24 专项突破提升(二) 解直角三角形的综合应用（教师版）初中数学鲁教版（五四制）九年级上册
文档属性
| 名称 | 24 专项突破提升(二) 解直角三角形的综合应用（教师版）初中数学鲁教版（五四制）九年级上册 |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 388.7KB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 鲁教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2025-09-16 15:30:13 | ||
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文档简介
专项突破提升(二) 解直角三角形的综合应用
(建议用时：90分钟 满分：72分)
模型一 单一直角三角形型
1．(4分)如图，海中有一小岛A，在点B处测得小岛A在北偏东30°方向上，渔船从点B出发自西向东航行10 n mile到达点C处，在点C处测得小岛A恰好在正北方向上，此时渔船与小岛A的距离为( D )
A． n mile B． n mile
C．20 n mile D．10 n mile
解析：如图，连接AC.
由题意，得AC⊥CB.
在Rt△ACB中，∠ABC＝90°－30°＝60°，BC＝10 n mile，
∴AC＝BC tan 60°＝10 n mile，
∴此时渔船与小岛A的距离为10 n mile.
2．(6分)我校组织学生开展综合实践活动．数学小组的同学们在距一栋写字楼20 m的点B处，用高为0.8 m的测角仪AB测得写字楼顶点C的仰角为63°，求写字楼CD的高度．(参考数据：sin 63°≈0.89，cos 63°≈0.45，tan 63°≈1.96)
解：如图，过点A作AE⊥CD于点E.
在Rt△CAE中，AE＝20 m，∠CAE＝63°，
∴CE＝AE·tan ∠CAE≈20×1.96
＝39.2(m)，
∴CD＝CE＋ED＝39.2＋0.8＝40(m)，
∴写字楼CD的高度约为40 m．
3．(6分)如图，一数学项目学习小组要测量某路灯Q-P-M的顶部到地面的距离MN，他们借助卷尺、测角仪进行测量，测量结果如表所示．
测量项目 测量数据
从A处测得路灯顶部M的仰角α α＝58°
测角仪到地面的距离AB AB＝1.6 m
路灯顶部M正下方N至测量点B的水平距离BN BN＝2 m
根据以上测量结果，求路灯顶部到地面的距离MN.(结果精确到0.1 m，参考数据：sin 58°≈0.85，cos 58°≈0.53，tan 58°≈1.60)
解：如图，过点A作AH⊥MN于点H.
由题意，得AH＝BN＝2 m，
HN＝AB＝1.6 m.
在Rt△AMH中，tan α＝，
∴MH＝AH·tan 58°≈2×1.60＝3.2(m)，
∴MN＝MH＋HN＝3.2＋1.6＝4.8(m)．
故路灯顶部到地面的距离MN约为4.8 m．
模型二 背靠背型
4．(4分)如图，大坝横断面的斜坡AB的坡比i＝1∶2，背水坡CD的坡比i＝1∶1.若AB的长度为6 m，则斜坡CD的长度为( B )
A．6 m B．6 m
C．6 m D．3 m
解析：如图，分别过点B，C作BE⊥AD，CF⊥AD.
∴四边形BEFC为矩形．
设BE＝x m，则AE＝2x m.
在Rt△ABE中，根据勾股定理，得BE2＋AE2＝AB2，
即x2＋(2x)2＝(6)2，
解得x＝6或x＝－6(不合题意，舍去)．
∵背水坡CD的坡比i＝1∶1，
∴CF＝DF＝BE＝6 m.
在Rt△CFD中，根据勾股定理，得CD＝＝＝6(m)．
5．(6分)“科技改变生活”，小王是一名摄影爱好者，新入手一台无人机用于航拍．在一次航拍时，数据显示，从无人机A看建筑物顶部B的仰角为45°，看底部C的俯角为60°，无人机A到该建筑物BC的水平距离AD为10 m，求该建筑物BC的高度．(结果精确到0.1 m，参考数据：≈1.41，≈1.73)
解：根据题意，得∠BAD＝45°，∠CAD＝60°，AD⊥BC.
∵AD⊥BC，∴∠BDA＝∠ADC＝90°，
∴∠BAD＝∠ABD＝45°，
∴BD＝AD＝10 m.
在Rt△ACD中，CD＝AD·tan ∠CAD＝AD·tan 60°＝10(m)，
∴BC＝BD＋CD＝10＋10≈27.3(m)，
即该建筑物BC的高度约为27.3 m.
6．(8分)小华想利用所学知识测量自家对面的两栋楼AB与CD的高度差．如图，她站在自家阳台上发现，在阳台的点E处恰好可经过楼CD的顶端C看到楼AB的底端B，即点E，C，B在同一条直线上．此时，测得点B的俯角α＝22°，点A的仰角β＝16.7°，并测得EF＝48 m，FD＝50 m．已知EF⊥FB，CD⊥FB，AB⊥FB，点F，D，B在同一水平直线上．求楼AB与CD的高度差．(参考数据：sin 16.7°≈0.29，cos 16.7°≈0.96，tan 16.7°≈0.30，sin 22°≈0.37，cos 22°≈0.93，tan 22°≈0.40)
解：如图，过点C作CG⊥EF于点G，过点E作EH⊥AB于点H.
∵EF⊥FB，CD⊥FB，AB⊥FB，
∴CG＝FD＝50 m，HB＝EF＝48 m.
在Rt△CGE中，CG＝50 m，∠ECG＝α＝22°，
∴EG＝CG·tan ∠ECG≈50×0.40＝20(m)，
∴CD＝FG＝EF－EG＝48－20＝28(m)．
在Rt△EFB中，EF＝48 m，∠EBF＝α＝22°，
∴FB＝≈＝120(m)．
在Rt△AHE中，EH＝FB＝120 m，∠AEH＝β＝16.7°，
∴AH＝EH·tan ∠AEH≈120×0.30＝36(m)，
∴AB＝AH＋BH＝AH＋EF＝36＋48＝84(m)，
∴AB－CD＝84－28＝56(m)，
故楼AB与CD的高度差约为56 m．
模型三 母子型
7．(6分)永州市道县陈树湘纪念馆中陈列的陈树湘雕像高2.9 m(如图1所示)，寓意陈树湘为中国革命“断肠明志”牺牲时的年龄为29岁．如图2，以线段AB代表陈树湘雕像，一参观者在水平地面BN上D处为陈树湘雕像拍照，相机支架CD高 0.9 m，在相机C处观测雕像顶端A的仰角为45°，然后将相机支架移到MN处拍照，在相机M处观测雕像顶端A的仰角为30°，求D，N两点间的距离．(结果精确到0.1 m，参考数据：≈1.732)
解：根据题意，得AB⊥BN，AH⊥HM，BH＝CD＝MN＝0.9 m，AB＝2.9 m，CM＝DN，∴AH＝AB－BH＝2.9－0.9＝2(m)．
在Rt△AHC中，∠ACH＝45°，
∴CH＝＝＝2(m)．
在Rt△AHM中，∠AMH＝30°，
∴HM＝＝＝2(m)，
∴CM＝HM－HC＝2－2≈1.5(m)，
∴DN＝CM＝1.5 m，
∴D，N两点间的距离约为1.5 m．
8．(8分)如图，数学兴趣小组用无人机测量一幢楼AB的高度．小亮站立在距离楼底部94 m 的点D处，操控无人机从地面点F处竖直起飞到正上方60 m的点E处时，测得楼AB的顶端A的俯角为30°，小亮的眼睛从点C看无人机的仰角为45°(B，F，D三点在同一条直线上)，小亮的眼睛距离地面1.7 m.求楼AB的高度．(参考数据：≈1.7)
解：如图，过点C作CG⊥EF，垂足为点G，延长BA交HE于点I.
根据题意，得BI⊥EH，GF＝CD＝1.7 m，CG＝DF，EI＝BF，IB＝EF＝60 m，BD＝94 m，
∴EG＝EF－FG＝60－1.7＝58.3(m)．
在Rt△EGC中，∠ECG＝45°，
∴CG＝＝＝58.3(m)，
∴DF＝CG＝58.3 m，
∴IE＝BF＝BD－DF＝94－58.3＝35.7(m)．
在Rt△AIE中，∠AEI＝30°，
∴AI＝IE·tan 30°＝35.7×≈20.23(m)，
∴AB＝IB－IA＝60－20.23＝39.77(m)，
∴楼AB的高度约为39.77 m．
9．(8分)如图，某电影院的观众席呈“阶梯状”，每一级台阶的水平宽度都为1 m，垂直高度都为0.3 m．在点C处测得点A的仰角∠ACE＝42°，在点D处测得点A的仰角∠ADF＝35°.求银幕AB的高度．(参考数据：sin 35°≈0.57，cos 35°≈0.82，tan 35°≈0.70，sin 42°≈0.67，cos 42°≈0.74，tan 42°≈0.90)
解：如图，延长CE，DF交AB于点H，G.
根据题意，得∠AGD＝∠AHC＝90°.
在Rt△ADG中，∠ADG＝35°，
∴tan 35°＝，即DG＝.
在Rt△ACH中，∠ACH＝42°，
∴tan 42°＝，
即CH＝.
∵AH＝AG＋GH，GH＝0.3 m，
∴CH＝.
∵DG－CH＝1，
∴＝1，
∴＝1，
解得AG＝4.2，
∴AB＝AG＋GH＋BH＝4.2＋0.3＋0.6＝5.1(m)，即银幕AB的高度约为 5.1 m.
模型四 拥抱型
10．(6分)如图，两幢建筑物AB和CD，AB⊥BD，CD⊥BD，AB＝15 m，CD＝20 m，AB和CD之间有一景观池，小南在点A处测得池中喷泉E处的俯角为42°，在点C处测得E处的俯角为45°，点B，E，D在同一条直线上，求两幢建筑物之间的距离BD.(结果精确到0.1 m，参考数据：sin 42°≈0.67，cos 42°≈0.74，tan 42°≈0.90)
解：根据题意，得∠AEB＝42°，∠DEC＝45°.
在Rt△ABE中，∠ABE＝90°，AB＝15 m，∠AEB＝42°，tan ∠AEB＝，
∴BE＝≈15÷0.90＝(m)．
在Rt△DEC中，∠CDE＝90°，∠DEC＝∠DCE＝45°，CD＝20 m，
∴ED＝CD＝20 m，
∴BD＝BE＋ED＝＋20≈36.7(m)．
故两幢建筑物之间的距离BD约为36.7 m．
11．(10分)为积极参与全国文明城市创建活动，某市某校在教学楼顶部新建了一块大型宣传牌．如图，小明同学为测量宣传牌的高度AB，他站在距离教学楼底部E处6 m远的地面C处，测得宣传牌的底部B的仰角为60°，同时测得教学楼窗户D处的仰角为30°(点A，B，D，E在同一条直线上)．然后小明沿坡比i＝1∶1.5 的斜坡从C处走到F处，此时DF正好与地面CE平行．
(1)求点F到地面CE的距离；(结果保留根号)
(2)若小明在F处又测得宣传牌顶部A的仰角为45°，求宣传牌的高度AB.(结果精确到0.1 m，参考数据：≈1.41，≈1.73)
解：(1)如图，过点F作FG⊥EC于点G.
根据题意，得FG∥DE，DF∥GE，∠FGE＝90°，
∴四边形DEGF是矩形，
∴FG＝DE.
在Rt△CDE中，DE＝CE·tan ∠DCE＝6×tan 30°＝2(m)，
∴点F到地面CE的距离为2 m.
(2)∵斜坡CF的坡度 i＝1∶1.5，
∴在Rt△CFG中，CG＝1.5FG＝2×1.5＝3(m)，
∴FD＝EG＝(3＋6)m.
在Rt△ADF中，∠ADF＝90°，∠AFD＝45°，∴AD＝FD＝(3＋6)m.
在Rt△BCE中，BE＝CE·tan ∠BCE＝6×tan 60°＝6(m)，
∴AB＝AD＋DE－BE＝3＋6＋2－6＝6－≈4.3(m)．
故宣传牌的高度AB约为4.3 m．
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(建议用时：90分钟 满分：72分)
模型一 单一直角三角形型
1．(4分)如图，海中有一小岛A，在点B处测得小岛A在北偏东30°方向上，渔船从点B出发自西向东航行10 n mile到达点C处，在点C处测得小岛A恰好在正北方向上，此时渔船与小岛A的距离为( D )
A． n mile B． n mile
C．20 n mile D．10 n mile
解析：如图，连接AC.
由题意，得AC⊥CB.
在Rt△ACB中，∠ABC＝90°－30°＝60°，BC＝10 n mile，
∴AC＝BC tan 60°＝10 n mile，
∴此时渔船与小岛A的距离为10 n mile.
2．(6分)我校组织学生开展综合实践活动．数学小组的同学们在距一栋写字楼20 m的点B处，用高为0.8 m的测角仪AB测得写字楼顶点C的仰角为63°，求写字楼CD的高度．(参考数据：sin 63°≈0.89，cos 63°≈0.45，tan 63°≈1.96)
解：如图，过点A作AE⊥CD于点E.
在Rt△CAE中，AE＝20 m，∠CAE＝63°，
∴CE＝AE·tan ∠CAE≈20×1.96
＝39.2(m)，
∴CD＝CE＋ED＝39.2＋0.8＝40(m)，
∴写字楼CD的高度约为40 m．
3．(6分)如图，一数学项目学习小组要测量某路灯Q-P-M的顶部到地面的距离MN，他们借助卷尺、测角仪进行测量，测量结果如表所示．
测量项目 测量数据
从A处测得路灯顶部M的仰角α α＝58°
测角仪到地面的距离AB AB＝1.6 m
路灯顶部M正下方N至测量点B的水平距离BN BN＝2 m
根据以上测量结果，求路灯顶部到地面的距离MN.(结果精确到0.1 m，参考数据：sin 58°≈0.85，cos 58°≈0.53，tan 58°≈1.60)
解：如图，过点A作AH⊥MN于点H.
由题意，得AH＝BN＝2 m，
HN＝AB＝1.6 m.
在Rt△AMH中，tan α＝，
∴MH＝AH·tan 58°≈2×1.60＝3.2(m)，
∴MN＝MH＋HN＝3.2＋1.6＝4.8(m)．
故路灯顶部到地面的距离MN约为4.8 m．
模型二 背靠背型
4．(4分)如图，大坝横断面的斜坡AB的坡比i＝1∶2，背水坡CD的坡比i＝1∶1.若AB的长度为6 m，则斜坡CD的长度为( B )
A．6 m B．6 m
C．6 m D．3 m
解析：如图，分别过点B，C作BE⊥AD，CF⊥AD.
∴四边形BEFC为矩形．
设BE＝x m，则AE＝2x m.
在Rt△ABE中，根据勾股定理，得BE2＋AE2＝AB2，
即x2＋(2x)2＝(6)2，
解得x＝6或x＝－6(不合题意，舍去)．
∵背水坡CD的坡比i＝1∶1，
∴CF＝DF＝BE＝6 m.
在Rt△CFD中，根据勾股定理，得CD＝＝＝6(m)．
5．(6分)“科技改变生活”，小王是一名摄影爱好者，新入手一台无人机用于航拍．在一次航拍时，数据显示，从无人机A看建筑物顶部B的仰角为45°，看底部C的俯角为60°，无人机A到该建筑物BC的水平距离AD为10 m，求该建筑物BC的高度．(结果精确到0.1 m，参考数据：≈1.41，≈1.73)
解：根据题意，得∠BAD＝45°，∠CAD＝60°，AD⊥BC.
∵AD⊥BC，∴∠BDA＝∠ADC＝90°，
∴∠BAD＝∠ABD＝45°，
∴BD＝AD＝10 m.
在Rt△ACD中，CD＝AD·tan ∠CAD＝AD·tan 60°＝10(m)，
∴BC＝BD＋CD＝10＋10≈27.3(m)，
即该建筑物BC的高度约为27.3 m.
6．(8分)小华想利用所学知识测量自家对面的两栋楼AB与CD的高度差．如图，她站在自家阳台上发现，在阳台的点E处恰好可经过楼CD的顶端C看到楼AB的底端B，即点E，C，B在同一条直线上．此时，测得点B的俯角α＝22°，点A的仰角β＝16.7°，并测得EF＝48 m，FD＝50 m．已知EF⊥FB，CD⊥FB，AB⊥FB，点F，D，B在同一水平直线上．求楼AB与CD的高度差．(参考数据：sin 16.7°≈0.29，cos 16.7°≈0.96，tan 16.7°≈0.30，sin 22°≈0.37，cos 22°≈0.93，tan 22°≈0.40)
解：如图，过点C作CG⊥EF于点G，过点E作EH⊥AB于点H.
∵EF⊥FB，CD⊥FB，AB⊥FB，
∴CG＝FD＝50 m，HB＝EF＝48 m.
在Rt△CGE中，CG＝50 m，∠ECG＝α＝22°，
∴EG＝CG·tan ∠ECG≈50×0.40＝20(m)，
∴CD＝FG＝EF－EG＝48－20＝28(m)．
在Rt△EFB中，EF＝48 m，∠EBF＝α＝22°，
∴FB＝≈＝120(m)．
在Rt△AHE中，EH＝FB＝120 m，∠AEH＝β＝16.7°，
∴AH＝EH·tan ∠AEH≈120×0.30＝36(m)，
∴AB＝AH＋BH＝AH＋EF＝36＋48＝84(m)，
∴AB－CD＝84－28＝56(m)，
故楼AB与CD的高度差约为56 m．
模型三 母子型
7．(6分)永州市道县陈树湘纪念馆中陈列的陈树湘雕像高2.9 m(如图1所示)，寓意陈树湘为中国革命“断肠明志”牺牲时的年龄为29岁．如图2，以线段AB代表陈树湘雕像，一参观者在水平地面BN上D处为陈树湘雕像拍照，相机支架CD高 0.9 m，在相机C处观测雕像顶端A的仰角为45°，然后将相机支架移到MN处拍照，在相机M处观测雕像顶端A的仰角为30°，求D，N两点间的距离．(结果精确到0.1 m，参考数据：≈1.732)
解：根据题意，得AB⊥BN，AH⊥HM，BH＝CD＝MN＝0.9 m，AB＝2.9 m，CM＝DN，∴AH＝AB－BH＝2.9－0.9＝2(m)．
在Rt△AHC中，∠ACH＝45°，
∴CH＝＝＝2(m)．
在Rt△AHM中，∠AMH＝30°，
∴HM＝＝＝2(m)，
∴CM＝HM－HC＝2－2≈1.5(m)，
∴DN＝CM＝1.5 m，
∴D，N两点间的距离约为1.5 m．
8．(8分)如图，数学兴趣小组用无人机测量一幢楼AB的高度．小亮站立在距离楼底部94 m 的点D处，操控无人机从地面点F处竖直起飞到正上方60 m的点E处时，测得楼AB的顶端A的俯角为30°，小亮的眼睛从点C看无人机的仰角为45°(B，F，D三点在同一条直线上)，小亮的眼睛距离地面1.7 m.求楼AB的高度．(参考数据：≈1.7)
解：如图，过点C作CG⊥EF，垂足为点G，延长BA交HE于点I.
根据题意，得BI⊥EH，GF＝CD＝1.7 m，CG＝DF，EI＝BF，IB＝EF＝60 m，BD＝94 m，
∴EG＝EF－FG＝60－1.7＝58.3(m)．
在Rt△EGC中，∠ECG＝45°，
∴CG＝＝＝58.3(m)，
∴DF＝CG＝58.3 m，
∴IE＝BF＝BD－DF＝94－58.3＝35.7(m)．
在Rt△AIE中，∠AEI＝30°，
∴AI＝IE·tan 30°＝35.7×≈20.23(m)，
∴AB＝IB－IA＝60－20.23＝39.77(m)，
∴楼AB的高度约为39.77 m．
9．(8分)如图，某电影院的观众席呈“阶梯状”，每一级台阶的水平宽度都为1 m，垂直高度都为0.3 m．在点C处测得点A的仰角∠ACE＝42°，在点D处测得点A的仰角∠ADF＝35°.求银幕AB的高度．(参考数据：sin 35°≈0.57，cos 35°≈0.82，tan 35°≈0.70，sin 42°≈0.67，cos 42°≈0.74，tan 42°≈0.90)
解：如图，延长CE，DF交AB于点H，G.
根据题意，得∠AGD＝∠AHC＝90°.
在Rt△ADG中，∠ADG＝35°，
∴tan 35°＝，即DG＝.
在Rt△ACH中，∠ACH＝42°，
∴tan 42°＝，
即CH＝.
∵AH＝AG＋GH，GH＝0.3 m，
∴CH＝.
∵DG－CH＝1，
∴＝1，
∴＝1，
解得AG＝4.2，
∴AB＝AG＋GH＋BH＝4.2＋0.3＋0.6＝5.1(m)，即银幕AB的高度约为 5.1 m.
模型四 拥抱型
10．(6分)如图，两幢建筑物AB和CD，AB⊥BD，CD⊥BD，AB＝15 m，CD＝20 m，AB和CD之间有一景观池，小南在点A处测得池中喷泉E处的俯角为42°，在点C处测得E处的俯角为45°，点B，E，D在同一条直线上，求两幢建筑物之间的距离BD.(结果精确到0.1 m，参考数据：sin 42°≈0.67，cos 42°≈0.74，tan 42°≈0.90)
解：根据题意，得∠AEB＝42°，∠DEC＝45°.
在Rt△ABE中，∠ABE＝90°，AB＝15 m，∠AEB＝42°，tan ∠AEB＝，
∴BE＝≈15÷0.90＝(m)．
在Rt△DEC中，∠CDE＝90°，∠DEC＝∠DCE＝45°，CD＝20 m，
∴ED＝CD＝20 m，
∴BD＝BE＋ED＝＋20≈36.7(m)．
故两幢建筑物之间的距离BD约为36.7 m．
11．(10分)为积极参与全国文明城市创建活动，某市某校在教学楼顶部新建了一块大型宣传牌．如图，小明同学为测量宣传牌的高度AB，他站在距离教学楼底部E处6 m远的地面C处，测得宣传牌的底部B的仰角为60°，同时测得教学楼窗户D处的仰角为30°(点A，B，D，E在同一条直线上)．然后小明沿坡比i＝1∶1.5 的斜坡从C处走到F处，此时DF正好与地面CE平行．
(1)求点F到地面CE的距离；(结果保留根号)
(2)若小明在F处又测得宣传牌顶部A的仰角为45°，求宣传牌的高度AB.(结果精确到0.1 m，参考数据：≈1.41，≈1.73)
解：(1)如图，过点F作FG⊥EC于点G.
根据题意，得FG∥DE，DF∥GE，∠FGE＝90°，
∴四边形DEGF是矩形，
∴FG＝DE.
在Rt△CDE中，DE＝CE·tan ∠DCE＝6×tan 30°＝2(m)，
∴点F到地面CE的距离为2 m.
(2)∵斜坡CF的坡度 i＝1∶1.5，
∴在Rt△CFG中，CG＝1.5FG＝2×1.5＝3(m)，
∴FD＝EG＝(3＋6)m.
在Rt△ADF中，∠ADF＝90°，∠AFD＝45°，∴AD＝FD＝(3＋6)m.
在Rt△BCE中，BE＝CE·tan ∠BCE＝6×tan 60°＝6(m)，
∴AB＝AD＋DE－BE＝3＋6＋2－6＝6－≈4.3(m)．
故宣传牌的高度AB约为4.3 m．
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