04 第一章成果展示 反比例函数（教师版）初中数学鲁教版（五四制）九年级上册
文档属性
| 名称 | 04 第一章成果展示 反比例函数（教师版）初中数学鲁教版（五四制）九年级上册 |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 324.3KB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 鲁教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2025-09-16 15:30:13 | ||
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文档简介
第一章成果展示 反比例函数
(时间：120分钟 满分：120分)
第Ⅰ卷(选择题 共40分)
一、选择题(本大题共10个小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求)
1．下面四个关系式中，y是x的反比例函数的是( C )
A．y＝2 024x－1 B．y＝
C．y＝ D．y＝
解析：y＝2 024x－1是一次函数，y＝是正比例函数，y＝不符合y＝(k为常数，k≠0)的形式，选项A，B，D均不是反比例函数．选项C符合题意．
2．若正比例函数y＝－2x与反比例函数y＝的图象交于点(1，－2)，则另一个交点坐标为( B )
A．(2，1) B．(－1，2)
C．(－2，－1) D．(－2，1)
3．物理学中，如果变阻器两端的电压不变，那么通过变阻器的电流y是关于电阻x的反比例函数，其图象大致是( B )
4．已知点(－2，a)，(2，b)，(3，c)在函数y＝(k＞0)的图象上，则下列判断正确的是( C )
A．a＜b＜c B．b＜a＜c
C．a＜c＜b D．c＜b＜a
5．函数y＝(k≠0)的图象如图所示，那么函数y＝kx－k的图象大致是( B )
A B C D
6．如图，直线y＝k1x＋b与双曲线y＝交于A，B两点，其横坐标分别为1和5，则不等式k1x＋b＜的解集是( B )
A．1＜x＜5 B．x＞5或0＜x＜1
C．x＞5或x＜1 D．1≤x≤5
7．已知反比例函数y＝(2m－1)xm2－2，当x＞0时，y随x的增大而增大，则m的值是( C )
A．±1 B．小于的实数
C．－1 D．1
8．如图，在菱形ABOC中，∠A＝60°，它的一个顶点C在反比例函数y＝第二象限的图象上．若点B的坐标为(－6，0)，则反比例函数的表达式为( D )
A．y＝ B．y＝－
C．y＝ D．y＝－
9．某市举行中学生党史知识竞赛．如图，用四个点分别描述甲、乙、丙、丁四所学校竞赛成绩的优秀率(该校优秀人数与该校参加竞赛人数的比值)y与该校参加竞赛人数x的情况，其中描述乙、丁两所学校情况的点恰好在同一个反比例函数的图象上，则这四所学校在这次党史知识竞赛中成绩优秀人数最多的是( C )
A．甲 B．乙
C．丙 D．丁
解析：根据题意可知xy的值即为该校的优秀人数．
∵描述乙、丁两所学校情况的点恰好在同一个反比例函数的图象上，
∴乙、丁两学校的优秀人数相同．
∵点丙在反比例函数图象上面，点甲在反比例函数图象下面，
∴丙学校的xy的值最大，即优秀人数最多，甲学校的xy的值最小，即优秀人数最少．
10．如图，在平面直角坐标系中，点A在函数y＝－(x＜0)的图象上，点B在函数y＝(x＞0)的图象上．若AO＝2BO，∠AOB＝90°，则k的值为( A )
A．1 B．2
C．1.5 D．0.25
解析：如图，过点A作AC⊥x轴于点C，过点B作BD⊥x轴于点D.
∴∠ACO＝∠BDO＝90°，
∴∠AOC＋∠OAC＝90°.
∵∠AOB＝90°，
∴∠AOC＋∠BOD＝90°，
∴∠BOD＝∠OAC，
∴△AOC∽△OBD，
∴S△AOC∶S△BOD＝.
∵AO＝2BO，
∴S△AOC∶S△BOD＝4.
∵点A在函数y＝－(x＜0)的图象上，点B在函数y＝(x＞0)的图象上，
∴S△AOC＝×|－4|＝2，S△BOD＝k，
∴2＝4×k，解得k＝1.
第Ⅱ卷(非选择题 共80分)
二、填空题(本大题共6个小题，每小题4分，共24分)
11．如果点(2，5)在反比例函数y＝的图象上，那么k＝ 10 .
12．如果反比例函数y＝(a是常数)的图象在第一、三象限，那么a的取值范围是 a＞3 ．
13．若点A(x1，y1)，B(x2，y2)在反比例函数y＝的图象上，且满足当x1＞x2＞0时y1＜y2，则m的取值范围为 m＜3 ．
14．反比例函数y1＝，y2＝在第一象限的图象如图所示，过y1上的任意一点A，作x轴的平行线交y2于点B，交y轴于点C，则△AOB的面积为 1 ．
15．在平面直角坐标系的第一象限内，边长为1的正方形ABCD的边均平行于坐标轴，点A的坐标为(a，a)，如图．若双曲线y＝(x＞0)与此正方形的边有交点，则a的取值范围是 ≤a≤＋1 ．
16．如图，点A在双曲线y＝(k＞0，x＞0)上，点B在直线l：y＝mx－2b(m＞0，b＞0)上，点A与点B关于x轴对称，直线l与y轴交于点C，当四边形AOCB是菱形时，有以下结论：
①A(b，b)；②当b＝2时，k＝4；③m＝；④S菱形AOCB＝2b2.
其中，正确结论的序号是 ②③ ．
三、解答题(本大题共6个小题，共56分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(6分)如图，已知反比例函数y1＝的图象与一次函数y2＝ax＋b的图象交于点A(1，4)和点B(m，－2)．
(1)求这两个函数的表达式；
(2)根据图象直接写出当ax＋b≤时，x的取值范围．
解：(1)把A(1，4)代入y1＝，得k＝4，
∴y1＝.
把B(m，－2)代入y1＝，得m＝－2，
∴点B的坐标为(－2，－2)．
把点A，B的坐标代入y2＝ax＋b，
得解得
∴y2＝2x＋2.
(2)观察图象可知，使得ax＋b≤成立的自变量x的取值范围是x≤－2或0＜x≤1.
18．(8分)如图，在 OABC中，OA＝2，∠AOC＝45°，点C在y轴上，D是BC的中点，反比例函数y＝(x＞0)的图象经过点A，D.求：
(1)k的值；
(2)点D的坐标．
解：(1)∵OA＝2，∠AOC＝45°，
∴点A的坐标为(2，2)．
将A(2，2)代入y＝(x＞0)，得k＝4，
∴k的值为4.
(2)∵四边形OABC是平行四边形，
∴OC∥AB，∴AB⊥x轴．
由(1)易得点B的横坐标为2.
∵D是BC的中点，
∴点D的横坐标为1，代入y＝(x＞0)，得y＝4，
∴点D的坐标为(1，4)．
19．(10分)如图，直线y＝x＋2与双曲线相交于点A(m，3)，与x轴交于点C．
(1)求双曲线的表达式；
(2)点P在x轴上，如果△ACP的面积为3，求点P的坐标．
解：(1)把A(m，3)代入y＝x＋2，
得m＋2＝3，
解得m＝2，∴点A的坐标为(2，3)．
设双曲线的表达式为y＝，
把A(2，3)代入y＝，得k＝6，
∴双曲线的表达式为y＝.
(2)对于直线y＝x＋2，令y＝0，得x＝－4，即点C的坐标为(－4，0)．
设P(x，0)，可得PC＝|x＋4|.
∵△ACP的面积为3，∴|x＋4|×3＝3，
即|x＋4|＝2，解得x＝－2或x＝－6，
∴点P的坐标为(－2，0)或(－6，0)．
20．(10分)工匠制作某种金属工具要进行材料煅烧和锻造两个工序，即需要将材料煅烧到800 ℃，然后停止煅烧进行锻造操作．煅烧时温度y(℃)与时间x(min)成一次函数关系；锻造时，温度y(℃)与时间x(min)成反比例函数关系(如图)．已知该材料初始温度是32 ℃，经过8 min时，材料温度降为600 ℃.
(1)求材料煅烧和锻造时y与x之间的函数表达式；
(2)根据工艺要求，当材料温度低于480 ℃时，需停止操作，那么锻造的操作时间有多长？
解：(1)设材料锻造时y与x的函数表达式为y＝(k≠0)．
将(8，600)代入，得600＝，
解得k＝4 800，
∴y＝.
把y＝800代入y＝，得＝800，
解得x＝6，
∴B(6，800)，函数自变量的取值范围是x≥6，
∴材料锻造时y与x的函数表达式为y＝(x≥6)．
设材料煅烧时y与x的函数表达式为y＝ax＋32(a≠0)．
将(6，800)代入，得800＝6a＋32，
解得a＝128，
∴材料煅烧时y与x的函数表达式为y＝128x＋32(0≤x＜6)．
(2)把y＝480代入y＝，得x＝10，
10－6＝4(min)，
故锻造的操作时间为4 min.
21．(10分)通过实验研究发现：初中生在数学课上听课注意力指标随上课时间的变化而变化，上课开始时，学生兴趣激增，中间一段时间，学生的兴趣保持平稳状态，随后开始分散．学生注意力指标y随时间x(min)变化的函数图象如图所示，当 0≤x＜10和10≤x＜20时，图象是线段；当20≤x≤45时，图象是反比例函数的一部分．
(1)求点A对应的指标值．
(2)张老师在一节课上讲解一道数学综合题需要17 min，他能否经过适当的安排，使学生在听这道综合题的讲解时，注意力指标都不低于36？请说明理由．
解：(1)设当20≤x≤45时，反比例函数的表达式为y＝，将C(20，45)代入，得
45＝，解得k＝900，
∴反比例函数的表达式为y＝.
当x＝45时，y＝＝20，
∴D(45，20)，
∴A(0，20)，即点A对应的指标值为20.
(2)能．理由如下：
设当0≤x＜10时，直线AB的表达式为y＝mx＋n，将A(0，20)，B(10，45)代入，得
解得
∴直线AB的表达式为y＝x＋20.
当y≥36时，x＋20≥36，解得x≥.
由(1)得反比例函数的表达式为y＝，
当y≥36时，≥36，解得x≤25，
∴当≤x≤25时，注意力指标都不低于36，
而25－＝＞17，
∴张老师能经过适当的安排，使学生在听这道综合题的讲解时，注意力指标都不低于36.
22．(12分)如图，矩形OABC的顶点A，C分别落在x轴、y轴的正半轴上，顶点B(2，2)，反比例函数y＝(x＞0)的图象与BC，AB分别交于点D，E，BD＝.
(1)求反比例函数的表达式和点E的坐标；
(2)写出DE所在直线与直线AC的位置关系，并说明理由；
(3)点F在直线AC上，G是坐标系内一点，当四边形BCFG为菱形时，求出点G的坐标，并判断点G是否在反比例函数的图象上．
解：(1)∵B(2，2)，∴BC＝2.
∵BD＝，∴CD＝2－＝，
∴点D的坐标为.
将D代入y＝(x＞0)，得2＝，
解得k＝3，
∴反比例函数的表达式为y＝(x＞0)．
当x＝2时，y＝，
∴点E的坐标为(2，)．
(2)DE所在直线与直线AC平行．理由如下：
由(1)知，D(，2)，E(2，)，
B(2，2)，则BE＝，
∴＝＝＝＝，
∴＝，
∴DE所在直线与直线AC平行．
(3)①当点F在点C的下方、点G在点F的右侧时，如图，过点F作FH⊥y轴于点H．
∵四边形BCFG为菱形，
∴BC＝CF＝FG＝BG＝2.
在Rt△OAC中，OA＝BC＝2，OC＝AB＝2，
∴AC＝＝4，∴∠OCA＝30°，
∴FH＝FC＝1，CH＝＝，
∴F(1，)，则G(3，)．
将x＝3代入y＝，得y＝.
∴点G在反比例函数的图象上．
②当点F在点C的上方时，图略，同理可得，点G的坐标为(1，3)，且在反比例函数的图象上．
综上所述，点G的坐标为(3，)或(1，3)，都在反比例函数的图象上．
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(时间：120分钟 满分：120分)
第Ⅰ卷(选择题 共40分)
一、选择题(本大题共10个小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求)
1．下面四个关系式中，y是x的反比例函数的是( C )
A．y＝2 024x－1 B．y＝
C．y＝ D．y＝
解析：y＝2 024x－1是一次函数，y＝是正比例函数，y＝不符合y＝(k为常数，k≠0)的形式，选项A，B，D均不是反比例函数．选项C符合题意．
2．若正比例函数y＝－2x与反比例函数y＝的图象交于点(1，－2)，则另一个交点坐标为( B )
A．(2，1) B．(－1，2)
C．(－2，－1) D．(－2，1)
3．物理学中，如果变阻器两端的电压不变，那么通过变阻器的电流y是关于电阻x的反比例函数，其图象大致是( B )
4．已知点(－2，a)，(2，b)，(3，c)在函数y＝(k＞0)的图象上，则下列判断正确的是( C )
A．a＜b＜c B．b＜a＜c
C．a＜c＜b D．c＜b＜a
5．函数y＝(k≠0)的图象如图所示，那么函数y＝kx－k的图象大致是( B )
A B C D
6．如图，直线y＝k1x＋b与双曲线y＝交于A，B两点，其横坐标分别为1和5，则不等式k1x＋b＜的解集是( B )
A．1＜x＜5 B．x＞5或0＜x＜1
C．x＞5或x＜1 D．1≤x≤5
7．已知反比例函数y＝(2m－1)xm2－2，当x＞0时，y随x的增大而增大，则m的值是( C )
A．±1 B．小于的实数
C．－1 D．1
8．如图，在菱形ABOC中，∠A＝60°，它的一个顶点C在反比例函数y＝第二象限的图象上．若点B的坐标为(－6，0)，则反比例函数的表达式为( D )
A．y＝ B．y＝－
C．y＝ D．y＝－
9．某市举行中学生党史知识竞赛．如图，用四个点分别描述甲、乙、丙、丁四所学校竞赛成绩的优秀率(该校优秀人数与该校参加竞赛人数的比值)y与该校参加竞赛人数x的情况，其中描述乙、丁两所学校情况的点恰好在同一个反比例函数的图象上，则这四所学校在这次党史知识竞赛中成绩优秀人数最多的是( C )
A．甲 B．乙
C．丙 D．丁
解析：根据题意可知xy的值即为该校的优秀人数．
∵描述乙、丁两所学校情况的点恰好在同一个反比例函数的图象上，
∴乙、丁两学校的优秀人数相同．
∵点丙在反比例函数图象上面，点甲在反比例函数图象下面，
∴丙学校的xy的值最大，即优秀人数最多，甲学校的xy的值最小，即优秀人数最少．
10．如图，在平面直角坐标系中，点A在函数y＝－(x＜0)的图象上，点B在函数y＝(x＞0)的图象上．若AO＝2BO，∠AOB＝90°，则k的值为( A )
A．1 B．2
C．1.5 D．0.25
解析：如图，过点A作AC⊥x轴于点C，过点B作BD⊥x轴于点D.
∴∠ACO＝∠BDO＝90°，
∴∠AOC＋∠OAC＝90°.
∵∠AOB＝90°，
∴∠AOC＋∠BOD＝90°，
∴∠BOD＝∠OAC，
∴△AOC∽△OBD，
∴S△AOC∶S△BOD＝.
∵AO＝2BO，
∴S△AOC∶S△BOD＝4.
∵点A在函数y＝－(x＜0)的图象上，点B在函数y＝(x＞0)的图象上，
∴S△AOC＝×|－4|＝2，S△BOD＝k，
∴2＝4×k，解得k＝1.
第Ⅱ卷(非选择题 共80分)
二、填空题(本大题共6个小题，每小题4分，共24分)
11．如果点(2，5)在反比例函数y＝的图象上，那么k＝ 10 .
12．如果反比例函数y＝(a是常数)的图象在第一、三象限，那么a的取值范围是 a＞3 ．
13．若点A(x1，y1)，B(x2，y2)在反比例函数y＝的图象上，且满足当x1＞x2＞0时y1＜y2，则m的取值范围为 m＜3 ．
14．反比例函数y1＝，y2＝在第一象限的图象如图所示，过y1上的任意一点A，作x轴的平行线交y2于点B，交y轴于点C，则△AOB的面积为 1 ．
15．在平面直角坐标系的第一象限内，边长为1的正方形ABCD的边均平行于坐标轴，点A的坐标为(a，a)，如图．若双曲线y＝(x＞0)与此正方形的边有交点，则a的取值范围是 ≤a≤＋1 ．
16．如图，点A在双曲线y＝(k＞0，x＞0)上，点B在直线l：y＝mx－2b(m＞0，b＞0)上，点A与点B关于x轴对称，直线l与y轴交于点C，当四边形AOCB是菱形时，有以下结论：
①A(b，b)；②当b＝2时，k＝4；③m＝；④S菱形AOCB＝2b2.
其中，正确结论的序号是 ②③ ．
三、解答题(本大题共6个小题，共56分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(6分)如图，已知反比例函数y1＝的图象与一次函数y2＝ax＋b的图象交于点A(1，4)和点B(m，－2)．
(1)求这两个函数的表达式；
(2)根据图象直接写出当ax＋b≤时，x的取值范围．
解：(1)把A(1，4)代入y1＝，得k＝4，
∴y1＝.
把B(m，－2)代入y1＝，得m＝－2，
∴点B的坐标为(－2，－2)．
把点A，B的坐标代入y2＝ax＋b，
得解得
∴y2＝2x＋2.
(2)观察图象可知，使得ax＋b≤成立的自变量x的取值范围是x≤－2或0＜x≤1.
18．(8分)如图，在 OABC中，OA＝2，∠AOC＝45°，点C在y轴上，D是BC的中点，反比例函数y＝(x＞0)的图象经过点A，D.求：
(1)k的值；
(2)点D的坐标．
解：(1)∵OA＝2，∠AOC＝45°，
∴点A的坐标为(2，2)．
将A(2，2)代入y＝(x＞0)，得k＝4，
∴k的值为4.
(2)∵四边形OABC是平行四边形，
∴OC∥AB，∴AB⊥x轴．
由(1)易得点B的横坐标为2.
∵D是BC的中点，
∴点D的横坐标为1，代入y＝(x＞0)，得y＝4，
∴点D的坐标为(1，4)．
19．(10分)如图，直线y＝x＋2与双曲线相交于点A(m，3)，与x轴交于点C．
(1)求双曲线的表达式；
(2)点P在x轴上，如果△ACP的面积为3，求点P的坐标．
解：(1)把A(m，3)代入y＝x＋2，
得m＋2＝3，
解得m＝2，∴点A的坐标为(2，3)．
设双曲线的表达式为y＝，
把A(2，3)代入y＝，得k＝6，
∴双曲线的表达式为y＝.
(2)对于直线y＝x＋2，令y＝0，得x＝－4，即点C的坐标为(－4，0)．
设P(x，0)，可得PC＝|x＋4|.
∵△ACP的面积为3，∴|x＋4|×3＝3，
即|x＋4|＝2，解得x＝－2或x＝－6，
∴点P的坐标为(－2，0)或(－6，0)．
20．(10分)工匠制作某种金属工具要进行材料煅烧和锻造两个工序，即需要将材料煅烧到800 ℃，然后停止煅烧进行锻造操作．煅烧时温度y(℃)与时间x(min)成一次函数关系；锻造时，温度y(℃)与时间x(min)成反比例函数关系(如图)．已知该材料初始温度是32 ℃，经过8 min时，材料温度降为600 ℃.
(1)求材料煅烧和锻造时y与x之间的函数表达式；
(2)根据工艺要求，当材料温度低于480 ℃时，需停止操作，那么锻造的操作时间有多长？
解：(1)设材料锻造时y与x的函数表达式为y＝(k≠0)．
将(8，600)代入，得600＝，
解得k＝4 800，
∴y＝.
把y＝800代入y＝，得＝800，
解得x＝6，
∴B(6，800)，函数自变量的取值范围是x≥6，
∴材料锻造时y与x的函数表达式为y＝(x≥6)．
设材料煅烧时y与x的函数表达式为y＝ax＋32(a≠0)．
将(6，800)代入，得800＝6a＋32，
解得a＝128，
∴材料煅烧时y与x的函数表达式为y＝128x＋32(0≤x＜6)．
(2)把y＝480代入y＝，得x＝10，
10－6＝4(min)，
故锻造的操作时间为4 min.
21．(10分)通过实验研究发现：初中生在数学课上听课注意力指标随上课时间的变化而变化，上课开始时，学生兴趣激增，中间一段时间，学生的兴趣保持平稳状态，随后开始分散．学生注意力指标y随时间x(min)变化的函数图象如图所示，当 0≤x＜10和10≤x＜20时，图象是线段；当20≤x≤45时，图象是反比例函数的一部分．
(1)求点A对应的指标值．
(2)张老师在一节课上讲解一道数学综合题需要17 min，他能否经过适当的安排，使学生在听这道综合题的讲解时，注意力指标都不低于36？请说明理由．
解：(1)设当20≤x≤45时，反比例函数的表达式为y＝，将C(20，45)代入，得
45＝，解得k＝900，
∴反比例函数的表达式为y＝.
当x＝45时，y＝＝20，
∴D(45，20)，
∴A(0，20)，即点A对应的指标值为20.
(2)能．理由如下：
设当0≤x＜10时，直线AB的表达式为y＝mx＋n，将A(0，20)，B(10，45)代入，得
解得
∴直线AB的表达式为y＝x＋20.
当y≥36时，x＋20≥36，解得x≥.
由(1)得反比例函数的表达式为y＝，
当y≥36时，≥36，解得x≤25，
∴当≤x≤25时，注意力指标都不低于36，
而25－＝＞17，
∴张老师能经过适当的安排，使学生在听这道综合题的讲解时，注意力指标都不低于36.
22．(12分)如图，矩形OABC的顶点A，C分别落在x轴、y轴的正半轴上，顶点B(2，2)，反比例函数y＝(x＞0)的图象与BC，AB分别交于点D，E，BD＝.
(1)求反比例函数的表达式和点E的坐标；
(2)写出DE所在直线与直线AC的位置关系，并说明理由；
(3)点F在直线AC上，G是坐标系内一点，当四边形BCFG为菱形时，求出点G的坐标，并判断点G是否在反比例函数的图象上．
解：(1)∵B(2，2)，∴BC＝2.
∵BD＝，∴CD＝2－＝，
∴点D的坐标为.
将D代入y＝(x＞0)，得2＝，
解得k＝3，
∴反比例函数的表达式为y＝(x＞0)．
当x＝2时，y＝，
∴点E的坐标为(2，)．
(2)DE所在直线与直线AC平行．理由如下：
由(1)知，D(，2)，E(2，)，
B(2，2)，则BE＝，
∴＝＝＝＝，
∴＝，
∴DE所在直线与直线AC平行．
(3)①当点F在点C的下方、点G在点F的右侧时，如图，过点F作FH⊥y轴于点H．
∵四边形BCFG为菱形，
∴BC＝CF＝FG＝BG＝2.
在Rt△OAC中，OA＝BC＝2，OC＝AB＝2，
∴AC＝＝4，∴∠OCA＝30°，
∴FH＝FC＝1，CH＝＝，
∴F(1，)，则G(3，)．
将x＝3代入y＝，得y＝.
∴点G在反比例函数的图象上．
②当点F在点C的上方时，图略，同理可得，点G的坐标为(1，3)，且在反比例函数的图象上．
综上所述，点G的坐标为(3，)或(1，3)，都在反比例函数的图象上．
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