下列说法正确与否, 若错则举例说明:想一想 × 2. 无理数是无限小数. ( )√ 3. 无理数就是开不尽根的数. ( )× 4. 带根号的数都是无理数. ( )× 5. 无理数与无理数的和是无理数. ( )6. 无理数与有理数的和是无理数. ( )7. 无理数与无理数的积是无理数. ( )× × × √ 9. 任何无理数的绝对值总是正数. ( )√ 给出下列各数中: , -3, , , , 3.1415, 非负有理数有: 整数有: 无理数有: 找一找 , , 3+ , 2 , , 1.121221222···, , , , , , , , , -3 , 1.121221222··· 3.1415实数的相反数、倒数、绝对值意义和有理数是一样的.
求下列个数的相反数、倒数和绝对值
（1） （2） （3） （4）
已知一个数的绝对值是 ，求这个数。 在第2章学过的有关有理数的相反数、倒数和绝对值等概念、大小比较、运算法则以及运算律，对于实数也适用．运算律：
（1）加法交换律：a＋b=b＋a。
（2）加法结合律:（a＋b）+c=a+（b＋c）。
（3）乘法交换律：ab=ba。
（4）乘法结合律：（ab）c=a（bc）。
（5）分配律：a（b＋c）=ab＋ac
正数比较大小的方法：（1）作差法；（2）作商法；（3）平方法；（4）倒数法；（5）利用计算器；（6）数轴上右边的点表示的数总比左边的点表示的数大；（7）正数都大于0，负数都小于0，正数大于一切负数；（8）两个负数相比较，绝对值大的反而小 识记部分算术平方根的值例题：计算: (结果精确到0.01) 解: 用计算器求得:
于是所以正实数的大小比较和运算，通常可取它们的近似值来进行例练11. 比较下列各组数的大小: ⑴ ⑵ π与 ⑶ 3 ⑷ 与 2 与 2 如图是两个边长1的正方形操作探索拼成的长方形, 其面积是2. 现剪下两个角重新拼成一个 正方形, 新正方形的边长是_____ 下图数轴中, 正方形的对角线长为____, 以原点为圆心, 对角线长为半径画弧截得一点, 该点与原点的距离是____, 该点表示的数是____. 实数与数轴上的点是一一对应关系.把下列实数表示在数轴上，并比较它们的大小（用“＜”号连接）在数轴上表示的两个实数，右边的数总比左边的数大。例练21. 已知: x = , 求 x 的值. 回顾小结1、无理数与实数:2、实数与数轴:每个实数都能在数轴上找到一个对应的点, 无理数的运算适用于有理数的一切运算法则.无理数与有理数统称为实数. 无限不循环小数叫做无理数. 反之, 数轴上每一个点都对应一个实数. (一一对应) 3、无理数的运算:进行实数的运算时可应用有理数的运算法则行 注意：牵涉到无理数，若要求精确度，一般应取近似值，苦无精确度要求，结果一定不能取近似值！判断一个数是不是无理数，必须看它是否同时满足两个条件：无限小数和不循环小数这两者缺一不可．
带根号的数并不都是无理数，而开方开不尽的数才是无理数．
掌握实数的不同分类法．
思维拓展课后作业课件13张PPT。实数与数轴2运算律：
（1）加法交换律：a＋b=b＋a。
（2）加法结合律:（a＋b）+c=a+（b＋c）。
（3）乘法交换律：ab=ba。
（4）乘法结合律：（ab）c=a（bc）。
（5）分配律：a（b＋c）=ab＋ac
识记部分算术平方根的值
正数比较大小的方法：（1）作差法；（2）作商法；（3）平方法；（4）倒数法；（5）利用计算器；（6）数轴上右边的点表示的数总比左边的点表示的数大；（7）正数都大于0，负数都小于0，正数大于一切负数；（8）两个负数相比较，绝对值大的反而小 正实数的大小比较和运算，通常可取它们的近似值来进行 例题：计算: (结果精确到0.01)
解: 用计算器求得:
于是所以1. 比较下列各组数的大小:
(1) (2)
(3)3 与 2 (4) 与2例练1π与 如图是两个边长1的正方形操作探索拼成的长方形, 其面积是2. 现剪下两个角重新拼成一个 正方形, 新正方形的边长是_____ 下图数轴中, 正方形的对角线长为____, 以原点为圆心, 对角线长为半径画弧截得一点, 该点与原点的距离是____, 该点表示的数是____. 实数与数轴上的点是一一对应关系.把下列实数表示在数轴上，并比较它们的大小（用“＜”号连接） 在数轴上表示的两个实数，右边的数总比左边的数大。例练21. 已知: x = , 求 x 的值. 回顾小结1、无理数与实数:2、实数与数轴:每个实数都能在数轴上找到一个对应的点, 无理数的运算适用于有理数的一切运算法则.无理数与有理数统称为实数. 无限不循环小数叫做无理数. 反之, 数轴上每一个点都对应一个实数. (一一对应) 3、无理数的运算:进行实数的运算时可应用有理数的运算法则行 注意：牵涉到无理数，若要求精确度，一般应取近似值，苦无精确度要求，结果一定不能取近似值！判断一个数是不是无理数，必须看它是否同时满足两个条件：无限小数和不循环小数这两者缺一不可．
带根号的数并不都是无理数，而开方开不尽的数才是无理数．
掌握实数的不同分类法．
思维拓展课后作业课件17张PPT。章末复习第11章 数的开方华东师大八年级上册知识结构把下列各数填入相应的括号内
整数
分数
负数
无理数
非负有理数
, 如何比较实数的大小？
除常用的法则比较实数大小外，有时要根据题目特点选择特别方法。 3.实数的运算
实数的有关运算规律及运算顺序、相反数、绝对值等与有理数的运算基本相同。有理数的运算律及运算顺序对实数同样适用。11.2.1 实数探究问题 实数的性质11.2.1 实数专题二 数形结合思想在实数中的应用
1.如图：数轴上表示1、 的对应点分别为A、B，且点A为线段BC的中点，则点C表示的数是
2.实数 a、b在数轴上的对应点A、B的位置如图所示，则化简 =___.
1、【解析】 点B表示的数比点A表示的数大 ，点C表示的数比点A表示的数小
，即点C表示的数为
2、 【解析】 由数轴可知 .
原式= = . .
3. 已知实数a、b、c 在数轴上的对应的点位置如图所示，化简：
4、实数a在数轴上的位置如图：
化简：
已知a、b 互为相反数，c、d 互为倒数，m 的绝对值是 ，求 的值.典例精析1、实数a等于它的倒数，实数b等于它的相反数，则 等于______
2、若 ，且ab<0,则 ___
3、已知a、b为有理数，且 ，求a、b的值。通过这节课的学习，你有哪些收获？课堂小结课件13张PPT。数的开方平方根与立方根的查漏补缺辨一辨 下列叙述正确的打“ √” ，错误的打“×”：⑴ 16的平方根是 ±4; ( ) √⑵ ±7是49的平方根 ; ( ) √⑶ 112的平方根是11; ( ) ×⑷ -9是81的平方根; ( ) √⑸ 52的平方根是±25; ( ) ×⑹ -9的平方根是 -3; ( ) ×⑺ 0的平方根是 0; ( ) √⑻ 有一个平方根为 -2的数是 -4; ( ) ×⑼ 只有一个平方根的数是0; ( ) √试一试 1. 填空: 3 ⑵一个数的立方根为4, 这个数的算术平方根____.⑶一个数的立方根是它本身, 这个数是_________.±8 0 、1 、-1 2、先求每组式子中各个式子的值，找找有何规律。1.1 11 1100.4 4 40在做浮力实验时，小华用一根细线将一正方体铁块拴住，完全浸入盛满水的圆柱烧杯中，并用一量筒量得被铁块排开的水的体积为40.5cm3，小华又将铁块从中提起，量得水杯中的水位下降了0.62cm，请问烧杯内部的底面半径和铁块的棱长各是多少？（用计算器求结果，结果精确到0.1cm）。
分析：铁块排出的40.5cm3的水的体积,是铁块的体积,也是高为0.62cm烧杯的体积.
答案:烧杯内部的底面半径约是4.6cm,铁块的棱长约是3.4cm.4、若3x+16的立方根是4，求2x+4的平方根。
当堂训练-9-2 4、如果一个数的平方根是这个数本身，那么这个数是（ ）
A.1 B.－1 C.0 D.1，0CD1.从教材复习题中选作；
2.完成练习册本课时的习题.课后作业钢是在烈火和急剧冷却里锻炼出来的，所以才能坚硬和什么也不怕。我们的一代也是这样的在斗争中和可怕的考验中锻炼出来的，学习了不在生活面前屈服。 —— 奥斯特洛夫斯基
