25　专项突破提升(三)　二次函数的图象与性质（教师版）初中数学鲁教版（五四制）九年级上册

专项突破提升(三)　二次函数的图象与性质
(建议用时：90分钟　满分：146分)
类型一　配方法与二次函数的图象
1．(4分)已知二次函数的表达式为y＝x2－4x＋2，则图象的顶点坐标是(　C　)
A．(4，2) B．(2，2)
C．(2，－2) D．(－2，－2)
2．(4分)抛物线y＝－x2－2x－1的顶点坐标是　(－2，1)　，对称轴是　直线x＝－2　．
3．(10分)用配方法将下列函数化成y＝a(x－h)2＋k的形式，并指出抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标．
(1)y＝x2－2x＋3；
(2)y＝(1－x)(1＋2x)．
解：(1)y＝x2－2x＋3＝(x－2)2＋1，
开口向上，对称轴是直线x＝2，顶点坐标是(2，1)．
(2)y＝(1－x)(1＋2x)＝－2x2＋x＋1＝＋，
开口向下，对称轴是直线x＝，顶点坐标是.
类型二　二次函数的图象与各系数之间的关系
4．(4分)已知m，n是常数，且n＜0，二次函数y＝mx2＋nx＋m2－4的图象是下列三个图象之一，则m的值为(　A　)
A．2 B．±2
C．－3 D．－2
5．(4分)已知函数y＝2mx2＋(1－4m)x＋2m－1，下列结论错误的是(　C　)
A．当m＝0时，y随x的增大而增大
B.当m＝时，函数图象的顶点坐标是
C．当m＝－1时，若x＜，则y随x的增大而减小
D．无论m取何值，函数图象都经过同一个点
6．(4分)已知二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如图所示，则下列结论中不正确的有(　A　)
①abc＞0；②2a＋b＝0；③9a＋3b＋c＞0；
④4ac－b2＜0；⑤a＋b＞m(am＋b)(m为任意实数)．
A．3个 B．2个
C．1个 D．0个
类型三　利用二次函数的性质求字母的值及取值范围
7．(4分)已知二次函数y＝(a－1)x2－x＋a2－1的图象经过原点，则a的值为(　C　)
A．±1 B．1
C．－1 D．无法确定
8．(4分)若抛物线y＝2(x＋m－1)2－3m＋6的顶点在第二象限，则m的取值范围是(　C　)
A．m＞1 B．m＜2
C．1＜m＜2 D．－2＜m＜－1
9．(4分)已知抛物线y＝－(x－2)2＋9，当m≤x≤5时，0≤y≤9，则m的值可以是(　B　)
A．－2 B．1
C．3 D．4
10．(4分)若抛物线y＝x2－6x＋c－2的顶点到x轴的距离是4，则c的值为　7或15　．
11．(12分)已知二次函数y＝x2＋mx＋m－1，根据下列条件求m的值．
(1)图象的顶点在y轴上；
(2)图象的顶点在x轴上；
(3)二次函数的最小值是－1.
解：y＝x2＋mx＋m－1＝x2＋mx＋＋m－1＝－，
∴抛物线的顶点坐标为.
(1)∵图象的顶点在y轴上，
∴－＝0，即m＝0.
(2)∵图象的顶点在x轴上，
∴－＝0，
解得m＝2.
(3)∵二次函数的最小值是－1，
∴－＝－1，
解得m＝0或m＝4.
类型四　二次函数的对称性与几何变换
(一)二次函数的对称性的应用
12．(4分)在二次函数y＝－x2＋bx＋c中，函数值y与自变量x的部分对应值如表：
x … －1 1 3 4 …
y … －6 m n －6 …
则m，n的大小关系为(　B　)
A．m＜n B．m＞n
C．m＝n D．无法确定
13．(4分)已知二次函数y＝2x2－9x－34，当自变量x取两个不同的值x1，x2时，函数值相等，则当自变量x取x1＋x2时的函数值应当与(　B　)
A．x＝1时的函数值相等
B．x＝0时的函数值相等
C．x＝时的函数值相等
D．x＝时的函数值相等
(二)二次函数与轴对称变换
14．(4分)将二次函数y＝4(x－2)2＋3的图象沿y轴翻折得到的新抛物线的函数表达式是(　A　)
A．y＝4(x＋2)2＋3
B．y＝4(x－2)2－3
C．y＝－4(x＋2)2＋3
D．y＝－4(x－2)2－3
解析：y＝4(x－2)2＋3，此抛物线的顶点坐标为(2，3)．
∵将二次函数的图象沿y轴翻折得到一个新的抛物线，
∴新的抛物线的顶点坐标为(－2，3)，a＝4，
∴新抛物线的函数表达式为y＝4(x＋2)2＋3.
15．(4分)在同一平面直角坐标系中，若抛物线y＝x2＋(2m－n)x＋n＋1与抛物线y＝－x2＋(m＋n)x＋m－4关于x轴对称，则m，n的值分别为(　A　)
A．m＝0，n＝3 B．m＝0，n＝－5
C．m＝2，n＝1 D．m＝10，n＝5
16．(4分)若把抛物线y＝ax2＋bx＋c先向右平移2个单位，再向上平移 2个单位，所得图象的表达式是y＝(x－3)2＋5，则a＋b＋c＝　3　．
17．(12分)如图，将抛物线P1：y＝x2＋2x＋m平移后得到抛物线P2：y＝x2－5x＋n，两抛物线与y轴分别交于点C，D.抛物线P1，P2的交点E的横坐标是1，过点E作x轴的平行线，分别交抛物线P1，P2于点A，B.求：
(1)抛物线P1的对称轴和点A的横坐标；
(2)线段AB和CD的长．
解：(1)抛物线P1：y＝x2＋2x＋m的对称轴为直线x＝－＝－1.
∵AB∥x轴，
∴点A与点E关于对称轴直线x＝－1对称，
∴点A的横坐标为－3.
(2)抛物线P2：y＝x2－5x＋n的对称轴为直线x＝－＝2.5.
∵AB∥x轴，
∴点B与点E关于对称轴直线x＝2.5对称，
∴点B的横坐标为4，
∴AB＝4－(－3)＝7.
∵点E是抛物线P1与抛物线P2的交点，
∴1＋2＋m＝1－5＋n，
∴n－m＝7.
令x＝0，则C(0，m)，D(0，n)，
∴CD＝n－m＝7.
(三)二次函数与旋转变换
18．(12分)如果抛物线C1的顶点在抛物线C2上，并且抛物线C2的顶点也在抛物线C1上，那么我们称抛物线C1与C2关联．
(1)已知抛物线l1：y＝(x＋1)2－8与抛物线l2：y＝－(x－2)2＋1，判断这两条抛物线是否关联，并说明理由；
(2)把抛物线L：y＝(x＋1)2－2绕顶点旋转180°得到抛物线M：y＝－(x＋1)2－2，把抛物线M先向上平移4个单位，再左右平移若干个单位得抛物线Q，若抛物线L与Q关联，请求出抛物线Q的函数表达式．
解：(1)关联．理由如下：
抛物线l1：y＝(x＋1)2－8的顶点坐标为(－1，－8).
对于抛物线l2，当x＝－1时，y＝－(x－2)2＋1＝－9＋1＝－8，
∴点(－1，－8)在抛物线l2上．
抛物线l2：y＝－(x－2)2＋1的顶点坐标为(2，1)．
对于抛物线l1，当x＝2时，y＝(x＋1)2－8＝9－8＝1，
∴点(2，1)在抛物线l1上，
∴抛物线l1，l2是关联的．
(2)抛物线M：y＝－(x＋1)2－2，
①把抛物线M先向上平移4个单位，再向左平移a(a＞0)个单位，得抛物线Q：y＝－(x＋1＋a)2＋2.
把抛物线L：y＝(x＋1)2－2的顶点(－1，－2)代入抛物线Q，得－2＝－a2＋2，
∴a＝±2.
∵a＞0，∴a＝2.
此时抛物线Q：y＝－(x＋3)2＋2的顶点(－3，2)也在抛物线L上．
②把抛物线M先向上平移4个单位，再向右平移b(b＞0)个单位得抛物线Q：y＝－(x＋1－b)2＋2.
把抛物线L：y＝(x＋1)2－2的顶点(－1，－2)代入抛物线Q，得－2＝－b2＋2，
∴b＝±2.
∵b＞0，∴b＝2.
此时抛物线Q：y＝－(x－1)2＋2的顶点(1，2)也在抛物线L上．
综上，抛物线Q的函数表达式为y＝－(x＋3)2＋2或y＝－(x－1)2＋2.
类型五　利用二次函数的性质比较函数值
19．(4分)已知二次函数y＝x2－2x－3的自变量x1，x2，x3对应的函数值分别为y1，y2，y3.当－1＜x1＜0，1＜x2＜2，x3＞3时，y1，y2，y3三者之间的大小关系是(　D　)
A．y1＜y2＜y3
B．y2＜y3＜y1
C．y3＜y1＜y2
D．y2＜y1＜y3
20．(4分)若P1(－1，y1)，P2，P3(6，y3)均在二次函数y＝mx2－2mx＋1(m＞0)的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是(　D　)
A．y1＞y2＞y3
B．y3＞y2＞y1
C．y2＞y3＞y1
D．y3＞y1＞y2
类型六　利用二次函数的性质求最值
21．(4分)若二次函数y＝－x2－4x＋c的最大值为0，则c的值为(　B　)
A．4 B．－4
C．－16 D．16
22．(12分)已知抛物线y＝－x2－3x＋t经过A(0，3)．
(1)求抛物线的表达式；
(2)设点P(m，n)在该抛物线上，求m＋n的最大值．
解：(1)将A(0，3)代入y＝－x2－3x＋t，得t＝3，
∴抛物线的表达式为y＝－x2－3x＋3.
(2)∵点P(m，n)在抛物线y＝－x2－3x＋3上，
∴n＝－m2－3m＋3，
∴m＋n＝－m2－2m＋3＝－(m＋1)2＋4，
∴当m＝－1时，m＋n有最大值，最大值是4.
23．(12分)已知函数y＝－x2＋bx＋c(b，c为常数)的图象经过点(0，－3)，(－2，5)．
(1)求b，c的值；
(2)当－4≤x≤0时，求y的最大值；
(3)当m≤x≤0时，若y的最大值与最小值之和为2，请直接写出m的值．
解：(1)把(0，－3)，(－2，5)代入y＝－x2＋bx＋c，得
解得
(2)∵y＝－x2－6x－3＝－(x＋3)2＋6，
－4≤x≤0，
∴当x＝－3时，y有最大值，最大值为6.
(3)①当－3＜m≤0时，
当x＝0时，y有最小值－3，
当x＝m时，y有最大值－m2－6m－3，
∴－m2－6m－3＋(－3)＝2，
∴m＝－2或m＝－4(舍去),
∴m＝－2.
②当m≤－3时，
当x＝－3时，y有最大值6.
∵y的最大值与最小值之和为2，
∴y的最小值为－4，
∴－(m＋3)2＋6＝－4，
∴m＝－3－或m＝－3＋(舍去)．
综上所述，m＝－2或m＝－3－.
类型七　由二次函数的图象解方程、不等式
24．(4分)如图，抛物线y＝ax2＋c与直线y＝mx＋n交于A(－1，p)，B(3，q)两点，则不等式ax2－mx＋c＜n的解集为(　C　)
A．x＞－1
B．x＜3
C．－1＜x＜3
D．x＜－3或x＞－1
25．(4分)已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象经过(－1，0)与(3，0)两点，关于x的方程ax2＋bx＋c＋m＝0(m＞0)有两个根，其中一个根是5，则关于x的方程ax2＋bx＋c＋n＝0(0＜n＜m)有两个整数根，这两个整数根可能是(　A　)
A．－2或4
B．－2或0
C．0或4
D．－2或5
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