19　第三章成果展示　二次函数（教师版）初中数学鲁教版（五四制）九年级上册

第三章成果展示　二次函数
(时间：120分钟　满分：120分)
第Ⅰ卷(选择题　共40分)
一、选择题(本大题共10个小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求)
1．下列y关于x的函数表达式中，是二次函数的是(　A　)
A．y＝(x＋1)(x－3) B．y＝x3＋1
C．y＝x2＋ D．y＝x－3
2．当函数y＝(a－1)x2＋bx＋c是二次函数时，a的取值为(　D　)
A．a＝1 B．a＝－1
C．a≠－1 D．a≠1
3．抛物线y＝x2－2x－1的对称轴为直线(　C　)
A．x＝2 B．x＝－2
C．x＝1 D．x＝－1
4．一个球从地面竖直向上弹起，球距离地面的高度h(m)与经过时间t(s)之间的关系式为h＝12t－6t2，那么球从弹起后又回到地面所经过的总路程是(　D　)
A．4 m B．6 m
C．8 m D．12 m
5．抛物线y＝－x2＋1向右平移2个单位，再向下平移3个单位得到的抛物线表达式是(　B　)
A．y＝－(x－2)2＋4
B．y＝－(x－2)2－2
C．y＝－(x＋2)2＋4
D．y＝－(x＋2)2－2
6．地理学上把两翼指向上风方向，迎风坡平缓而凹进，背风坡陡峭而呈弧线凸出，轮廓呈抛物线状的沙丘叫作“抛物线形沙丘”．如图1是我国最大沙漠塔克拉玛干沙漠某处的抛物线形沙丘，以抛物线形沙丘最顶端为点O，建立如图2所示的平面直角坐标系．若点A(－15，－100)，点B(a，－144)在图2所示的抛物线上，则a的值为(　B　)
A．15 B．18
C．24 D．36
解析：根据题意设抛物线的表达式为y＝mx2.
将点A(－15，－100)代入，得－100＝225m，解得m＝－.
∴抛物线的表达式为y＝－x2.
当y＝－144时，－x2＝－144，解得x＝±18.
∵点B在第四象限，∴a＝18.
7．关于函数y＝－(x＋2)2－1的图象叙述正确的是(　D　)
A．开口向上
B．顶点坐标为(2，－1)
C．与y轴交点为(0，－1)
D．对称轴为直线x＝－2
8．函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如图所示，则函数y＝cx2－bx＋a的图象与x轴的交点分别是(　A　)
A．，(1，0) B．(－1，0)，
C．(－1，0)，(3，0) D．(－3，0)，(1，0)
9．抛物线y＝x2＋bx＋3的对称轴为直线x＝2.若关于x的一元二次方程x2＋bx＋3－t＝0(t为实数)在－1＜x＜4的范围内有实数根，则t的取值范围是(　C　)
A．－1≤t＜3 B．3＜t＜8
C．－1≤t＜8 D．－1＜t＜4
10．在平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如图所示，现给出以下结论：
①abc＞0；②b＋2a＝0；③9a－3b＋c＝0；④a－b＋c≤am2＋bm＋c(m为实数)．
其中，结论错误的有(　B　)
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
第Ⅱ卷(非选择题　共80分)
二、填空题(本大题共6个小题，每小题4分，共24分)
11．二次函数y＝－6x2＋x图象的开口向　下　．
12．已知二次函数y＝－ax2＋2ax＋3(a＞0)，若点P(m，3)在该函数的图象上，且m≠0，则m的值为　2　．
解析：∵点P(m，3)在二次函数y＝－ax2＋2ax＋3(a＞0)的图象上，
∴3＝－am2＋2am＋3，
∴－am(m－2)＝0，
解得m＝2或m＝0(舍去)．
故m的值为2．
13．抛物线y＝ax2＋bx＋c的部分图象如图所示，则当y＞0时，x的取值范围是　x＜－1或x＞3　．
14．若抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴的交点为(5，0)与(1，0)，则抛物线的对称轴为直线x＝　3　．
15．将抛物线y＝ax2＋bx－1向上平移3个单位后，经过点(－2，5)，则8a－4b－11的值是　－5　．
16．已知二次函数y＝x2－2ax＋2x＋a－2在0≤x≤4范围内的最大值为7，则所有满足条件的实数a的值为　或9　．
三、解答题(本大题共6个小题，共56分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(6分)已知抛物线y＝2x2－4x－3，请回答下列问题：
(1)写出该抛物线的顶点坐标、对称轴和开口方向；
(2)当0≤x≤4时，求出y的最大值和最小值．
解：(1)∵y＝2x2－4x－3＝2(x－1)2－5，二次项系数为2＞0，
∴抛物线开口向上，顶点坐标为(1，－5)，对称轴为直线x＝1.
(2)∵抛物线开口向上，顶点坐标为(1，－5)，
∴最小值为－5.
∵对称轴为直线x＝1，1－0＜4－1，
∴当x＝4时取得最大值，最大值为2(4－1)2－5＝13，
∴当0≤x≤4时，y的最大值为13，最小值为－5.
18．(8分)已知二次函数y＝x2＋mx＋m2－3(m为常数，m＞0)的图象经过点P(2，4)．
(1)求m的值；
(2)判断二次函数y＝x2＋mx＋m2－3的图象与x轴交点的个数，并说明理由．
解：(1)将(2，4)代入y＝x2＋mx＋m2－3，得4＝4＋2m＋m2－3，
解得m1＝1，m2＝－3.
又∵m＞0，
∴m＝1.
(2)图象与x轴有2个交点．理由如下：
∵m＝1，
∴y＝x2＋x－2.
∵Δ＝b2－4ac＝12＋8＝9＞0，
∴二次函数y＝x2＋x－2的图象与x轴有2个交点．
19．(10分)如图，抛物线y＝－x2＋bx＋c交x轴于A，B两点，交y轴于点C，直线BC的表达式为y＝－x＋3.
(1)求抛物线的表达式；
(2)在直线BC上有一点P，使PO＋PA的值最小，求点P的坐标．
解：(1)把x＝0代入y＝－x＋3，得y＝3，
∴点C的坐标为(0，3)．
把y＝0代入y＝－x＋3，得x＝3，
∴点B的坐标为(3，0)．
将B(3，0)，C(0，3)代入y＝－x2＋bx＋c，
得解得
∴抛物线的表达式为y＝－x2＋2x＋3.
(2)如图，作点O关于BC的对称点O′，
连接O′A，交BC于点P，连接OP，则点O′的坐标为(3，3)．
∵点O′与点O关于BC对称，∴PO＝PO′，
∴PO＋PA＝PO′＋PA≥O′A，
∴当A，P，O′在同一条直线上时，PO＋PA有最小值．
由y＝－x2＋2x＋3易知 A(－1，0)．
设AP所在直线的表达式为y＝kx＋m，
则解得
∴AP所在直线的表达式为y＝x＋.
联立解得
∴点P的坐标为.
20．(10分)小红看到一处喷水景观，喷出的水柱呈抛物线形状，她对此展开研究：测得喷水头P距地面0.7 m，水柱在距喷水头P水平距离5 m处达到最高，最高点距地面3.2 m；建立如图所示的平面直角坐标系，并设抛物线的表达式为y＝a(x－h)2＋k，其中x(m)是水柱距喷水头的水平距离，y(m)是水柱距地面的高度．
(1)求抛物线的表达式；
(2)爸爸站在水柱正下方，且距喷水头P水平距离3 m．身高1.6 m的小红在水柱下方走动，当她的头顶恰好接触到水柱时，求她与爸爸的水平距离．
解：(1)由题意知，抛物线顶点为(5，3.2)．
设抛物线的表达式为y＝a(x－5)2＋3.2，将(0，0.7)代入，得0.7＝25a＋3.2，
解得a＝－，
∴y＝－(x－5)2＋3.2＝－x2＋x＋，
∴抛物线的表达式为y＝－x2＋x＋.
(2)当y＝1.6时，－x2＋x＋＝1.6，
解得x＝1或x＝9，
∴她与爸爸的水平距离为3－1＝2(m)或9－3＝6(m)，
∴当她的头顶恰好接触到水柱时，她与爸爸的水平距离是2 m或6 m.
21．(10分)某商店销售一批纪念册，每本进价40元，规定销售单价不低于44元，且获利不高于30%.试销售期间发现，当销售单价定为44元时，每天可售出300本，销售单价每上涨1元，每天的销售量减少10本．现商店决定提价销售，设每天销售量为y本，销售单价为x元．
(1)请直接写出y与x之间的函数表达式和自变量x的取值范围．
(2)将纪念册销售单价定为多少元时，商店每天销售纪念册获得的利润w最大？最大利润是多少元？
解：(1)由题意，得y＝300－10(x－44)＝－10x＋740，每本进价40元，且获利不高于30%，即最高价为52元，即x≤52，故44≤x≤52.
(2)w＝(x－40)(－10x＋740)＝－10(x－57)2＋2 890.
当x＜57时，w随x的增大而增大，
而44≤x≤52，∴当x＝52时，w有最大值，最大值为2 640.
故将纪念册销售单价定为52元时，商店每天销售纪念册获得的利润w最大，最大利润是2 640元．
22．(12分)在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2＋bx＋c过点A(－2，－1)，B(0，－3)．
(1)求抛物线的表达式．
(2)平移抛物线，平移后的顶点为P(m，n)(m＞0)．
①如果S△OBP＝3，设直线x＝k，在这条直线的右侧原抛物线和新抛物线均呈上升趋势，求k的取值范围；
②若点P在原抛物线上，新抛物线交y轴于点Q，且∠BPQ＝120°，求点P的坐标．
解：(1)将A(－2，－1)，B(0，－3)代入y＝x2＋bx＋c，得
解得
∴抛物线的表达式为y＝x2－3.
(2)①∵y＝x2－3，
∴抛物线的顶点坐标为(0，－3)，即B是原抛物线的顶点．
∵平移后的抛物线顶点为P(m，n)(m＞0)，
∴抛物线平移了|m|个单位，
∴S△OBP＝×3|m|＝3，解得m＝±2.
∵m＞0，
∴m＝2，即平移后的抛物线的对称轴为直线x＝2.
∵在x＝k的右侧，两抛物线都上升，原抛物线的对称轴为y轴，开口向上，
∴k≥2.
②把P(m，n)代入y＝x2－3，
∴n＝m2－3，
∴P.
由题意，得新抛物线的表达式为y＝(x－m)2＋n＝x2－mx＋m2－3，
∴Q(0，m2－3)．
∵B(0，－3)，
∴BQ＝m2，BP2＝m2＋＝m2＋m4，PQ2＝m2＋[(m2－3)－(m2－3)]2＝m2＋m4，
∴BP＝PQ.
如图，过点P作PC⊥y轴于点C，则PC＝|m|.
∵PB＝PQ，PC⊥BQ，
∴BC＝BQ＝m2，∠BPC＝∠BPQ＝×120°＝60°，
∴tan ∠BPC＝tan 60°＝＝＝，
∴m＝2或m＝－2(舍去)，
∴n＝m2－3＝3，
∴点P的坐标为(2，3)．
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