课时分层训练(三) 反比例函数的应用
知识点一 在实际问题中建立反比例函数模型
1.若某矩形的面积一定,则此矩形的长x与宽y的函数关系图象是( B )
A B
C D
2.某型号汽车行驶时功率一定,行驶速度v(m/s)与所受阻力F(N)是反比例函数关系,其图象如图所示.若该型号汽车在某段公路上行驶时速度为 30 m/s,则所受阻力F为( A )
A.2 500 N B.2 650 N
C.2 700 N D.2 750 N
解析:设功率为P.由题可知P=Fv,即v=.
将F=3 750 N,v=20 m/s代入,得P=75 000,
即反比例函数为v=.
当v=30 m/s时,F==2 500(N).
3.某气球内充满了一定质量的气体,在温度不变的条件下,气球内气体的压强p(kPa)是气球体积V(m3)的反比例函数,其图象经过点A(如图).当气球内的气压大于144 kPa时,气球将爆炸,为确保气球不爆炸,该气球的体积应( B )
A.不大于 m3 B.不小于 m3
C.不大于 m3 D.不小于 m3
4.图1是一个亮度可调节的台灯,其灯光亮度的改变,可以通过调节总电阻控制电流的变化来实现.图2是该台灯的电流I(A)与电阻R(Ω)成反比例函数的图象,该图象经过点P(880,0.25).根据图象可知,下列说法正确的是( D )
图1 图2
A.当R<0.25时,I<880
B.I与R之间的函数关系式是I=(R>0)
C.当R>1 000时,I>0.22
D.当880<R<1 000时,I的取值范围是0.22<I<0.25
知识点二 反比例函数与一次函数的综合
5.若正比例函数y=kx与反比例函数y=的图象的一个交点坐标为(-2,3),则另一个交点坐标为( C )
A.(-2,-3) B.(2,3)
C.(2,-3) D.(3,2)
解析:∵正比例函数y=kx与反比例函数y=的一个交点坐标为(-2,3),
∴由对称性可得另一个交点为(2,-3).
6.已知一次函数y1=k1x+b与反比例函数y2=在同一平面直角坐标系中的图象如图所示,则当y1>y2时,x的取值范围是( A )
A.x<-1或0<x<3
B.-1<x<0或x>3
C.-1<x<0
D.x>3
7.如图,直线y=2x-5与x轴、y轴分别交于点C和点B,与反比例函数y=(x>0)的图象交于点A.若OA=OB,则k的值是 12 .
第7题图 第8题图
8.如图,直线y=-x+4与反比例函数 y=(k>0)的图象交于点A(1,3)和点B(3,1),连接OA,OB,则△AOB的面积为 4 .
9.在同一平面直角坐标系中,一次函数y=kx+k与反比例函数y=(k≠0)的图象可能是( B )
A B
C D
10.如图,直线y=mx与双曲线y=交于A,B两点,过点A作AM⊥x轴,垂足为点M,连接BM.若S△ABM=4,则k的值为( A )
A.-4 B.4
C.-8 D.8
11.如图,根据小孔成像的科学原理,当像距(小孔到像的距离)和物高(蜡烛火焰高度)不变时,火焰的像高y(单位:cm)是物距(小孔到蜡烛的距离)x(单位:cm)的反比例函数,当x=6时,y=2.
(1)求y与x之间的函数关系式;
(2)若火焰的像高为3 cm,求小孔到蜡烛的距离.
解:(1)由题意,设y=.
把x=6,y=2代入,得k=6×2=12,
∴y与x之间的函数关系式为y=(x>0).
(2)把y=3代入y=(x>0),得x=4,
∴小孔到蜡烛的距离为4 cm.
12.如图,一次函数y1=kx+b的图象与反比例函数y2=的图象交于点A(1,m)和点B(n,-2).
(1)求一次函数的表达式;
(2)结合图象,写出当x>0时,满足y1>y2的x的取值范围;
(3)将一次函数的图象平移,使其经过坐标原点.直接写出一个反比例函数表达式,使它的图象与平移后的一次函数图象无交点.
解:(1)由题意,得m=,-2=,
∴m=6,n=-3,
∴A(1,6),B(-3,-2).
由题意,得
解得
∴一次函数的表达式为y=2x+4.
(2)由图象可知,当x>0时,一次函数的图象在反比例函数的图象上方对应x的取值范围为x>1,
∴当x>0时,满足y1>y2的x的取值范围为x>1.
(3)一次函数y=2x+4的图象平移后为y=2x,
函数图象经过第一、三象限,
要使正比例函数y=2x的图象与反比例函数的图象没有交点,
则反比例函数的图象经过第二、四象限,则反比例函数的k<0,
∴当k=-1时,满足条件,
∴反比例函数的表达式为y=-(答案不唯一).
【创新运用】
13.某学校对教室采用药熏消毒法进行消毒,已知药物燃烧时,室内每立方米空气中的含药量y(mg)与时间x(min)成正比例关系,药物燃烧后,y(mg)与 x(min)成反比例关系,如图所示.现测得药物8 min燃毕,此时室内空气每立方米的含药量为6 mg.请你根据题中提供的信息,解答下列问题:
(1)分别求出药物燃烧时和药物燃烧后y与x之间的函数关系式.
(2)研究表明,当空气中每立方米的含药量不低于3 mg且持续时间不低于10 min 时,才能杀灭空气中的病毒,那么这次消毒是否有效?为什么?
解:(1)设药物燃烧时y与x之间的函数关系式为y=k1x(k1>0),
代入(8,6),得6=8k1,∴k1=.
设药物燃烧后y与x之间的函数关系式为y=(k2>0),代入(8,6),得6=,
∴k2=48,
∴药物燃烧时y与x之间的函数关系式为y=x(0≤x≤8),药物燃烧后y与x之间的函数关系式为y=(x>8),
∴y=
(2)有效.理由如下:
把y=3代入y=x,得x=4,
把y=3代入y=,得x=16.
∵16-4=12(min),
∴这次消毒是有效的.
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