27　思想方法集锦（教师版）初中数学鲁教版（五四制）九年级上册

思想方法集锦
(建议用时：90分钟　满分：126分)
方法一　方程思想
1．(4分)若函数y＝(m2＋m)xm2－2m－1是二次函数，则m的值是(　D　)
A．2 B．－1或3
C．－1 D．3
解析：由题意，得m2－2m－1＝2，且m2＋m≠0，解得m＝3.
2．(4分)如图，某数学兴趣小组测量一棵树CD的高度，在点A处测得树顶C的仰角为45°，在点B处测得树顶C的仰角为60°，且A，B，D三点在同一条直线上．若AB＝16 m，则这棵树CD的高度是(　A　)
A．8(3－)m B．8(3＋)m
C．6(3－)m D．6(3＋)m
解析：设AD＝x m.
∵AB＝16 m，
∴BD＝AB－AD＝(16－x)m.
在Rt△ADC中，∠A＝45°，
∴CD＝AD tan 45°＝x m.
在Rt△CDB中，∠B＝60°，
∴tan 60°＝＝＝，
∴x＝24－8.
经检验，x＝24－8是原方程的根，
∴CD＝24－8＝8(3－)m，
∴这棵树CD的高度是8(3－)m.
3．(4分)在△ABC中，∠C＝90°，a，b，c分别为∠A，∠B，∠C的对边．若b2＝ac，则sin A的值为　　．
解析：在△ABC中，∠C＝90°，
∴c2＝a2＋b2.
∵b2＝ac，∴c2＝a2＋ac.
等式两边同时除以ac，得＝＋1.
令＝x，则＝x＋1，
∴x2＋x－1＝0，
解得x1＝，x2＝(舍去)．
经检验，x＝是原分式方程的根，
∴sin A＝＝．
4．(4分)如图，在△ABC中，AC＝3，BC＝4，点D，E分别在CA，CB上，点F在△ABC内．若四边形CDFE是边长为1的正方形，则sin ∠FBA＝　　．
解析：如图，连接AF，过点F作FG⊥AB于点G.
∵四边形CDFE是边长为1的正方形，
∴CD＝CE＝DF＝EF＝1，∠C＝∠ADF＝90°.
∵AC＝3，BC＝4，
∴AD＝2，BE＝3，
∴AB＝＝5，AF＝＝，BF＝＝.
设BG＝x.
∵FG2＝AF2－AG2＝BF2－BG2，
∴5－(5－x)2＝10－x2，解得x＝3.
∴FG＝＝1，
∴sin ∠FBA＝＝.
5．(6分)如图，晚上小亮在广场上乘凉．图中线段AB表示站在广场上的小亮，线段PO表示直立在广场上的灯杆，点P表示照明灯．
(1)请你在图中画出小亮在照明灯(P)照射下的影子；
(2)如果灯杆高PO＝12 m，小亮的身高AB＝1.6 m，小亮与灯杆的距离BO＝13 m，求小亮影子的长度．
解：(1)如图，连接PA并延长交OB的延长线于点C，线段BC就是小亮在照明灯(P)照射下的影子．
(2)∵∠C＝∠C，∠ABC＝∠POC＝90°，
∴△CAB∽△CPO，
∴＝，
∴＝，
解得CB＝2，
∴小亮影子的长度为2 m．
6．(8分)太阳能路灯的使用，既方便了人们夜间出行，又有利于节能减排．某校组织学生进行综合实践活动——测量太阳能路灯电池板的宽度．如图，太阳能电池板的宽为AB，O是AB的中点，OC是灯杆．地面上三点D，E，C在同一条直线上，DE＝1.5 m，EC＝5 m．该校学生在点D处测得电池板边缘点B处的仰角为37°，在点E处测得电池板边缘点B处的仰角为45°，此时点A，B，E在同一条直线上．求太阳能电池板的宽AB的长度．(结果精确到0.1 m，参考数据：sin 37°≈，cos 37°≈，tan 37°≈≈1.41)
解：如图，过点B作BH⊥DC于点H，过点B作BF⊥OC于点F.
由题意，得OC⊥DC，∠BDH＝37°，∠BEH＝45°.
∵BH⊥DC，
∴△BEH和△OEC均为等腰直角三角形，
∴EH＝BH，EC＝OC.
∵DE＝1.5 m，EC＝5 m，
∴OC＝EC＝5 m.
∵BH⊥DC，BF⊥OC，OC⊥DC，
∴四边形BHCF为矩形，
∴BF＝CH，BH＝CF，BF∥CH，
∴∠OBF＝∠BEH＝45°，
∴△OBF为等腰直角三角形，
∴BF＝OF＝CH.
设BF＝x m，则OF＝CH＝x m，
∴EH＝BH＝EC－CH＝(5－x)m，
∴DH＝DE＋EH＝1.5＋5－x＝(6.5－x)m.
在Rt△BDH中，tan ∠BDH＝，
即tan 37°＝，
∴＝，解得x＝0.5.
经检验，x＝0.5是原方程的根，
∴BF＝OF＝0.5 m.
由题易得∠OBF＝45°，
∴OB＝＝≈0.705(m)．
∵O为AB的中点，
∴AB＝2OB＝2×0.705≈1.4(m)，
∴太阳能电池板的宽AB的长度约为 1.4 m.
方法二　分类讨论思想
7．(4分)在△ABC中，若∠B＝45°，AB＝10，AC＝5，则△ABC的面积为　75或25　．
解析：如图，过点A作AD⊥BC，垂足为点D.
在Rt△ABD中，AD＝AB sin B＝10，BD＝AB cos B＝10.
在Rt△ACD中，AD＝10，AC＝5，
∴CD＝＝5，
∴BC＝BD＋CD＝15或BC＝BD－CD＝5.
∵S△ABC＝BC AD，∴S△ABC的值为75或25.
8．(8分)如图，一次函数y＝kx＋(k为常数，k≠0)的图象与反比例函数y＝(m为常数，m≠0)的图象在第一象限交于点 A(1，n)，与x轴交于点B(－3，0)．
(1)求一次函数和反比例函数的表达式；
(2)点P在x轴上，△ABP是以AB为腰的等腰三角形，求点P的坐标．
解：(1)将A(1，n)，B(－3，0)分别代入一次函数y＝kx＋，
得解得
∴一次函数的表达式为y＝x＋，A(1，3)．
将A(1，3)代入反比例函数y＝，
得＝3，解得m＝3，
∴反比例函数的表达式为y＝.
(2)由(1)知A(1，3)，B(－3，0)，则AB＝＝5.设P(a，0)．
分情况求解如下：
①当AB＝AP时，5＝，
解得a＝5或a＝－3(舍去)，
∴P(5，0)．
②当AB＝PB时，5＝|－3－a|，
解得a＝－8或a＝2，
∴P(－8，0)或(2，0)．
综上所述，符合条件的点P的坐标为(5，0)或(－8，0)或(2，0)．
9．(10分)一次函数y＝kx＋b(k≠0)的图象与反比例函数y＝的图象交于A(m，1)，B(－2，n)两点．
(1)求一次函数的表达式，并在所给的平面直角坐标系中画出这个一次函数的图象；
(2)观察图象，直接写出不等式kx＋b＜的解集；
(3)设直线AB与x轴交于点C，若P(0，a)为y轴上的一动点，连接AP，CP，当△APC的面积为时，求点P的坐标．
解：(1)∵反比例函数y＝的图象经过A(m，1)，B(－2，n)两点，
∴1＝，n＝＝－2，∴m＝4，
∴A(4，1)，B(－2，－2)．
将A(4，1)，B(－2，－2)代入y＝kx＋b，
得解得
∴一次函数的表达式为y＝x－1.
一次函数的图象如图．
(2)不等式kx＋b＜的解集是x＜－2或0＜x＜4.
(3)设直线AB交x轴于点C，交y轴于点D.
在y＝x－1中，当x＝0时，y＝－1，
∴D(0，－1)．
当y＝0时，得x－1＝0，解得x＝2.
∴C(2，0)，∴OC＝2.
∵P(0，a)，D(0，－1)，
∴PD＝|a＋1|.
∵S△APC＝S△APD－S△PCD＝，
∴|a＋1|·(4－2)＝，
解得a＝或a＝－，
∴点P的坐标为或.
方法三　数形结合思想
10．(4分)如图，一次函数y＝ax＋b的图象与反比例函数y＝的图象交于点A(2，3)，B(m，－2)，则不等式ax＋b＞的解是(　A　)
A．－3＜x＜0或x＞2
B．x＜－3或0＜x＜2
C．－2＜x＜0或x＞2
D．－3＜x＜0或x＞3
解析：∵点A(2，3)在反比例函数的图象上，
∴k＝6.
∵点B(m，－2)在反比例函数的图象上，
∴m＝－3，∴B(－3，－2)．
观察图象可知当ax＋b＞时，－3＜x＜0或x＞2.
11．(4分)某三棱柱的三视图如图所示，已知俯视图中tan B＝，BC＝7，下列结论正确的是(　C　)
A．AB＝2 B．n＝2
C．sin C＝ D．S△ABC＝7
解析：如图，过点A作AD⊥BC于点D.
由题意可知这个三棱柱的高为6，BD＝4，CD＝m，AD＝n.
∵BC＝7，BC＝BD＋CD＝4＋m，
∴m＝3.
∵tan B＝＝，BD＝4，
∴AD＝1，即n＝1，
故选项B不正确．
AB＝＝＝，
故选项A不正确．
AC＝＝＝.
在Rt△ADC中，sin C＝＝＝，
故选项C正确．
俯视图三角形的底边BC为7，高AD为1，
∴S△ABC＝×7×1＝，
故选项D不正确．
12．(10分)已知直线l：y＝kx＋1与抛物线y＝x2－4x.
(1)求证：直线l与该抛物线总有两个交点；
(2)设直线l与该抛物线的两个交点分别为A，B，O为原点，当k＝－2时，求△AOB的面积．
(1)证明：令kx＋1＝x2－4x，
整理，得x2－(4＋k)x－1＝0.
∵Δ＝(4＋k)2＋4＞0，
∴直线l与该抛物线总有两个交点．
(2)解：当k＝－2时，y＝－2x＋1.
如图，过点A作AF⊥x轴于点F，过点B作BE⊥x轴于点E.
联立
解得或
∴A(1－，2－1)，B(1＋，－1－2)，
∴AF＝2－1，BE＝1＋2.
∵直线y＝－2x＋1与x轴交于点C，
∴OC＝，
∴S△AOB＝S△AOC＋S△BOC＝OC·AF＋OC·BE＝OC·(AF＋BE)＝×(2－1＋1＋2)＝.
方法四　 转化思想
13．(4分)如图，在等腰三角形ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，D为BC的中点，DE⊥AB于点E，则cos ∠BDE的值为(　A　)
A． B．
C． D．
解析：如图，连接AD.
∵AB＝AC＝5，BC＝6，D为BC的中点，
∴AD⊥BC，BD＝BC＝3，
∴∠BAD＝90°－∠B，AD＝＝＝4.
∵DE⊥AB，∴∠BDE＝90°－∠B，
∴∠BAD＝∠BDE.
在Rt△ABD中，cos ∠BAD＝＝，
∴cos ∠BDE＝cos ∠BAD＝.
14．(4分)如图，在边长相同的小正方形网格中，点A，B，C，D都在这些小正方形的顶点上，AB，CD相交于点P，则tan ∠APD的值为(　C　)
A． B．
C．2 D．2
15．(6分)分别画出图中几何体的主视图、左视图和俯视图．
解：三视图如图．
16．(6分)已知抛物线y＝x2＋kx＋9.
(1)当k为何值时，抛物线与x轴有两个交点？
(2)当k为何值时，抛物线与x轴只有一个交点？
解：(1)∵抛物线与x轴有两个交点，
∴Δ＝k2－36＞0，
∴k＞6或k＜－6.
(2)∵抛物线与x轴只有一个交点，
∴Δ＝k2－36＝0，
∴k＝6或k＝－6.
17．(6分)无人机在实际生活中的应用越来越广泛．如图所示，某人利用无人机测量大楼的高度BC，无人机在空中点P处，测得点P距地面上点A处80 m，点A处的俯角为60°，楼顶点C处的俯角为30°.已知点A与大楼的距离AB为70 m(点A，B，C，P在同一平面内)，求大楼的高度BC.(结果保留根号)
解：如图，过点P作 PH⊥AB于点H，过点C作CQ⊥PH于点Q，则四边形 CQHB为矩形．
∴QH＝BC，BH＝CQ.
由题意，得AP＝80 m，∠PAH＝60°，∠PCQ＝30°，AB＝70 m，
∴PH＝AP·sin 60°＝80×＝40(m)，AH＝AP·cos 60°＝40(m)，
∴CQ＝BH＝70－40＝30(m)，
∴PQ＝CQ·tan 30°＝10(m)，
∴BC＝QH＝40－10＝30(m)，
∴大楼的高度BC为30 m.
方法五　 整体思想
18．(4分)已知抛物线y＝x2＋2x－1与x轴的一个交点是(m，0)，则代数式m2＋2m＋2 024的值为(　D　)
A．2 022 B．2 023
C．2 024 D．2 025
解析：∵抛物线y＝x2＋2x－1与x轴的一个交点为(m，0)，
∴m2＋2m－1＝0，
∴m2＋2m＝1，
∴m2＋2m＋2 024＝1＋2 024＝2 025.
19．(4分)若点(3，－4)是反比例函数y＝的图象上的一点，则函数图象必经过点(　D　)
A．(2，6) B．(－3，－4)
C．(－4，－3) D．(2，－6)
方法六　 归纳思想
20．(4分)如图，一段抛物线：y＝－x(x－4)(0≤x≤4)记为C1，它与x轴交于O，A1两点；将C1绕点A1旋转180°得到C2，交x轴于点A2；将C2绕点A2旋转180°得到C3，交x轴于点A3……如此变换进行下去．若点P(21，m)在这种连续变换的图象上，则m的值为(　C　)
A．2 B．－2
C．－3 D．3
解析：∵y＝－x(x－4)(0≤x≤4)记为C1，它与x轴交于两点O，A1，
∴A1(4，0)，∴OA1＝4.
∵OA1＝A1A2＝A2A3＝A3A4，
∴OA1＝A1A2＝A2A3＝A3A4＝4.
∵点P(21，m)在这种连续变换的图象上，
∴x＝21和x＝1时的函数值互为相反数，
∴－m＝－1×(1－4)＝3，
∴m＝－3.
21．(8分)如图都是等腰直角三角形，点P1，P2，P3，…，Pn都在反比例函数y＝(x＞0)的图象上，斜边，A2A3，…，An－1An都在x轴上．
(1)求点A1，A2的坐标；
(2)猜想点An的坐标．(直接写出结果即可)
解：(1)设点P1的坐标为(x，y)．
由题意，得x＝y，则x2＝4，
∴x＝2(负值舍去)，
∴点A1的坐标为(4，0)．
设点P2的坐标为(4＋y，y)，则y(4＋y)＝4，
即y2＋4y－4＝0，
解得y1＝－2＋2，y2＝－2－2.
∵y＞0，∴y＝2－2，
∴点A2的坐标为(4，0)．
(2)点An的坐标为(4，0)．
方法七　 配方法
22．(4分)二次函数y＝2x2＋8x－6的图象的顶点坐标为(　B　)
A．(2，18) B．(－2，－14)
C．(4，58) D．(－4，－6)
23．(6分)已知抛物线y＝x2－(m－3)x－m.求证：无论m为何值，抛物线与x轴总有两个交点．
证明：∵a＝1，b＝－(m－3)，c＝－m，
∴Δ＝b2－4ac＝(m－3)2＋4m＝m2－2m＋9＝(m－1)2＋8.
∵(m－1)2≥0，8＞0，
∴(m－1)2＋8＞0，即Δ＞0，
∴无论m为何值，抛物线与x轴总有两个交点．
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