26　易错专题培优（教师版）初中数学鲁教版（五四制）九年级上册

易错专题培优
(建议用时：90分钟　满分：130分)
易错点一　对有关概念理解不透，出现错误
1．(4分)若函数y＝(3－m)xm2－7－x＋1是二次函数，则m的值为(　B　)
A．3 B．－3
C．±3 D．9
2．(4分)下列函数中，y是x的反比例函数的是(　C　)
A．x＝2y B．y＝－(k≠0)
C．y＝4x-1 D．y＝－
3．(4分)若函数y＝是y关于x的反比例函数，则m的值是　－2　．
4．(6分)当m为何值时，函数y＝是关于x的反比例函数？
解：∵函数y＝(m＋3)x2-|m|是反比例函数，
∴2－|m|＝－1且m＋3≠0，
∴m＝3，
即当m＝3时，函数y＝(m＋3)x2-|m|是关于x的反比例函数．
易错点二　根据反比例函数图象求k的值时忽略符号的正负
5．(4分)如图，A是反比例函数y＝(x＞0)图象上的一点，AB垂直于x轴，垂足为点B，△OAB的面积为8.若点P(a，4)也在此函数的图象上，则a的值是(　C　)
A．2 B．－2
C．4 D．－4
易错点三　忽视自变量的取值范围
6．(4分)如图，向高为h的圆柱形空水杯中注水，表示注水量y与水深x之间的关系的图象是(　A　)
　　　　　
A　　　　　　　　B
　　　　
C　　　　　　　　D
7．(4分)甲、乙两地相距100 km，则汽车由甲地匀速行驶到乙地所用时间y(h)与行驶速度x(km/h)之间的函数图象大致是(　D　)
解析：根据题意，可知y与x之间的函数表达式为y＝(x＞0)，所以函数图象大致是D.
8．(4分)y＝中自变量x的取值范围是　－3≤x＜0　．
9．(8分)某农场计划建造一个矩形养殖场，为充分利用现有资源，该矩形养殖场一面靠墙(墙的长度为10 m)，另外三面用栅栏围成，中间再用栅栏把它分成两个面积比为1∶2的矩形，已知栅栏的总长度为24 m，设较小矩形的宽为x m(如图)．
(1)若矩形养殖场的总面积为36 m2，求此时x的值；
(2)当x为多少时，矩形养殖场的总面积最大？最大值为多少？
解：(1)根据题意，可知较大矩形的宽为2x m，长为＝(8－x)m，
∴(x＋2x)(8－x)＝36，
解得x＝2或x＝6.
当x＝6时，3x＝18＞10，不符合题意，舍去，
∴x＝2，即此时x的值为2.
(2)设矩形养殖场的总面积是y m2.
∵墙的长度为10 m，
∴0＜x≤.
根据题意，得y＝(x＋2x)(8－x)＝－3x2＋24x＝－3(x－4)2＋48.
∵－3＜0，∴当x＝时，y取最大值，最大值为－3×＋48＝(m2)，
∴当x＝时，矩形养殖场的总面积最大，最大值为 m2.
易错点四　忽视函数性质而出错
10．(4分)已知点(－1，a)，(2，b)，(3，c)在反比例函数y＝(k＞0)的图象上，则下列判断正确的是(　A　)
A．a＜c＜b B．b＜a＜c
C．c＜b＜a D．a＜b＜c
11．(4分)已知(－1，y1)，(0，y2)，(3，y3)是抛物线y＝ax2－4ax＋c(a＞0)上的三点，则(　C　)
A．y1＜y2＜y3
B．y3＜y1＜y2
C．y3＜y2＜y1
D．y2＜y3＜y1
12．(4分)已知二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的部分图象如图所示，图象经过点(0，2)，其对称轴为直线x＝－1.下列结论：①3a＋c＞0；②若点(－4，y1)，(3，y2)均在二次函数图象上，则y1＞y2；③关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝－1 有两个相等的实数根；④满足ax2＋bx＋c＞2的x的取值范围为－2＜x＜0.其中正确的结论有(　B　)
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
解析：∵对称轴为直线x＝－1，
∴b＝2a.
∵当x＝1时，y＝a＋b＋c＜0，
∴3a＋c＜0，故①错误．
∵抛物线开口向下，∴在对称轴的右侧y随x的增大而减小．
∵(－4，y1)关于直线x＝－1对称的点为(2，y1)，2＜3，
∴y1＞y2，故②正确．
方程ax2＋bx＋c＝－1的解可看做抛物线y＝ax2＋bx＋c与直线y＝－1的交点，由图象可知抛物线y＝ax2＋bx＋c与直线y＝－1有两个交点，
∴关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝－1有两个不相等的实数根，故③错误．
不等式ax2＋bx＋c＞2的解集可看做抛物线y＝ax2＋bx＋c的图象在直线y＝2上方的部分．
∵(0，2)关于直线x＝－1对称的点为(－2，2)，
∴x的取值范围为－2＜x＜0，故④正确．
13．(4分)在函数y＝(m为常数)的图象上有三点(－3，y1)，(－1，y2)，(3，y3)，则函数值的大小关系是　y3＜y1＜y2　．(用“<”连接)
易错点五　考虑问题不全面，出现错解
14．(4分)已知二次函数y＝ax2＋4x＋a－1的最小值为2，则a的值为(　C　)
A．3 B．－1
C．4 D．4或－1
15．(4分)反比例函数y＝(k≠0)的图象与一次函数y＝－x＋3的图象的一个交点到x轴的距离为1，则k的值为　2或－4　．
16．(8分)已知抛物线y＝－x2＋(6－)x＋m－3与x轴有两个交点A，B，且点A，B关于y轴对称，求此抛物线的函数表达式．
解：设A(x1，0)，B(x2，0)．
∵A，B两点关于y轴对称，
∴6－＝0，∴m＝±6.
由题可知，有两种情况：
①当m＝6时，抛物线的表达式为y＝＋3，此时方程－x2＋3＝0中，Δ＝－4××3＝6＞0，抛物线与x轴有两个交点，符合题意．
②当m＝－6时，抛物线的表达式为y＝－9，此时方程－x2－9＝0中，Δ＝－4××(－9)＝－18＜0，抛物线与x轴没有交点，不符合题意，舍去．
综上所述，该抛物线的函数表达式为y＝＋3.
17．(10分)已知A(－9，0)，B(－3，0)，C(0，4)，以A，B，C，D为顶点的四边形是平行四边形，反比例函数y＝的图象经过线段CD的中点，求反比例函数的表达式．
解：如图，
∵A(－9，0)，B(－3，0)，C(0，4)，
∴AB＝6，BC＝5.
分三种情况：
①当四边形ABCD1是平行四边形时，
∵AB＝CD1，AB∥CD1，
∴D1(－6，4)，
∴CD1的中点为(－3，4)，
∴k＝－12，
∴y＝－，
∴反比例函数的表达式为y＝－.
②当四边形ABD2C为平行四边形时，
∵AB＝CD2，AB∥CD2，
∴D2(6，4)，∴CD2的中点为(3，4)，
∴k＝12，∴反比例函数的表达式为y＝.
③当四边形AD3BC是平行四边形时，
∵BC∥AD3, BC＝AD3，
∴此时CD3的中点与AB的中点相同，
∴CD3的中点为(－6，0)，
∴k＝0，不符合题意．
综上所述，反比例函数的表达式为y＝－或y＝.
易错点六　忽略分类讨论
18．(4分)如图，二次函数y＝－x2－2x的图象与x轴交于点A，O，点P是抛物线上的一个动点，且满足S△AOP＝3，则点P的坐标是(　C　)
A．(－3，－3)
B．(1，－3)
C．(－3，－3)或(1，－3)
D．(－3，－3)或(－3，1)
19．(10分)在△ABC中，AB＝12，AC＝，∠B＝30°，求△ABC的面积．
解：①如图1，作AD⊥BC，垂足为点D，
图1
在Rt△ADB中，∵AB＝12，∠B＝30°，
∴AD＝AB＝6，BD＝AB·cos B＝12×＝6.
在Rt△ADC中，CD＝＝，
∴BC＝BD＋CD＝7，
则S△ABC＝BC·AD＝21.
②如图2，作AD⊥BC，交BC的延长线于点D，
图2
同理，得AD＝6，BD＝6，CD＝，
则BC＝BD－CD＝5，
则S△ABC＝BC·AD＝15.
综上所述，△ABC的面积为21或15.
易错点七　忽略三角形是否为直角三角形而直接求锐角三角函数
20．(4分)在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝2BC，则cos A的值为(　A　)
A． B．
C． D．2
21．(4分)如图，在△ABC中，sin B＝，AB＝8，AC＝5，且∠C为锐角，则cos C的值为(　A　)
A． B．
C． D．
易错点八　混淆平行投影与中心投影的意义而出错
22．(4分)三根等高的木杆竖直立在平地上，其俯视图如图所示，在某一时刻三根木杆在太阳光下的影子合理的是(　C　)
　
A　　　　B
　
C　　　　D
解析：A．在同一时刻三根木杆在太阳光下的影子的方向应该一致，故本选项错误；
B．在同一时刻三根等高木杆在太阳光下的影子的长度应该相同，故本选项错误；
D．在同一时刻三根木杆在太阳光下的影子的方向应该互相平行，故本选项错误．
23．(12分)如图分别是两根木棒及其影子的情形．
(1)哪个图反映了太阳光下的情形？哪个图反映了路灯下的情形？
(2)在太阳光下，已知小明的身高是1.8 m，影长是1.2 m，电线杆的影长是4 m，求电线杆的高；
(3)请在图中分别画出表示第三根木棒的影长的线段．
解：(1)图2反映了太阳光下的情形，图1反映了路灯下的情形．
(2)设电线杆的高为x m，
根据题意，得＝，解得x＝6，
所以电线杆的高为6 m．
(3)如图1，FG为在路灯下的第三根木棒的影长；
如图2，FG为在太阳光下的第三根木棒的影长．
　　
图1　　　　　　　　图2
易错点九　画三视图出现错误
24．(4分)如图，A，B，C，D是四位同学画出的一个空心圆柱的主视图和俯视图，其中，正确的一组是(　D　)
A．A B．B
C．C D．D
25．(4分)如图是四个完全相同的小正方体搭成的几何体，它的俯视图为(　A　)
　　　　　
A　　　　　　　B
　　　　
C　　　　　　　D
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