06 课时分层训练(五) 30°，45°，60°角的三角函数值（教师版）初中数学鲁教版（五四制）九年级上册
文档属性
| 名称 | 06 课时分层训练(五) 30°，45°，60°角的三角函数值（教师版）初中数学鲁教版（五四制）九年级上册 |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 206.2KB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 鲁教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2025-09-16 15:30:13 | ||
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文档简介
课时分层训练(五) 30°，45°，60°角的三角函数值
知识点一 30°，45°，60°角的三角函数值
1．式子2cos 30°－tan 45°的值是( C )
A．1－ B．0
C．－1 D．
2．将如图的三角尺的直角顶点放置在直线AB上的点O处，使斜边CD∥AB，则∠α的余弦值为( A )
A． B．
C． D．1
3．计算：
(1)2cos 30°－tan 60°＋sin 45°cos 45°；
(2)(－1)2 025＋2sin 45°－cos 30°＋sin 60°＋tan260°.
解：(1)原式＝2×＝＝.
(2)原式＝－1＋2×＋()2＝－1＋＋3＝2＋.
知识点二 根据特殊角的三角函数值求相应锐角的度数
4．已知α为锐角，且sin(α－10°)＝，则α等于( A )
A．70° B．60°
C．50° D．30°
5．在△ABC中，若＋(－cos B)2＝0，∠A，∠B都是锐角，则∠C的度数是( C )
A．75° B．90°
C．105° D．120°
6．已知∠A是锐角，填空：
(1)若cos A＝，则∠A＝ 60° ；
(2)若2sin A＝1，则∠A＝ 30° ；
(3)若tan (A＋15°)＝，则∠A＝ 15° ．
知识点三 三角函数的简单实际应用
7．如图，小明在公园里放风筝，拿风筝线的手B距离地面的高度AB为1.5 m，风筝飞到C处时的线长BC为30 m，这时测得∠CBD＝60°，求此时风筝距离地面的高度．(结果精确到0.1 m，参考数据：≈1.73)
解：在Rt△BCD中，sin ∠CBD＝，
∴CD＝BC·sin ∠CBD＝30×sin 60°＝15≈25.95(m)，
∴CE＝CD＋AB≈25.95＋1.5＝27.45≈27.5(m)．
答：此时风筝距离地面的高度约是27.5 m．
8．按如图所示的运算程序，能使输出的y值为的是( C )
A．α＝60°，β＝45° B．α＝30°，β＝45°
C．α＝30°，β＝30° D．α＝45°，β＝30°
解析：A．α＝60°，β＝45°，α＞β，则y＝sin α＝；
B．α＝30°，β＝45°，α＜β，则y＝cos β＝；
C．α＝30°，β＝30°，α＝β，则y＝sin α＝；
D．α＝45°，β＝30°，α＞β，则y＝sin α＝.
9．如图，在一次龙卷风中，一棵大树在距离地面若干米处折断倒下，B为折断处最高点，树顶A落在距离树根C的12 m 处，测得∠BAC＝30°，求BC的长．(结果保留根号)
解：∵BC⊥AC，
∴∠BCA＝90°.
在Rt△ABC中，∵tan ∠BAC＝，
∴BC＝AC·tan ∠BAC＝12×tan 30°＝12×＝4(m)．
10．在Rt△ABC中，已知∠B＝90°，AC＝10，AB＝5，求∠A的度数．
解：在Rt△ABC中，
∵∠B＝90°，AC＝10，AB＝5，
∴cos A＝＝＝，
∴∠A＝45°.
11．如图，点A是一个半径为600 m的圆形森林公园的中心，在森林公园附近有B，C两个村庄，现要在B，C两个村庄之间修一条长为2 000 m的笔直公路将两村连通，现测得∠ABC＝45°，∠ACB＝30°.问：此公路是否会穿过该森林公园？请说明理由．(参考数据：≈1.73)
解：此公路不会穿过该森林公园．理由如下：
如图，过点A作AH⊥BC于点H，则∠AHB＝∠AHC＝90°.
∵∠ABC＝45°，
∴tan ∠ABC＝＝tan 45°＝1，
∴BH＝AH.
∵∠ACB＝30°，
∴tan ∠ACB＝＝tan 30°＝，
∴CH＝AH.
∵BC＝BH＋CH＝2 000 m，
∴AH＋AH＝2 000 m，
∴AH＝1 000(－1)m.
∵1 000(－1)＞600，
∴此公路不会穿过该森林公园．
【创新运用】
12．阅读材料，解答下列问题：
sin (α＋β)＝sin α·cos β＋cos α·sin β，
cos (α＋β)＝cos α·cos β－sin α·sin β.
例：sin 75°＝sin(30°＋45°)＝sin 30°·cos 45°＋cos 30°·sin 45°＝.
(1)试仿照例题，求出cos 75°的准确值；
(2)我们知道tan α＝，试求出 tan 75° 的准确值；
(3)根据材料及所学知识，请你巧妙地构造一个合适的直角三角形，求出tan 75° 的准确值(要求分母有理化)，并和(2)中的结果进行比较．
解：(1)∵cos (α＋β)＝cos α·cos β－sin α·sin β，
∴cos 75°＝cos(30°＋45°)＝cos 30°·cos 45°－sin 30°·sin 45°＝＝.
(2)∵tan α＝，
∴tan 75°＝＝＝2＋.
(3)如图，tan 75°＝tan∠CBD＝＝＝＋2.
与(2)中的结果相同．
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知识点一 30°，45°，60°角的三角函数值
1．式子2cos 30°－tan 45°的值是( C )
A．1－ B．0
C．－1 D．
2．将如图的三角尺的直角顶点放置在直线AB上的点O处，使斜边CD∥AB，则∠α的余弦值为( A )
A． B．
C． D．1
3．计算：
(1)2cos 30°－tan 60°＋sin 45°cos 45°；
(2)(－1)2 025＋2sin 45°－cos 30°＋sin 60°＋tan260°.
解：(1)原式＝2×＝＝.
(2)原式＝－1＋2×＋()2＝－1＋＋3＝2＋.
知识点二 根据特殊角的三角函数值求相应锐角的度数
4．已知α为锐角，且sin(α－10°)＝，则α等于( A )
A．70° B．60°
C．50° D．30°
5．在△ABC中，若＋(－cos B)2＝0，∠A，∠B都是锐角，则∠C的度数是( C )
A．75° B．90°
C．105° D．120°
6．已知∠A是锐角，填空：
(1)若cos A＝，则∠A＝ 60° ；
(2)若2sin A＝1，则∠A＝ 30° ；
(3)若tan (A＋15°)＝，则∠A＝ 15° ．
知识点三 三角函数的简单实际应用
7．如图，小明在公园里放风筝，拿风筝线的手B距离地面的高度AB为1.5 m，风筝飞到C处时的线长BC为30 m，这时测得∠CBD＝60°，求此时风筝距离地面的高度．(结果精确到0.1 m，参考数据：≈1.73)
解：在Rt△BCD中，sin ∠CBD＝，
∴CD＝BC·sin ∠CBD＝30×sin 60°＝15≈25.95(m)，
∴CE＝CD＋AB≈25.95＋1.5＝27.45≈27.5(m)．
答：此时风筝距离地面的高度约是27.5 m．
8．按如图所示的运算程序，能使输出的y值为的是( C )
A．α＝60°，β＝45° B．α＝30°，β＝45°
C．α＝30°，β＝30° D．α＝45°，β＝30°
解析：A．α＝60°，β＝45°，α＞β，则y＝sin α＝；
B．α＝30°，β＝45°，α＜β，则y＝cos β＝；
C．α＝30°，β＝30°，α＝β，则y＝sin α＝；
D．α＝45°，β＝30°，α＞β，则y＝sin α＝.
9．如图，在一次龙卷风中，一棵大树在距离地面若干米处折断倒下，B为折断处最高点，树顶A落在距离树根C的12 m 处，测得∠BAC＝30°，求BC的长．(结果保留根号)
解：∵BC⊥AC，
∴∠BCA＝90°.
在Rt△ABC中，∵tan ∠BAC＝，
∴BC＝AC·tan ∠BAC＝12×tan 30°＝12×＝4(m)．
10．在Rt△ABC中，已知∠B＝90°，AC＝10，AB＝5，求∠A的度数．
解：在Rt△ABC中，
∵∠B＝90°，AC＝10，AB＝5，
∴cos A＝＝＝，
∴∠A＝45°.
11．如图，点A是一个半径为600 m的圆形森林公园的中心，在森林公园附近有B，C两个村庄，现要在B，C两个村庄之间修一条长为2 000 m的笔直公路将两村连通，现测得∠ABC＝45°，∠ACB＝30°.问：此公路是否会穿过该森林公园？请说明理由．(参考数据：≈1.73)
解：此公路不会穿过该森林公园．理由如下：
如图，过点A作AH⊥BC于点H，则∠AHB＝∠AHC＝90°.
∵∠ABC＝45°，
∴tan ∠ABC＝＝tan 45°＝1，
∴BH＝AH.
∵∠ACB＝30°，
∴tan ∠ACB＝＝tan 30°＝，
∴CH＝AH.
∵BC＝BH＋CH＝2 000 m，
∴AH＋AH＝2 000 m，
∴AH＝1 000(－1)m.
∵1 000(－1)＞600，
∴此公路不会穿过该森林公园．
【创新运用】
12．阅读材料，解答下列问题：
sin (α＋β)＝sin α·cos β＋cos α·sin β，
cos (α＋β)＝cos α·cos β－sin α·sin β.
例：sin 75°＝sin(30°＋45°)＝sin 30°·cos 45°＋cos 30°·sin 45°＝.
(1)试仿照例题，求出cos 75°的准确值；
(2)我们知道tan α＝，试求出 tan 75° 的准确值；
(3)根据材料及所学知识，请你巧妙地构造一个合适的直角三角形，求出tan 75° 的准确值(要求分母有理化)，并和(2)中的结果进行比较．
解：(1)∵cos (α＋β)＝cos α·cos β－sin α·sin β，
∴cos 75°＝cos(30°＋45°)＝cos 30°·cos 45°－sin 30°·sin 45°＝＝.
(2)∵tan α＝，
∴tan 75°＝＝＝2＋.
(3)如图，tan 75°＝tan∠CBD＝＝＝＋2.
与(2)中的结果相同．
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