23 专项突破提升(一) 反比例函数的几何模型与应用（教师版）初中数学鲁教版（五四制）九年级上册
文档属性
| 名称 | 23 专项突破提升(一) 反比例函数的几何模型与应用（教师版）初中数学鲁教版（五四制）九年级上册 |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 261.2KB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 鲁教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2025-09-16 15:30:13 | ||
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文档简介
专项突破提升(一) 反比例函数的几何模型与应用
(建议用时：90分钟 满分：96分)
类型一 反比例函数相关的几何模型
(一)单支双曲线上点与垂线形成的三角形
1．(6分)如图，已知点A(t，1)在第一象限，将OA绕点O顺时针旋转45°得到OB，若反比例函数y＝(k＞0)的图象经过点A，B，求k的值．
解：根据反比例函数图象关于直线y＝x的对称性，得点B的坐标为(1，t)．
如图，过点A作AC⊥y轴于点C，过点B作BE⊥x轴于点E.
由k的几何意义，得k＝1×t＝t.
∵∠AOB＝45°，
∴∠AOC＝∠BOE＝22.5°，
∴tan ∠AOC＝tan 22.5°＝＝t＝k.
作AO的垂直平分线DF，连接AD，
∴AD＝OD，
∴∠DAO＝∠DOA＝22.5°，
∴∠CDA＝45°，
∴DC＝CA＝t，
∴AD＝DO＝t，
∴OC＝OD＋DC，即1＝t＋t，
解得t＝－1，
∴k＝－1.
(二)双曲线上同一象限内一点、两垂线形成的矩形
2．(8分)如图，A，B两点在双曲线y＝(x＞0)上，已知点A(1，4)，B，分别过A，B两点向坐标轴作垂线段，得到三个矩形，记阴影部分矩形面积为S，另两个矩形面积分别为S1，S2.求：
(1)反比例函数的表达式及m的值；
(2)S1＋S2的值．
解：(1)∵点A(1，4)在双曲线y＝(x＞0)上，
∴k＝1×4＝4，
∴反比例函数的表达式为y＝.
∵点B在双曲线y＝上，
∴m＝＝.
(2)∵A，B是双曲线y＝上的点，
∴S1＋S＝4，S＋S2＝4.
∵S＝1×＝，
∴S1＋S2＝4＋4－2×＝.
(三)双曲线上两点、一垂线形成的三角形或四边形
3．(6分)如图，A，B是反比例函数y＝的图象上关于原点O对称的两点，C是y轴负半轴上一点，直线AC与x轴交于点D，且点C是线段AD的中点，连接BD，若点C的坐标是(0，－2)，且△ABD的面积为5，求k的值和点B的坐标．
解：∵A，B是反比例函数y＝的图象上关于原点O对称的两点，
∴OA＝OB.
又∵C是线段AD的中点，
∴OC是△ABD的中位线，
∴OC∥BD，BD＝2OC，∴BD⊥x轴．
∵OA＝OB，
∴S△ABD＝2S△OBD＝2×k＝5，
∴k＝5.
∵点C的坐标为(0，－2)，
∴OC＝2，∴BD＝2OC＝4.
将y＝4代入y＝，得x＝，
∴点B的坐标为.
4．(8分)如图，在平面直角坐标系中，反比例函数y＝经过 ABCD的顶点B，D，点D的坐标为(2，1)，点A在y轴上，且AD∥x轴，S ABCD＝6.
(1)点A的坐标为 (0，1) ，k＝ 2 ；
(2)求AB所在直线的函数表达式．
解：(1)∵点D的坐标为(2，1)，点A在y轴上，且AD∥x轴，
∴点A的坐标(0，1)．
∵y＝的图象经过点D(2，1)，
∴k＝2×1＝2.
故答案为(0，1)；2.
(2)∵D(2，1)，AD∥x轴，
∴AD＝2，AO＝1.
设BC与y轴交于点E.
∵S ABCD＝6，
∴AE＝3，∴OE＝2，
∴点B的纵坐标为－2.
把y＝－2代入y＝，得－2＝，
解得x＝－1，
∴点B的坐标为(－1，－2)．
设直线AB的函数表达式为y＝ax＋b.
将A(0，1)，B(－1，－2)代入，
得
解得
∴AB所在直线的函数表达式为y＝3x＋1.
(四)双曲线上不在同一象限上时，两点或两垂直形成的三角形或四边形
5．(4分)如图，在平面直角坐标系中，点A，B分别在函数y＝(x＞0)，y＝(x＜0)的图象上，AB∥x轴，C是y轴上一点，线段AC与x轴正半轴交于点D.若△ABC的面积为9，＝，则k的值为( C )
A．－9 B．3
C．－6 D．－3
6．(8分)如图，在平面直角坐标系中，点A，B分别在函数y1＝(x＜0)，y2＝(x＞0，k＞0)的图象上，点C在第二象限内，AC⊥x轴于点P，BC⊥y轴于点Q，连接AB，PQ，已知点A的纵坐标为－2.
(1)求点A的横坐标；
(2)若四边形APQB的面积为S，点B的横坐标为2，试用含k的代数式表示S.
解：(1)∵点A在函数y1＝(x＜0)的图象上，点A的纵坐标为－2，
∴－2＝，解得x＝－1，
∴点A的横坐标为－1.
(2)∵点B在函数y2＝(x＞0，k＞0)的图象上，点B的横坐标为2，
∴B，∴PC＝OQ＝，BQ＝2.
∵A(－1，－2)，
∴OP＝CQ＝1，AP＝2，
∴AC＝2＋，BC＝1＋2＝3，
∴S＝S△ABC－S△PQC＝AC·BC－PC·CQ＝×3×1＝3＋k.
类型二 反比例函数在简单几何问题中的应用
7．(4分)如图，矩形ABCD的顶点A，B在x轴的正半轴上，点B在点A的右侧，反比例函数 y1＝在第一象限内的图象与直线 y2＝x交于点D，且反比例函数 y1＝的图象交BC于点E，AD＝4.若矩形ABCD的面积是36，则四边形ABED的面积为 ．
8．(12分)如图，A(4，3)是反比例函数y＝在第一象限图象上一点，连接OA，过点A作AB∥x轴，截取AB＝OA(点B在点A右侧)，连接OB，交反比例函数y＝的图象于点P.求：
(1)反比例函数y＝的表达式；
(2)点B的坐标及OB所在直线的函数表达式；
(3)△OAP的面积．
解：(1)将A(4，3)代入y＝，得k＝12，
∴反比例函数的表达式为y＝.
(2)如图，过点A作AC⊥x轴于点C，
则OC＝4，AC＝3，
∴OA＝＝5.
∵AB∥x轴，且AB＝OA＝5，
∴点B的坐标为(9，3)．
设OB所在直线的函数表达式为y＝mx(m≠0)，
将B(9，3)代入，得m＝，
∴OB所在直线的函数表达式为y＝x.
(3)联立
解得(负值舍去)
∴点P的坐标为(6，2)．
如图，过点P作PD⊥x轴于点D，延长DP交AB于点E，连接AP，
则点E的坐标为(6，3)，
∴AE＝2，PE＝1，PD＝2，
∴S△OAP＝×(2＋6)×3－×6×2－×2×1＝5.
9．(10分)如图，在平面直角坐标系中，直线 y＝－3x＋3与x轴、y轴分别交于A，B两点，以AB为边在第一象限内作正方形ABCD，点D在反比例函数y＝(k≠0)的图象上．
(1)求k的值；
(2)若将正方形沿x轴负方向平移m个单位后，点C恰好落在该反比例函数的图象上，则m的值是多少？
解：(1)如图，作DF⊥x轴于点F.
在y＝－3x＋3中，令x＝0，则y＝3，
即B(0，3)．
令y＝0，则x＝1，即A(1，0)，则OB＝3，OA＝1.
∵∠BAD＝90°，
∴∠BAO＋∠DAF＝90°.
∵在Rt△ABO中，∠BAO＋∠OBA＝90°，
∴∠DAF＝∠OBA．
在△OAB和△FDA中，
∴△OAB≌△FDA(AAS)，
∴AF＝OB＝3，DF＝OA＝1，
∴OF＝4，
∴D(4，1)．
∵点D在反比例函数y＝(k≠0)的图象上，
∴1＝，解得k＝4.
(2)如图，作CE⊥y轴于点E，交反比例函数的图象于点G.
∵同(1)可得△OAB≌△EBC，
∴CE＝OB＝3，BE＝OA＝1，
∴OE＝4，点C的坐标为(3，4)．
∵点C的纵坐标是4，
∴点G的坐标为(1，4)，
∴CG＝2，即m＝2.
类型三 反比例函数的实际应用
(一)工程问题
10．(10分)码头工人每天往一艘轮船上装卸货物，平均每天装卸速度y(吨/天)与所需时间x(天)之间是反比例函数关系，其图象如图所示．
(1)求这个反比例函数的表达式．
(2)由于紧急情况，要求船上的货物不超过5天卸货完毕，那么平均每天至少要卸货多少吨？
(3)若码头原有10名工人，且每名工人每天的装卸量相同，装载完毕恰好用了8天时间，在(2)的条件下，至少需要增加多少名工人才能按时完成任务？
解：(1)设这个反比例函数的表达式为y＝，
根据题意，得50＝，
解得k＝400，
∴这个反比例函数的表达式为y＝.
(2)∵x＝5，∴y＝400÷5＝80，
∴平均每天至少要卸80 t货物．
(3)∵每人一天可卸货50÷10＝5(t)，
∴80÷5＝16(人)，16－10＝6(人)，
∴码头至少需要再增加6名工人才能按时完成任务．
(二)行程问题
11．(10分)一司机驾驶汽车从甲地去乙地，以80 km/h 的平均速度用 6 h到达目的地．
(1)当他按原路匀速返回时，求汽车速度v km/h 与时间 t(h)之间的函数关系式；
(2)如果该司机匀速返回时，用了4.8 h，求返回时的速度；
(3)若返回时，司机全程走高速公路，且匀速行驶，根据规定：最高车速不得超过每小时120 h，最低车速不得低于每小时60 km，问：返程时间的范围是多少？
解：(1)∵s＝80×6＝480(km)，
∴汽车速度v(km/h)与时间t(h)之间的函数关系式为v＝.
(2)当t＝4.8时，v＝＝100，
∴返回时的速度为100 km/h.
(3)如图，k＝480＞0，v随t的增大而减小．
当v＝120时，t＝4，
当v＝60时，t＝8，
∴4≤t≤8，
∴返程时间不少于4 h且不多于8 h．
(三)销售问题
12．(6分)某宾馆客房有80个房间供游客居住，通过调查得知，当每个房间的定价增加时，就会有一些房间空闲，具体数据如下表：
每个房间的定价x/元 150 200 250 300
每天入住的房间数y/间 80 60 48 40
(1)请你认真分析表中数据，写出能表示其变化规律的函数表达式；
(2)对有游客入住的房间，宾馆需对每个房间每天支出20元的各种费用，同时为促进当地旅游业的蓬勃发展，市旅游局将对每个实际入住的房间予以每间每天50元奖励，求每天入住的房间数为50时，宾馆每天的纯利润．
解：(1)由题意，得y＝.
(2)当y＝50时，x＝＝240，
(240－20＋50)×50＝13 500(元)．
∴每天入住的房间数为50时，宾馆每天的纯利润为13 500元．
(四)物理问题
13．(4分)某品牌的自动饮水机，开机加热时每分钟上升10 ℃，加热到100 ℃时停止加热，水温开始下降．此时水温y(℃)与通电时间x(min)成反比例关系．当水温降至20 ℃时，饮水机再自动加热．若水温在20 ℃时接通电源，水温y(℃)与通电时间 x(min)之间的关系如图所示，则下列说法中正确的是( D )
A．水温从20 ℃加热到100 ℃，需要7 min
B．水温下降过程中，y与x之间的函数关系式是y＝
C．上午8点接通电源，可以保证当天9：30能喝到不超过40 ℃的水
D．在一个加热周期内，水温不低于30 ℃的时间为 min
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(建议用时：90分钟 满分：96分)
类型一 反比例函数相关的几何模型
(一)单支双曲线上点与垂线形成的三角形
1．(6分)如图，已知点A(t，1)在第一象限，将OA绕点O顺时针旋转45°得到OB，若反比例函数y＝(k＞0)的图象经过点A，B，求k的值．
解：根据反比例函数图象关于直线y＝x的对称性，得点B的坐标为(1，t)．
如图，过点A作AC⊥y轴于点C，过点B作BE⊥x轴于点E.
由k的几何意义，得k＝1×t＝t.
∵∠AOB＝45°，
∴∠AOC＝∠BOE＝22.5°，
∴tan ∠AOC＝tan 22.5°＝＝t＝k.
作AO的垂直平分线DF，连接AD，
∴AD＝OD，
∴∠DAO＝∠DOA＝22.5°，
∴∠CDA＝45°，
∴DC＝CA＝t，
∴AD＝DO＝t，
∴OC＝OD＋DC，即1＝t＋t，
解得t＝－1，
∴k＝－1.
(二)双曲线上同一象限内一点、两垂线形成的矩形
2．(8分)如图，A，B两点在双曲线y＝(x＞0)上，已知点A(1，4)，B，分别过A，B两点向坐标轴作垂线段，得到三个矩形，记阴影部分矩形面积为S，另两个矩形面积分别为S1，S2.求：
(1)反比例函数的表达式及m的值；
(2)S1＋S2的值．
解：(1)∵点A(1，4)在双曲线y＝(x＞0)上，
∴k＝1×4＝4，
∴反比例函数的表达式为y＝.
∵点B在双曲线y＝上，
∴m＝＝.
(2)∵A，B是双曲线y＝上的点，
∴S1＋S＝4，S＋S2＝4.
∵S＝1×＝，
∴S1＋S2＝4＋4－2×＝.
(三)双曲线上两点、一垂线形成的三角形或四边形
3．(6分)如图，A，B是反比例函数y＝的图象上关于原点O对称的两点，C是y轴负半轴上一点，直线AC与x轴交于点D，且点C是线段AD的中点，连接BD，若点C的坐标是(0，－2)，且△ABD的面积为5，求k的值和点B的坐标．
解：∵A，B是反比例函数y＝的图象上关于原点O对称的两点，
∴OA＝OB.
又∵C是线段AD的中点，
∴OC是△ABD的中位线，
∴OC∥BD，BD＝2OC，∴BD⊥x轴．
∵OA＝OB，
∴S△ABD＝2S△OBD＝2×k＝5，
∴k＝5.
∵点C的坐标为(0，－2)，
∴OC＝2，∴BD＝2OC＝4.
将y＝4代入y＝，得x＝，
∴点B的坐标为.
4．(8分)如图，在平面直角坐标系中，反比例函数y＝经过 ABCD的顶点B，D，点D的坐标为(2，1)，点A在y轴上，且AD∥x轴，S ABCD＝6.
(1)点A的坐标为 (0，1) ，k＝ 2 ；
(2)求AB所在直线的函数表达式．
解：(1)∵点D的坐标为(2，1)，点A在y轴上，且AD∥x轴，
∴点A的坐标(0，1)．
∵y＝的图象经过点D(2，1)，
∴k＝2×1＝2.
故答案为(0，1)；2.
(2)∵D(2，1)，AD∥x轴，
∴AD＝2，AO＝1.
设BC与y轴交于点E.
∵S ABCD＝6，
∴AE＝3，∴OE＝2，
∴点B的纵坐标为－2.
把y＝－2代入y＝，得－2＝，
解得x＝－1，
∴点B的坐标为(－1，－2)．
设直线AB的函数表达式为y＝ax＋b.
将A(0，1)，B(－1，－2)代入，
得
解得
∴AB所在直线的函数表达式为y＝3x＋1.
(四)双曲线上不在同一象限上时，两点或两垂直形成的三角形或四边形
5．(4分)如图，在平面直角坐标系中，点A，B分别在函数y＝(x＞0)，y＝(x＜0)的图象上，AB∥x轴，C是y轴上一点，线段AC与x轴正半轴交于点D.若△ABC的面积为9，＝，则k的值为( C )
A．－9 B．3
C．－6 D．－3
6．(8分)如图，在平面直角坐标系中，点A，B分别在函数y1＝(x＜0)，y2＝(x＞0，k＞0)的图象上，点C在第二象限内，AC⊥x轴于点P，BC⊥y轴于点Q，连接AB，PQ，已知点A的纵坐标为－2.
(1)求点A的横坐标；
(2)若四边形APQB的面积为S，点B的横坐标为2，试用含k的代数式表示S.
解：(1)∵点A在函数y1＝(x＜0)的图象上，点A的纵坐标为－2，
∴－2＝，解得x＝－1，
∴点A的横坐标为－1.
(2)∵点B在函数y2＝(x＞0，k＞0)的图象上，点B的横坐标为2，
∴B，∴PC＝OQ＝，BQ＝2.
∵A(－1，－2)，
∴OP＝CQ＝1，AP＝2，
∴AC＝2＋，BC＝1＋2＝3，
∴S＝S△ABC－S△PQC＝AC·BC－PC·CQ＝×3×1＝3＋k.
类型二 反比例函数在简单几何问题中的应用
7．(4分)如图，矩形ABCD的顶点A，B在x轴的正半轴上，点B在点A的右侧，反比例函数 y1＝在第一象限内的图象与直线 y2＝x交于点D，且反比例函数 y1＝的图象交BC于点E，AD＝4.若矩形ABCD的面积是36，则四边形ABED的面积为 ．
8．(12分)如图，A(4，3)是反比例函数y＝在第一象限图象上一点，连接OA，过点A作AB∥x轴，截取AB＝OA(点B在点A右侧)，连接OB，交反比例函数y＝的图象于点P.求：
(1)反比例函数y＝的表达式；
(2)点B的坐标及OB所在直线的函数表达式；
(3)△OAP的面积．
解：(1)将A(4，3)代入y＝，得k＝12，
∴反比例函数的表达式为y＝.
(2)如图，过点A作AC⊥x轴于点C，
则OC＝4，AC＝3，
∴OA＝＝5.
∵AB∥x轴，且AB＝OA＝5，
∴点B的坐标为(9，3)．
设OB所在直线的函数表达式为y＝mx(m≠0)，
将B(9，3)代入，得m＝，
∴OB所在直线的函数表达式为y＝x.
(3)联立
解得(负值舍去)
∴点P的坐标为(6，2)．
如图，过点P作PD⊥x轴于点D，延长DP交AB于点E，连接AP，
则点E的坐标为(6，3)，
∴AE＝2，PE＝1，PD＝2，
∴S△OAP＝×(2＋6)×3－×6×2－×2×1＝5.
9．(10分)如图，在平面直角坐标系中，直线 y＝－3x＋3与x轴、y轴分别交于A，B两点，以AB为边在第一象限内作正方形ABCD，点D在反比例函数y＝(k≠0)的图象上．
(1)求k的值；
(2)若将正方形沿x轴负方向平移m个单位后，点C恰好落在该反比例函数的图象上，则m的值是多少？
解：(1)如图，作DF⊥x轴于点F.
在y＝－3x＋3中，令x＝0，则y＝3，
即B(0，3)．
令y＝0，则x＝1，即A(1，0)，则OB＝3，OA＝1.
∵∠BAD＝90°，
∴∠BAO＋∠DAF＝90°.
∵在Rt△ABO中，∠BAO＋∠OBA＝90°，
∴∠DAF＝∠OBA．
在△OAB和△FDA中，
∴△OAB≌△FDA(AAS)，
∴AF＝OB＝3，DF＝OA＝1，
∴OF＝4，
∴D(4，1)．
∵点D在反比例函数y＝(k≠0)的图象上，
∴1＝，解得k＝4.
(2)如图，作CE⊥y轴于点E，交反比例函数的图象于点G.
∵同(1)可得△OAB≌△EBC，
∴CE＝OB＝3，BE＝OA＝1，
∴OE＝4，点C的坐标为(3，4)．
∵点C的纵坐标是4，
∴点G的坐标为(1，4)，
∴CG＝2，即m＝2.
类型三 反比例函数的实际应用
(一)工程问题
10．(10分)码头工人每天往一艘轮船上装卸货物，平均每天装卸速度y(吨/天)与所需时间x(天)之间是反比例函数关系，其图象如图所示．
(1)求这个反比例函数的表达式．
(2)由于紧急情况，要求船上的货物不超过5天卸货完毕，那么平均每天至少要卸货多少吨？
(3)若码头原有10名工人，且每名工人每天的装卸量相同，装载完毕恰好用了8天时间，在(2)的条件下，至少需要增加多少名工人才能按时完成任务？
解：(1)设这个反比例函数的表达式为y＝，
根据题意，得50＝，
解得k＝400，
∴这个反比例函数的表达式为y＝.
(2)∵x＝5，∴y＝400÷5＝80，
∴平均每天至少要卸80 t货物．
(3)∵每人一天可卸货50÷10＝5(t)，
∴80÷5＝16(人)，16－10＝6(人)，
∴码头至少需要再增加6名工人才能按时完成任务．
(二)行程问题
11．(10分)一司机驾驶汽车从甲地去乙地，以80 km/h 的平均速度用 6 h到达目的地．
(1)当他按原路匀速返回时，求汽车速度v km/h 与时间 t(h)之间的函数关系式；
(2)如果该司机匀速返回时，用了4.8 h，求返回时的速度；
(3)若返回时，司机全程走高速公路，且匀速行驶，根据规定：最高车速不得超过每小时120 h，最低车速不得低于每小时60 km，问：返程时间的范围是多少？
解：(1)∵s＝80×6＝480(km)，
∴汽车速度v(km/h)与时间t(h)之间的函数关系式为v＝.
(2)当t＝4.8时，v＝＝100，
∴返回时的速度为100 km/h.
(3)如图，k＝480＞0，v随t的增大而减小．
当v＝120时，t＝4，
当v＝60时，t＝8，
∴4≤t≤8，
∴返程时间不少于4 h且不多于8 h．
(三)销售问题
12．(6分)某宾馆客房有80个房间供游客居住，通过调查得知，当每个房间的定价增加时，就会有一些房间空闲，具体数据如下表：
每个房间的定价x/元 150 200 250 300
每天入住的房间数y/间 80 60 48 40
(1)请你认真分析表中数据，写出能表示其变化规律的函数表达式；
(2)对有游客入住的房间，宾馆需对每个房间每天支出20元的各种费用，同时为促进当地旅游业的蓬勃发展，市旅游局将对每个实际入住的房间予以每间每天50元奖励，求每天入住的房间数为50时，宾馆每天的纯利润．
解：(1)由题意，得y＝.
(2)当y＝50时，x＝＝240，
(240－20＋50)×50＝13 500(元)．
∴每天入住的房间数为50时，宾馆每天的纯利润为13 500元．
(四)物理问题
13．(4分)某品牌的自动饮水机，开机加热时每分钟上升10 ℃，加热到100 ℃时停止加热，水温开始下降．此时水温y(℃)与通电时间x(min)成反比例关系．当水温降至20 ℃时，饮水机再自动加热．若水温在20 ℃时接通电源，水温y(℃)与通电时间 x(min)之间的关系如图所示，则下列说法中正确的是( D )
A．水温从20 ℃加热到100 ℃，需要7 min
B．水温下降过程中，y与x之间的函数关系式是y＝
C．上午8点接通电源，可以保证当天9：30能喝到不超过40 ℃的水
D．在一个加热周期内，水温不低于30 ℃的时间为 min
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