30　综合质量评价(三)（教师版）初中数学鲁教版（五四制）九年级上册

综合质量评价(三)
(时间：120分钟　满分：150分)
第Ⅰ卷(选择题　共48分)
一、选择题(本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求)
1．2sin 45°的值为(　B　)
A．1 B．
C． D．2
2．榫卯是我国古代建筑、家具的一种结构方式，它通过两个构件上凹凸部位相结合来将不同构件组合在一起，如图是其中一种榫，其主视图是(　B　)
3．下列四个选项中，图中的灯光与物体的影子是最合理的是(　A　)
4．已知反比例函数的表达式为y＝，则a的取值范围是(　C　)
A．a≠2 B．a≠－2
C．a≠±2 D．a＝±2
5．如图，正方形纸板的一条对角线垂直于地面，纸板上方的灯(看作一个点)与这条对角线所确定的平面垂直于纸板．在灯光照射下，正方形纸板在地面上形成的影子的形状可以是(　D　)
6．现有一组抛物线：y＝(x－1)2＋2，y＝(x－2)2＋4，y＝(x－3)2＋6，…，则这组抛物线的顶点都在(　A　)
A．直线y＝2x上
B．直线y＝x＋2上
C．抛物线y＝2x2上
D．抛物线y＝x2上
7．安装了某软件的智能手机可以测量物高，其数学原理是：该软件通过测量手机离地面的高度、物体底端的俯角和顶端的仰角即可知道物体高度．如图2，小明测得大树底端点C的俯角α，顶端点D的仰角β，点A离地面的高度AB＝a m，则大树CD的高为(　D　)
A．a(tan α＋tan β)m B．a(sin α＋sin β)m
C．am D．am
解析：如图，过点A作AE⊥CD，垂足为点E.
由题意，得AB＝CE＝a m，AE＝CB，AE∥BC，
∴∠EAC＝∠ACB＝α.
在Rt△ABC中，BC＝＝ m，
∴AE＝BC＝ m.
在Rt△AED中，∠DAE＝β，
∴DE＝AE tan β＝ tan β＝ m，
∴DC＝DE＋CE＝＋a＝am.
8．小嘉说：将二次函数y＝x2的图象平移或翻折后经过点(2，0)，有以下4种方法：
①向右平移2个单位；
②向右平移1个单位，再向下平移1个单位；
③向下平移4个单位；
④沿x轴翻折，再向上平移4个单位．
你认为小嘉说的方法中正确的有(　D　)
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
9．如图，正比例函数y＝k1x与反比例函数y＝的图象交于A(1，m)，B两点，当k1x≤时，x的取值范围是(　A　)
A．－1≤x＜0或x≥1
B．x≤－1或0＜x≤1
C．x≤－1或x≥1
D．－1≤x＜0或0＜x≤1
10．如图，铁路道口的栏杆长为3 m，当栏杆末端从水平位置上升到点C处时，栏杆前端从水平位置下降到点A处，下降的垂直距离AD为0.5 m(栏杆的粗细忽略不计)，上升前后栏杆的夹角为α，则栏杆末端上升的垂直距离CE的长为(　D　)
A．m B．m
C．(3tan α－0.5)m D．(3sin α－0.5)m
11．如图，抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴的一个交点坐标为(－1，0)，抛物线的对称轴为直线x＝1，下列结论：①abc＜0；②3a＋c＝0；③当y＞0时，x的取值范围是－1≤x＜3；④点(－2，y1)，(2，y2)都在抛物线上，则有y1＜0＜y2.其中，结论正确的个数是(　C　)
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
12．抛物线y＝－x2＋2mx－m2＋2与y轴交于点C，过点C作直线l垂直于y轴，将抛物线在y轴右侧的部分沿直线l翻折，其余部分保持不变，组成图形G，M(m－1，y1)，N(m＋1，y2)为图形G上两点．若y1＜y2，则m的取值范围是(　D　)
A．m＜－1或m＞0 B．－＜m＜
C．0≤m＜ D．－1＜m＜1
第Ⅱ卷(非选择题　共102分)
二、填空题(本大题共6个小题，每小题4分，共24分)
13．函数y＝自变量x的取值范围是　x＞3　．
14．早在1 000多年前的宋朝，手影就已经作为民间一种有趣的游戏而存在．诗人释惠明在《手影戏》中写到：“三尺生绡作戏台，全凭十指逞诙谐．有时明月灯窗下，一笑还从掌握来．”手影戏全凭手影艺人的十指借光弄影，表演各色人物、花草虫鱼、飞禽走兽甚至是寓言故事．如图，手影戏中的手影属于　中心投影　．(填“平行投影”或“中心投影”)
15．在△ABC中，∠C＝90°，a，b，c分别为∠A，∠B，∠C的对边．若b2＝ac，则sin A的值为　　．
16．如图，已知某自由式滑雪选手从2 m高的跳台滑出后的运动路线可看成一条抛物线，设他与跳台边缘的水平距离为 x(m)，与跳台底部所在水平面的竖直高度为y(m)，y与x之间的函数关系式为y＝＋x＋2(0≤x≤20.5)，当他与跳台边缘的水平距离为　8　m时，竖直高度达到最大值．
17．如图，在△ABC中，边AB在x轴上，边AC交y轴于点E.反比例函数y＝(x＞0)的图象恰好经过点C，与边BC交于点D.若AE＝CE，CD＝2BD，S△ABC＝6，则k＝　　．
18．如图，抛物线y＝x2＋bx＋c(b＜0，c＞0)与y轴交于点C，顶点为A，连接OA并延长交抛物线的另一个交点为点B，抛物线的对称轴交x轴于点E，交BC于点D，且＝.当OC＝2AD时，c的值是　　．
解析：设点A，B的坐标分别为(3m，2m)，(3n，2n)．
∵AD∥OC，
∴∠ADB＝∠OCB，∠DAB＝∠COB，
∴△BAD∽△BOC.
当点A在线段OB上时，如图所示．
∵OC＝2AD，
∴D为线段BC的中点．
∵C(0，c)，B(3n，2n)，
∴点D的横坐标为＝n.
由题意知点A，D均在抛物线的对称轴上，
∴n＝3m，∴n＝2m，
∴点B的坐标为(6m，4m)．
∵点A，B在抛物线上，且抛物线的对称轴为直线x＝3m，
∴
解得或
∵c＞0，∴c＝.
三、解答题(本大题共8个小题，共78分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
19．(6分)如图，在△ABC中，BC＝4，∠A＝90°，sin B＝.求：
(1)AB的长；
(2)tan C的值．
解：(1)在Rt△ABC中，BC＝4，∠A＝90°，sin B＝＝，
∴AC＝，
∴AB＝＝3.
(2)tan C＝＝.
20．(6分)如图是由棱长都为1 cm的9块小正方体组成的简单几何体．
(1)按要求在方格中画出这个几何体的三视图；
(2)求这个几何体的表面积．
解：(1)三视图如图．
(2)这个几何体的表面积为(7＋5＋5)×2＋2＝36(cm2)．
21．(8分)如图，身高1.6 m的小王晚上沿箭头方向散步至一路灯下，他想通过测量自己的影长来估计路灯的高度，具体做法如下：先从路灯底部向东走20步到M处，发现自己的影子端点刚好在两盏路灯的中间点P处，继续沿刚才自己的影子走 5 步到P处，此时影子的端点在Q处．
(1)画出路灯的位置；
(2)估计路灯距离地面的高度，并求影长PQ.
解：(1)如图，点O为路灯的位置．
(2)如图，作OA垂直于地面，AM＝20步，MP＝5步，MN＝PB＝1.6 m，
∵MN∥OA，
∴△PMN∽△PAO，
∴＝，即＝，解得OA＝8.
∵PB∥OA，
∴△QPB∽△QAO，
∴＝，即＝，
解得PQ＝，
∴路灯距离地面的高度为8 m，影长PQ为步．
22．(8分)端午节吃粽子是中华民族的传统习俗．市场上猪肉粽进价比豆沙粽进价每盒贵10元，一盒猪肉粽加两盒豆沙粽进价为100元．
(1)求每盒猪肉粽和豆沙粽的进价；
(2)在销售中，某商家发现当每盒猪肉粽售价为50元时，每天可售出100盒；若每盒售价每提高1元，则每天少售出2盒.设每盒猪肉粽售价为a元，销售猪肉粽的利润为 w元，求该商家每天销售猪肉粽获得的最大利润．
解：(1)设每盒猪肉粽的进价为x元，每盒豆沙粽的进价为y元，
由题意，得
解得
∴每盒猪肉粽的进价为40元，每盒豆沙粽的进价为30元．
(2)w＝(a－40)[100－2(a－50)]＝－2(a－70)2＋1 800.
∵－2＜0，
∴当a＝70时，w有最大值，最大值为1 800元，
∴该商家每天销售猪肉粽获得的最大利润为1 800元．
23．(12分)如图，正比例函数y＝－3x与反比例函数y＝(k≠0)的图象交于A，B(1，m)两点，点C在x轴负半轴上，∠ACO＝45°.
(1)m＝　－3　，k＝　－3　，点C的坐标为　(－4，0)　；
(2)点P在x轴上，若以B，O，P为顶点的三角形与△AOC相似，求点P的坐标．
解：(2)分情况求解如下：
当点P在x轴的负半轴时，
∵∠BOP＞90°＞∠AOC，∠BOP＞∠CAO，
∴△BOP和△AOC不可能相似．
当点P在x轴的正半轴时，∠AOC＝∠BOP，
若△AOC∽△BOP，
则＝＝1，则OP＝OC＝4.
∴点P(4，0)．
若△AOC∽△POB，则＝，即＝，解得OP＝2.5，
∴点P(2.5，0)．
综上所述，点P的坐标为(4，0)或(2.5，0)．
24．(12分)如图，C地在A地的正东方向，因有大山阻隔，由A地到C地需要绕行B地．已知B地位于A地北偏东67°方向，距离A地520 km，C地位于B地南偏东30°方向．若打通穿山隧道，建成A，C两地直达高铁，求A地与C地之间直达高铁线路的长．(结果保留整数，参考数据：sin 67°≈，cos 67°≈，tan 67°≈≈1.73)
解：如图，过点B作BD⊥AC于点D.
在Rt△ABD中，∵∠ABD＝67°，AB＝520 km，∴AD＝AB·sin 67°≈520×＝480(km)，
BD＝AB·cos 67°≈520×＝200(km)．
在Rt△BCD中，∵∠CBD＝30°，
∴CD＝BD·tan 30°＝200×
≈115.3(km)，
∴AC＝AD＋CD≈480＋115.3＝595.3≈595(km)，
∴A地与C地之间直达高铁线路的长约是595 km．
25．(12分)为加强生态文明建设，某市环保局对一企业排污情况进行检测，结果显示：所排污水中硫化物的浓度超标，即硫化物的浓度超过最高允许的1.0 mg/L.环保局要求该企业立即整改，在15天内(含15天)排污达标．整改过程中，所排污水中硫化物的浓度y(mg/L)与时间x(天)的变化规律如图所示，其中线段AC表示前3天的变化规律，第3天时硫化物的浓度降为4.5 mg/L.从第3天起，所排污水中硫化物的浓度y与时间x满足下面表格中的关系：
时间x/天 3 5 6 9 …
硫化物的浓度y/(mg/L) 4.5 2.7 2.25 1.5 …
(1)在整改过程中，当0≤x＜3时，求硫化物的浓度y与时间x之间的函数表达式．
(2)在整改过程中，当x≥3时，求硫化物的浓度y与时间x之间的函数表达式．
(3)该企业所排污水中硫化物的浓度能否在15天以内不超过最高允许的1.0 mg/L？为什么？
解：(1)设线段AC的函数表达式为y＝kx＋b，
把(0，12)，(3，4.5)代入，得解得
∴y＝－2.5x＋12(0≤x＜3)．
(2)∵3×4.5＝5×2.7＝6×2.25＝9×1.5＝13.5，
∴y是x的反比例函数，
∴y＝(x≥3)．
(3)该企业所排污水中硫化物的浓度可以在15天以内不超过最高允许的1.0 mg/L．理由如下：
当x＝15时，y＝＝0.9.
∵13.5＞0，
∴y随x的增大而减小，
∴该企业所排污水中硫化物的浓度可以在15天以内不超过最高允许的1.0 mg/L.
26．(14分)如图，抛物线y＝ax2＋bx－3(a≠0)与x轴交于点A(－1，0)，点B(3，0)，与y轴交于点C.
(1)求抛物线的表达式；
(2)在对称轴上找一点Q，使△ACQ的周长最小，求点Q的坐标；
(3)P是抛物线对称轴上的一点，M是对称轴左侧抛物线上的一点，当△PMB是以PB为腰的等腰直角三角形时，请写出满足条件的点M的坐标．
解：(1)将A(－1，0)，B(3，0)代入y＝ax2＋bx－3，
得
解得
∴y＝x2－2x－3.
(2)∵y＝x2－2x－3＝(x－1)2－4，
∴抛物线的对称轴为直线x＝1.
∵点A，B关于对称轴x＝1对称，
∴AQ＝BQ，
∴AC＋AQ＋CQ＝AC＋BQ＋CQ≥AC＋BC.
当C，B，Q三点共线时，△ACQ的周长最小．
设直线BC的表达式为y＝kx＋b′，
∵C(0，－3)，B(3，0)，
∴
解得
∴y＝x－3，
∴Q(1，－2)．
(3)当∠BPM＝90°时，PM＝PB，
∴点M与点A重合，
∴M(－1，0)．
当∠PBM＝90°时，PB＝BM.
如图1，当点P在点M上方时，过点B作x轴的垂线GH，过点P作PH⊥GH于点H，过点M作MG⊥HG于点G.
图1
∵∠PBM＝90°，
∴∠PBH＋∠MBG＝90°.
∵∠PBH＋∠BPH＝90°，
∴∠MBG＝∠BPH.
∵BP＝MB，
∴△BPH≌△MBG(AAS)，
∴BH＝MG，BG＝PH＝2.
设P(1，t)，则M(3－t，－2)，
∴－2＝(3－t)2－2(3－t)－3，
解得t＝2＋或t＝2－，
∴M(1－，－2)或M(1＋，－2)．
∵点M在对称轴的左侧，
∴点M的坐标为(1－，－2)．
如图2，当点P在点M下方时，
图2
同理可得M(3＋t，2)，
∴2＝(3＋t)2－2(3＋t)－3，
解得t＝－2＋(舍去)或t＝－2－，
∴M(1－，2)．
综上所述，点M的坐标为(1－，－2)或(1－，2)或(－1，0)．
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