05 课时分层训练(四) 锐角三角函数（教师版）初中数学鲁教版（五四制）九年级上册
文档属性
| 名称 | 05 课时分层训练(四) 锐角三角函数（教师版）初中数学鲁教版（五四制）九年级上册 |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 223.4KB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 鲁教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2025-09-16 15:30:13 | ||
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文档简介
课时分层训练(四) 锐角三角函数
知识点一 正切
1．如图，在由边长为1的小正方形构成的网格中，点A，B，C都在格点上，则tan B的值为( B )
A． B．
C． D．
解析：由图，得AC＝4，BC＝3.
∵∠C＝90°，
∴tan B＝＝.
2．在△ABC中，∠C＝90°，AB＝13 cm，BC＝5 cm，则tan B＝ ．
知识点二 坡度(坡比)与正切的关系
3．河堤横断面如图所示，堤高BC＝5 m，迎水坡AB的坡比为1∶(坡比是坡面的铅直高度BC与水平宽度AC之比)，则AC的长是( A )
A．5 m B．10 m
C．15 m D．10 m
4．如图，某山坡的坡面AB＝200 m，坡角∠BAC＝30°，则该山坡的高BC的长为 100 m.
知识点三 正弦与余弦
5．如图，在Rt△ACB中，∠C＝90°，AB＝4，AC＝3，则cos B＝等于( C )
A． B．
C． D．
6．如图，在Rt△ACB中，∠C＝90°，sin B＝0.5.若AC＝6，则BC的长为( C )
A．8 B．12
C．6 D．12
知识点四 锐角三角函数
7．在Rt△ABC中，如果各边长度都扩大为原来的2倍，那么锐角A的正弦值( D )
A．扩大为原来的2倍
B．缩小为原来的
C．扩大为原来的4倍
D．没有变化
8．已知在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝12，BC＝15.求：
(1)AB的长；
(2)sin A，cos A的值．
解：(1)由勾股定理，得AB＝＝3.
(2)sin A＝＝＝，cos A＝＝＝.
9．如图，在矩形ABCD中，DE⊥AC，垂足为点E，cos ∠ADE＝，AB＝4，则AD的长为( C )
A．3 B．
C． D．
解析：∵DE⊥AC，
∴∠ADE＋∠CAD＝90°.
∵∠ACD＋∠CAD＝90°，
∴∠ACD＝∠ADE.
∵矩形ABCD的对边AB∥CD，
∴∠BAC＝∠ACD＝∠ADE.
∵cos ∠ADE＝，
∴cos ∠BAC＝，
∴＝，
∴AC＝AB＝.
由勾股定理，得BC＝
＝＝.
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD＝BC＝.
10．在△ABC中，∠B，∠C 均为锐角，其对边分别为b，c，求证：＝.
证明：如图，过点A作AD⊥BC于点D.
在Rt△ABD中，sin B＝，
∴AD＝AB·sin B.
在Rt△ADC中，sin C＝，
∴AD＝AC·sin C，
∴AB·sin B＝AC·sin C，
即c sin B＝b sin C，
∴＝.
11．如图，在锐角三角形ABC中，AB＝10 cm，BC＝9 cm，△ABC的面积为.求tan B的值．
解：如图，过点A作AH⊥BC于点H.
∵S△ABC＝27 cm2，
∴×9AH＝27，
∴AH＝6 cm.
∵AB＝10 cm，
∴BH＝＝
＝8(cm)，
∴tan B＝＝＝.
12．[实践探究]
(1)如图1，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝2，BC＝1，求tan A的值．小明想构造包含∠A的直角三角形：延长CA至点D，使得DA＝AB，连接BD，得到∠D＝∠A，即转化为求∠D的正切值．请按小明的思路求tan A的值．
[拓展延伸]
(2)如图2，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，tan A＝，求tan 2A的值．
解：(1)在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝2，BC＝1，
∴AB＝＝.
由题意知AD＝AB＝，
∴∠D＝∠ABD，
∴∠BAC＝2∠D，CD＝AD＋AC＝2＋，
∴tan A＝tan ∠BAC＝tan D＝＝＝－2.
(2)如图，作AB的垂直平分线EF，交AB于点F，交AC于点E，连接BE.
在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，tan A＝＝，
∴BC＝AC·tan A＝3×＝1.
设CE＝x，则AE＝BE＝3－x.
在Rt△BEC中，由勾股定理，
得BE2＝CE2＋BC2，
即(3－x)2＝x2＋12，
解得x＝.
在Rt△BEC中，tan ∠BEC＝＝＝.
∵EF是AB的垂直平分线，
∴AE＝BE，
∴∠A＝∠ABE，
∴∠BEC＝∠A＋∠ABE＝2∠A，
∴tan 2A＝tan ∠BEC＝.
【创新运用】
13．如图，在边长相同的小正方形网格中，点A，B，C，D都在这些小正方形的顶点上，AB，CD相交于点P，求的值和 tan ∠APD的值．
解：如图，连接BE交CD于点F.
∵四边形BCED是正方形，
∴DB∥AC，
∴△DBP∽△CAP，
∴＝＝3.
∵四边形BCED是正方形，
∴DF＝CF＝CD，BF＝BE，CD＝BE，BE⊥CD，
∴BF＝CF.
由△DBP∽△CAP，
得DP∶CP＝BD∶AC＝1∶3，
∴DP∶DF＝1∶2，
∴DP＝PF＝CF＝BF.
在Rt△PBF中，tan ∠BPF＝＝2.
∵∠APD＝∠BPF，
∴tan ∠APD＝2.
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知识点一 正切
1．如图，在由边长为1的小正方形构成的网格中，点A，B，C都在格点上，则tan B的值为( B )
A． B．
C． D．
解析：由图，得AC＝4，BC＝3.
∵∠C＝90°，
∴tan B＝＝.
2．在△ABC中，∠C＝90°，AB＝13 cm，BC＝5 cm，则tan B＝ ．
知识点二 坡度(坡比)与正切的关系
3．河堤横断面如图所示，堤高BC＝5 m，迎水坡AB的坡比为1∶(坡比是坡面的铅直高度BC与水平宽度AC之比)，则AC的长是( A )
A．5 m B．10 m
C．15 m D．10 m
4．如图，某山坡的坡面AB＝200 m，坡角∠BAC＝30°，则该山坡的高BC的长为 100 m.
知识点三 正弦与余弦
5．如图，在Rt△ACB中，∠C＝90°，AB＝4，AC＝3，则cos B＝等于( C )
A． B．
C． D．
6．如图，在Rt△ACB中，∠C＝90°，sin B＝0.5.若AC＝6，则BC的长为( C )
A．8 B．12
C．6 D．12
知识点四 锐角三角函数
7．在Rt△ABC中，如果各边长度都扩大为原来的2倍，那么锐角A的正弦值( D )
A．扩大为原来的2倍
B．缩小为原来的
C．扩大为原来的4倍
D．没有变化
8．已知在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝12，BC＝15.求：
(1)AB的长；
(2)sin A，cos A的值．
解：(1)由勾股定理，得AB＝＝3.
(2)sin A＝＝＝，cos A＝＝＝.
9．如图，在矩形ABCD中，DE⊥AC，垂足为点E，cos ∠ADE＝，AB＝4，则AD的长为( C )
A．3 B．
C． D．
解析：∵DE⊥AC，
∴∠ADE＋∠CAD＝90°.
∵∠ACD＋∠CAD＝90°，
∴∠ACD＝∠ADE.
∵矩形ABCD的对边AB∥CD，
∴∠BAC＝∠ACD＝∠ADE.
∵cos ∠ADE＝，
∴cos ∠BAC＝，
∴＝，
∴AC＝AB＝.
由勾股定理，得BC＝
＝＝.
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD＝BC＝.
10．在△ABC中，∠B，∠C 均为锐角，其对边分别为b，c，求证：＝.
证明：如图，过点A作AD⊥BC于点D.
在Rt△ABD中，sin B＝，
∴AD＝AB·sin B.
在Rt△ADC中，sin C＝，
∴AD＝AC·sin C，
∴AB·sin B＝AC·sin C，
即c sin B＝b sin C，
∴＝.
11．如图，在锐角三角形ABC中，AB＝10 cm，BC＝9 cm，△ABC的面积为.求tan B的值．
解：如图，过点A作AH⊥BC于点H.
∵S△ABC＝27 cm2，
∴×9AH＝27，
∴AH＝6 cm.
∵AB＝10 cm，
∴BH＝＝
＝8(cm)，
∴tan B＝＝＝.
12．[实践探究]
(1)如图1，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝2，BC＝1，求tan A的值．小明想构造包含∠A的直角三角形：延长CA至点D，使得DA＝AB，连接BD，得到∠D＝∠A，即转化为求∠D的正切值．请按小明的思路求tan A的值．
[拓展延伸]
(2)如图2，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，tan A＝，求tan 2A的值．
解：(1)在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝2，BC＝1，
∴AB＝＝.
由题意知AD＝AB＝，
∴∠D＝∠ABD，
∴∠BAC＝2∠D，CD＝AD＋AC＝2＋，
∴tan A＝tan ∠BAC＝tan D＝＝＝－2.
(2)如图，作AB的垂直平分线EF，交AB于点F，交AC于点E，连接BE.
在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，tan A＝＝，
∴BC＝AC·tan A＝3×＝1.
设CE＝x，则AE＝BE＝3－x.
在Rt△BEC中，由勾股定理，
得BE2＝CE2＋BC2，
即(3－x)2＝x2＋12，
解得x＝.
在Rt△BEC中，tan ∠BEC＝＝＝.
∵EF是AB的垂直平分线，
∴AE＝BE，
∴∠A＝∠ABE，
∴∠BEC＝∠A＋∠ABE＝2∠A，
∴tan 2A＝tan ∠BEC＝.
【创新运用】
13．如图，在边长相同的小正方形网格中，点A，B，C，D都在这些小正方形的顶点上，AB，CD相交于点P，求的值和 tan ∠APD的值．
解：如图，连接BE交CD于点F.
∵四边形BCED是正方形，
∴DB∥AC，
∴△DBP∽△CAP，
∴＝＝3.
∵四边形BCED是正方形，
∴DF＝CF＝CD，BF＝BE，CD＝BE，BE⊥CD，
∴BF＝CF.
由△DBP∽△CAP，
得DP∶CP＝BD∶AC＝1∶3，
∴DP∶DF＝1∶2，
∴DP＝PF＝CF＝BF.
在Rt△PBF中，tan ∠BPF＝＝2.
∵∠APD＝∠BPF，
∴tan ∠APD＝2.
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