28 素养考向集训（教师版）初中数学鲁教版（五四制）九年级上册
文档属性
| 名称 | 28 素养考向集训（教师版）初中数学鲁教版（五四制）九年级上册 |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 362.6KB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 鲁教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2025-09-16 15:30:13 | ||
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文档简介
素养考向集训
(建议用时：90分钟 满分：110分)
素养一 抽象能力
1．(4分)在下列函数中，y是x的反比例函数的是( C )
A．y＝2x B．y＝
C．y＝ D．y＝
2．(4分)如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，下列结论正确的是( B )
A．sin A＝ B．tan B＝
C．cos A＝ D．tan A＝
3．(4分)广场上一个大型字母宣传牌垂直于地面放置，其投影如图所示，则该投影属于 中心投影 ．(填“平行投影”或“中心投影”)
4．(6分)已知函数y＝(|m|－1)x2＋(m－1)x－m－1.
(1)若这个函数是关于x的一次函数，求m的值；
(2)若这个函数是关于x的二次函数，求m的取值范围．
解：(1)由题意，得|m|－1＝0且m－1≠0，
解得m＝±1且m≠1，∴m＝－1，
∴当m＝－1时，这个函数是关于x的一次函数．
(2)由题意，得|m|－1≠0，
解得m≠±1，
∴当m≠±1时，这个函数是关于x的二次函数．
素养二 推理能力
5．(4分)如图，抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，对称轴为直线x＝－1.若点A的坐标为(－4，0)，则下列结论正确的是( C )
A．2a＋b＝0
B．4a－2b＋c＞0
C．x＝2是关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的一个根
D．点(x1，y1)，(x2，y2)在抛物线上，当x1＞x2＞－1时，y1＜y2＜0
解析：∵抛物线开口向上，∴a＞0.
∵对称轴为直线x＝－1，
∴－＝－1，∴b＝2a＞0，
∴2a＋b＞0，故A选项错误．
∵当x＝－2时，y＜0，
∴4a－2b＋c＜0，故B选项错误．
∵抛物线与x轴交于点(－4，0)，对称轴为直线x＝－1，
∴抛物线与x轴的另一个交点为(2，0)，
∴x＝2是关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的一个根，故C选项正确．
∵抛物线开口向上，对称轴为直线x＝－1，
∴当x＞－1时，y随x的增大而增大，
∴当x1＞x2＞－1时，y1＞y2，故D选项错误．
6．(6分)如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，求证：sin2A＋cos2A＝1.
证明：∵sinA＝，cos A＝，a2＋b2＝c2，
∴sin2A＋cos2A＝＝＝1.
7．(8分)如图，在平面直角坐标系中，直线l经过点A(1，0)，与双曲线y＝(x＞0)交于点B(2，1)，点P(a，2)在直线AB上，过点P作x轴的平行线分别交双曲线y＝(x＞0)和y＝－(x＜0)于点E，F.
(1)求m的值和直线l的函数表达式；
(2)连接EB，FA．求证：EB∥FA．
(1)解：∵双曲线y＝(x＞0)经过点B(2，1)，
∴m＝2×1＝2.
设直线l的函数表达式为y＝kx＋b.
∵直线l经过点A(1，0)，与双曲线y＝(x＞0)交于点B(2，1)，
∴解得
∴直线l的函数表达式为y＝x－1.
(2)证明：∵点P(a，2)在直线AB上，
∴2＝a－1，解得a＝3，∴P(3，2)．
把y＝2代入y＝－，得x＝－1.
把y＝2代入y＝，得x＝1，
∴E(1，2)，F(－1，2)，
∴EF＝2，PE＝2，∴＝1.
∵点A(1，0)，B(2，1)，P(3，2)，
∴＝＝1，
∴＝，
∴EB∥FA．
素养三 运算能力
8．(4分)从三个不同方向看同一个几何体得到的平面图形如图所示，则这个几何体的侧面积是 36 cm2.
9．(6分)计算：
(1)sin 30°－tan 60°＋2cos230°·tan45°；
(2)cos245°－s 30°.
解：(1)原式＝＋2×()2×1＝＋2×＝2－.
(2)原式＝()2－＝＝.
素养四 模型观念
10．(4分)小明利用如图1所示的电路探究电流与电阻的关系，已知电源电压为3 V且保持不变，更换了5个阻值不同的定值电阻Rx，依据5次实验的数据描点绘制了如图2所示的图象，已知I与Rx成反比例函数关系．下列说法不正确的是( C )
A．本实验中电压表的读数为2.5 V
B．当定值电阻Rx＝10 Ω时，电流表的示数为0.25 A
C．当电流表的示数为0.1 A时，定值电阻Rx＝20 Ω
D．电流I与电阻Rx之间的函数表达式为I＝
解析：由图象可知电流I与电阻Rx之积为0.5×5＝2.5(V)，
∴本实验中电压表的读数为2.5 V，
∴电流I与电阻Rx之间的函数表达式为I＝，故选项A，D正确．
当Rx＝10 Ω时，I＝＝0.25(A)，故选项B正确．
当I＝0.1 A时，由图象可知Rx＝25 Ω≠20 Ω，故选项C错误．
素养五 空间观念
11．(4分)一个立体图形的三视图如图所示，则这个立体图形是( D )
A B
C D
12．(6分)如图是一个几何体的俯视图，正方形中的数字是该位置上的小正方体的数量．
(1)请画出该几何体的主视图和左视图；
(2)若其中每个小正方体的棱长为1 cm，求这个几何体的表面积(含底面)．
解：(1)主视图和左视图如图．
(2)这个几何体的表面积为8＋8＋5＋5＋9＋9＝44(cm2)．
素养六 几何直观
13．(4分)反比例函数y＝与二次函数y＝ax2＋ax在同一平面直角坐标系中的图象可能是( A )
A B
C D
解析：A．抛物线y＝ax2＋ax开口方向向下，则a＜0，对称轴为直线x＝－＝－，反比例函数的图象位于第二、四象限，故本选项正确．
B．抛物线y＝ax2＋ax开口方向向上，则a＞0，对称轴为直线x＝－＝－，故本选项错误．
C．抛物线y＝ax2＋ax开口方向向上，则a＞0，对称轴为直线x＝－＝－，反比例函数的图象位于第一、三象限，故本选项错误．
D．抛物线y＝ax2＋ax应该经过原点，故本选项错误．
14．(4分)若点A(x1，1)，B(x2，－5)，C(x3，3)均在反比例函数y＝(k＜0)的图象上，则x1，x2，x3的大小关系是( B )
A．x3＜x2＜x1
B．x1＜x3＜x2
C．x2＜x3＜x1
D．x1＜x2＜x3
解析：∵k＜0，
∴反比例函数的图象在第二、四象限，且在每个象限内，y随x的增大而增大．
∵点A(x1，1)，B(x2，－5)，C(x3，3)在反比例函数y＝(k＜0)的图象上，
∴点A(x1，1)，C(x3，3)在第二象限，点B(x2，－5)在第四象限，
∴x1＜x3＜x2.
15．(10分)如图，二次函数图象的顶点坐标为(－1，－4)，与x轴的一个交点坐标为(1，0)．
(1)该函数图象与x轴的另一个交点坐标为 (－3，0) ；
(2)求这个二次函数的表达式；
(3)当－4＜x＜0时，求y的取值范围．
解：(1)∵二次函数的对称轴为直线x＝－1，与x轴的一个交点坐标为(1，0)，
∴二次函数图象与x轴的另一交点坐标为(－3，0)．
故答案为(－3，0)．
(2)设二次函数的表达式为y＝a(x＋1)2－4.
把(1，0)代入y＝a(x＋1)2－4，
得4a－4＝0，解得a＝1，
∴二次函数的表达式为y＝(x＋1)2－4＝x2＋2x－3.
(3)∵抛物线开口向上，顶点坐标为(－1，－4)，
∴抛物线的最小值为－4.
又∵－1－(－4)＝3＞0－(－1)＝1，
∴当x＝－4时，y在－4＜x＜0范围内取最大值，最大值为5，
∴当－4＜x＜0时，y的取值范围为－4≤y＜5.
素养七 创新意识
16．(4分)如图是由相同大小的正方体积木堆叠而成的立体图形．如果拿走图中的甲、乙、丙、丁中的一个积木，此图形主视图的形状会改变，则拿走的积木是( B )
A．甲 B．乙
C．丙 D．丁
17．(4分)某游乐场的过山车在轨道上运行的过程中有一段路线可以看作是抛物线的一部分，其运行的竖直高度y(m)与水平距离x(m)近似满足函数关系y＝ax2＋bx＋c(a≠0)．如图，该抛物线经过点A，B，C，可以推断，当水平距离x可能为________时，竖直高度y有最小值．( C )
A．5 B．6
C．7 D．9
解析：设抛物线的对称轴为直线x＝a.
∵该抛物线经过点A，B，C，
∴
解得6＜a＜9.只有C选项符合要求．
素养八 应用意识
18．(10分)某商场要经营一种新上市的文具，进价为20元，试营销阶段发现：当销售单价是25元时，每天的销售量为250件，销售单价每上涨1元，每天的销售量就减少10件．
(1)写出商场销售这种文具每天所得的销售利润w(元)与销售单价x(元)之间的函数表达式；
(2)求销售单价为多少元时，该文具每天的销售利润最大；
(3)如果该文具的销售单价高于进价且不超过30元，请你计算最大利润．
解：(1)由题意，得销售量为250－10(x－25)＝－10x＋500，
则w＝(x－20)(－10x＋500)＝－10x2＋700x－10 000.
(2)w＝－10x2＋700x－10 000＝－10(x－35)2＋2 250.
∵－10＜0，
∴当x＝35时，w取最大值，最大值为2 250,
∴当销售单价为35元时，该文具每天的销售利润最大．
(3)由题意，得20＜x≤30.
∵－10＜0，对称轴为直线x＝35，
∴当20＜x≤30时，w随x的增大而增大，
∴当x＝30时，w取最大值，最大值为－10×(30－35)2＋2 250＝2 000，
即最大利润为2 000元．
19．(8分)风电项目对于调整能源结构和转变经济发展方式具有重要意义．某电力部门在一处坡角为30°的坡地上新安装了一架风力发电机，如图1.某校实践活动小组对该坡地上的这架风力发电机的塔杆高度进行了测量，图2为测量示意图．已知斜坡CD长16 m，在地面点A处测得风力发电机塔杆顶端点P的仰角为45°，利用无人机在点A的正上方53 m的点B处测得点P的俯角为18°.求该风力发电机塔杆PD的高度．(参考数据：sin 18°≈0.309，cos 18°≈0.951，tan 18°≈0.325)
解：如图，延长PD交AC于点F，延长DP交BE于点G.
由题意，得PF⊥AF，DG⊥BE，AB＝FG＝53 m，AF＝BG.
设AF＝BG＝x m.
在Rt△CDF中，∠DCF＝30°，CD＝16 m，
∴DF＝CD＝8 m.
在Rt△PAF中，∠PAF＝45°，
∴PF＝AF·tan 45°＝x m.
在Rt△BPG中，∠GBP＝18°，
∴GP＝BG·tan 18°≈0.325x m，
∴FG＝PF＋PG＝x＋0.325x＝1.325x(m)，
∴1.325x＝53，
解得x＝40，
∴PF＝40 m，
∴PD＝PF－DF＝40－8＝32(m)，
∴该风力发电机塔杆PD的高度约为32 m．
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(建议用时：90分钟 满分：110分)
素养一 抽象能力
1．(4分)在下列函数中，y是x的反比例函数的是( C )
A．y＝2x B．y＝
C．y＝ D．y＝
2．(4分)如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，下列结论正确的是( B )
A．sin A＝ B．tan B＝
C．cos A＝ D．tan A＝
3．(4分)广场上一个大型字母宣传牌垂直于地面放置，其投影如图所示，则该投影属于 中心投影 ．(填“平行投影”或“中心投影”)
4．(6分)已知函数y＝(|m|－1)x2＋(m－1)x－m－1.
(1)若这个函数是关于x的一次函数，求m的值；
(2)若这个函数是关于x的二次函数，求m的取值范围．
解：(1)由题意，得|m|－1＝0且m－1≠0，
解得m＝±1且m≠1，∴m＝－1，
∴当m＝－1时，这个函数是关于x的一次函数．
(2)由题意，得|m|－1≠0，
解得m≠±1，
∴当m≠±1时，这个函数是关于x的二次函数．
素养二 推理能力
5．(4分)如图，抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，对称轴为直线x＝－1.若点A的坐标为(－4，0)，则下列结论正确的是( C )
A．2a＋b＝0
B．4a－2b＋c＞0
C．x＝2是关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的一个根
D．点(x1，y1)，(x2，y2)在抛物线上，当x1＞x2＞－1时，y1＜y2＜0
解析：∵抛物线开口向上，∴a＞0.
∵对称轴为直线x＝－1，
∴－＝－1，∴b＝2a＞0，
∴2a＋b＞0，故A选项错误．
∵当x＝－2时，y＜0，
∴4a－2b＋c＜0，故B选项错误．
∵抛物线与x轴交于点(－4，0)，对称轴为直线x＝－1，
∴抛物线与x轴的另一个交点为(2，0)，
∴x＝2是关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的一个根，故C选项正确．
∵抛物线开口向上，对称轴为直线x＝－1，
∴当x＞－1时，y随x的增大而增大，
∴当x1＞x2＞－1时，y1＞y2，故D选项错误．
6．(6分)如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，求证：sin2A＋cos2A＝1.
证明：∵sinA＝，cos A＝，a2＋b2＝c2，
∴sin2A＋cos2A＝＝＝1.
7．(8分)如图，在平面直角坐标系中，直线l经过点A(1，0)，与双曲线y＝(x＞0)交于点B(2，1)，点P(a，2)在直线AB上，过点P作x轴的平行线分别交双曲线y＝(x＞0)和y＝－(x＜0)于点E，F.
(1)求m的值和直线l的函数表达式；
(2)连接EB，FA．求证：EB∥FA．
(1)解：∵双曲线y＝(x＞0)经过点B(2，1)，
∴m＝2×1＝2.
设直线l的函数表达式为y＝kx＋b.
∵直线l经过点A(1，0)，与双曲线y＝(x＞0)交于点B(2，1)，
∴解得
∴直线l的函数表达式为y＝x－1.
(2)证明：∵点P(a，2)在直线AB上，
∴2＝a－1，解得a＝3，∴P(3，2)．
把y＝2代入y＝－，得x＝－1.
把y＝2代入y＝，得x＝1，
∴E(1，2)，F(－1，2)，
∴EF＝2，PE＝2，∴＝1.
∵点A(1，0)，B(2，1)，P(3，2)，
∴＝＝1，
∴＝，
∴EB∥FA．
素养三 运算能力
8．(4分)从三个不同方向看同一个几何体得到的平面图形如图所示，则这个几何体的侧面积是 36 cm2.
9．(6分)计算：
(1)sin 30°－tan 60°＋2cos230°·tan45°；
(2)cos245°－s 30°.
解：(1)原式＝＋2×()2×1＝＋2×＝2－.
(2)原式＝()2－＝＝.
素养四 模型观念
10．(4分)小明利用如图1所示的电路探究电流与电阻的关系，已知电源电压为3 V且保持不变，更换了5个阻值不同的定值电阻Rx，依据5次实验的数据描点绘制了如图2所示的图象，已知I与Rx成反比例函数关系．下列说法不正确的是( C )
A．本实验中电压表的读数为2.5 V
B．当定值电阻Rx＝10 Ω时，电流表的示数为0.25 A
C．当电流表的示数为0.1 A时，定值电阻Rx＝20 Ω
D．电流I与电阻Rx之间的函数表达式为I＝
解析：由图象可知电流I与电阻Rx之积为0.5×5＝2.5(V)，
∴本实验中电压表的读数为2.5 V，
∴电流I与电阻Rx之间的函数表达式为I＝，故选项A，D正确．
当Rx＝10 Ω时，I＝＝0.25(A)，故选项B正确．
当I＝0.1 A时，由图象可知Rx＝25 Ω≠20 Ω，故选项C错误．
素养五 空间观念
11．(4分)一个立体图形的三视图如图所示，则这个立体图形是( D )
A B
C D
12．(6分)如图是一个几何体的俯视图，正方形中的数字是该位置上的小正方体的数量．
(1)请画出该几何体的主视图和左视图；
(2)若其中每个小正方体的棱长为1 cm，求这个几何体的表面积(含底面)．
解：(1)主视图和左视图如图．
(2)这个几何体的表面积为8＋8＋5＋5＋9＋9＝44(cm2)．
素养六 几何直观
13．(4分)反比例函数y＝与二次函数y＝ax2＋ax在同一平面直角坐标系中的图象可能是( A )
A B
C D
解析：A．抛物线y＝ax2＋ax开口方向向下，则a＜0，对称轴为直线x＝－＝－，反比例函数的图象位于第二、四象限，故本选项正确．
B．抛物线y＝ax2＋ax开口方向向上，则a＞0，对称轴为直线x＝－＝－，故本选项错误．
C．抛物线y＝ax2＋ax开口方向向上，则a＞0，对称轴为直线x＝－＝－，反比例函数的图象位于第一、三象限，故本选项错误．
D．抛物线y＝ax2＋ax应该经过原点，故本选项错误．
14．(4分)若点A(x1，1)，B(x2，－5)，C(x3，3)均在反比例函数y＝(k＜0)的图象上，则x1，x2，x3的大小关系是( B )
A．x3＜x2＜x1
B．x1＜x3＜x2
C．x2＜x3＜x1
D．x1＜x2＜x3
解析：∵k＜0，
∴反比例函数的图象在第二、四象限，且在每个象限内，y随x的增大而增大．
∵点A(x1，1)，B(x2，－5)，C(x3，3)在反比例函数y＝(k＜0)的图象上，
∴点A(x1，1)，C(x3，3)在第二象限，点B(x2，－5)在第四象限，
∴x1＜x3＜x2.
15．(10分)如图，二次函数图象的顶点坐标为(－1，－4)，与x轴的一个交点坐标为(1，0)．
(1)该函数图象与x轴的另一个交点坐标为 (－3，0) ；
(2)求这个二次函数的表达式；
(3)当－4＜x＜0时，求y的取值范围．
解：(1)∵二次函数的对称轴为直线x＝－1，与x轴的一个交点坐标为(1，0)，
∴二次函数图象与x轴的另一交点坐标为(－3，0)．
故答案为(－3，0)．
(2)设二次函数的表达式为y＝a(x＋1)2－4.
把(1，0)代入y＝a(x＋1)2－4，
得4a－4＝0，解得a＝1，
∴二次函数的表达式为y＝(x＋1)2－4＝x2＋2x－3.
(3)∵抛物线开口向上，顶点坐标为(－1，－4)，
∴抛物线的最小值为－4.
又∵－1－(－4)＝3＞0－(－1)＝1，
∴当x＝－4时，y在－4＜x＜0范围内取最大值，最大值为5，
∴当－4＜x＜0时，y的取值范围为－4≤y＜5.
素养七 创新意识
16．(4分)如图是由相同大小的正方体积木堆叠而成的立体图形．如果拿走图中的甲、乙、丙、丁中的一个积木，此图形主视图的形状会改变，则拿走的积木是( B )
A．甲 B．乙
C．丙 D．丁
17．(4分)某游乐场的过山车在轨道上运行的过程中有一段路线可以看作是抛物线的一部分，其运行的竖直高度y(m)与水平距离x(m)近似满足函数关系y＝ax2＋bx＋c(a≠0)．如图，该抛物线经过点A，B，C，可以推断，当水平距离x可能为________时，竖直高度y有最小值．( C )
A．5 B．6
C．7 D．9
解析：设抛物线的对称轴为直线x＝a.
∵该抛物线经过点A，B，C，
∴
解得6＜a＜9.只有C选项符合要求．
素养八 应用意识
18．(10分)某商场要经营一种新上市的文具，进价为20元，试营销阶段发现：当销售单价是25元时，每天的销售量为250件，销售单价每上涨1元，每天的销售量就减少10件．
(1)写出商场销售这种文具每天所得的销售利润w(元)与销售单价x(元)之间的函数表达式；
(2)求销售单价为多少元时，该文具每天的销售利润最大；
(3)如果该文具的销售单价高于进价且不超过30元，请你计算最大利润．
解：(1)由题意，得销售量为250－10(x－25)＝－10x＋500，
则w＝(x－20)(－10x＋500)＝－10x2＋700x－10 000.
(2)w＝－10x2＋700x－10 000＝－10(x－35)2＋2 250.
∵－10＜0，
∴当x＝35时，w取最大值，最大值为2 250,
∴当销售单价为35元时，该文具每天的销售利润最大．
(3)由题意，得20＜x≤30.
∵－10＜0，对称轴为直线x＝35，
∴当20＜x≤30时，w随x的增大而增大，
∴当x＝30时，w取最大值，最大值为－10×(30－35)2＋2 250＝2 000，
即最大利润为2 000元．
19．(8分)风电项目对于调整能源结构和转变经济发展方式具有重要意义．某电力部门在一处坡角为30°的坡地上新安装了一架风力发电机，如图1.某校实践活动小组对该坡地上的这架风力发电机的塔杆高度进行了测量，图2为测量示意图．已知斜坡CD长16 m，在地面点A处测得风力发电机塔杆顶端点P的仰角为45°，利用无人机在点A的正上方53 m的点B处测得点P的俯角为18°.求该风力发电机塔杆PD的高度．(参考数据：sin 18°≈0.309，cos 18°≈0.951，tan 18°≈0.325)
解：如图，延长PD交AC于点F，延长DP交BE于点G.
由题意，得PF⊥AF，DG⊥BE，AB＝FG＝53 m，AF＝BG.
设AF＝BG＝x m.
在Rt△CDF中，∠DCF＝30°，CD＝16 m，
∴DF＝CD＝8 m.
在Rt△PAF中，∠PAF＝45°，
∴PF＝AF·tan 45°＝x m.
在Rt△BPG中，∠GBP＝18°，
∴GP＝BG·tan 18°≈0.325x m，
∴FG＝PF＋PG＝x＋0.325x＝1.325x(m)，
∴1.325x＝53，
解得x＝40，
∴PF＝40 m，
∴PD＝PF－DF＝40－8＝32(m)，
∴该风力发电机塔杆PD的高度约为32 m．
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