07 课时分层训练(六) 解直角三角形（教师版）初中数学鲁教版（五四制）九年级上册
文档属性
| 名称 | 07 课时分层训练(六) 解直角三角形（教师版）初中数学鲁教版（五四制）九年级上册 |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 292.6KB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 鲁教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2025-09-16 15:30:13 | ||
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文档简介
课时分层训练(六) 解直角三角形
知识点一 已知两边解直角三角形
1．在Rt△ABC中，a，b，c分别为∠A，∠B，∠C的对边．若∠C＝90°，a＝3，b＝3，则∠A＝ 30° ，∠B＝ 60° ，c＝ 6 ．
2．在Rt△ABC中，a，b，c分别为∠A，∠B，∠C的对边．已知∠C＝90°，a＝19，c＝19，解这个直角三角形．
解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，a＝19，c＝19，
∴b＝＝19.
∵tan A＝＝1，
∴∠A＝45°，
∴∠B＝90°－∠A＝45°，
∴b＝19，∠A＝∠B＝45°.
知识点二 已知一边一锐角解直角三角形
3．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，sin A＝，AB＝10，则△ABC的面积为( A )
A．24 B．30
C．40 D．48
解析：∵∠C＝90°，sin A＝，AB＝10，
∴BC＝AB sin A＝10×＝6，
∴AC＝＝＝8，
∴△ABC的面积为＝＝24.
4．在Rt△ABC中，∠C＝90°，a，b，c分别为∠A，∠B，∠C的对边，根据下面的条件解直角三角形．
(1)b＝10，∠B＝60°；
(2)a＋b＝3＋，∠A＝30°.
解：(1)∵∠C＝90°，∠B＝60°，
∴∠A＝30°，
∴c＝2a.
∵b＝10，
∴(2a)2＝a2＋102，
解得a1＝，a2＝－(舍去)，
∴c＝.
由上可得∠A＝30°，a＝，c＝.
(2)∵a＋b＝3＋，∠A＝30°，∠C＝90°，
∴c＝2a，b＝3＋－a，∠B＝60°，
∴(2a)2＝a2＋(3＋－a)2，
解得a1＝，a2＝－3－2(舍去)，
∴b＝3，c＝2.
由上可得a＝，b＝3，c＝2，∠B＝60°.
知识点三 解简单的斜三角形
5．在正方形网格中，∠AOB如图放置，则sin ∠AOB的值为( B )
A． B．
C．1 D．
解析：如图，连接AD，CD.
设正方形的网格边长是1，则根据勾股定理可得OD＝AD＝，OC＝AC＝.
在△ODA中，由等腰三角形三线合一，得∠OCD＝90°，则CD＝＝，
∴sin ∠AOB＝＝＝.
6．如图，在△ABC中，AB＝AC＝10，sin B＝.求：
(1)边BC的长度；
(2)cos A的值．
解：(1)如图，过点A作AD⊥BC于点D.
∵AB＝AC＝10，∴BC＝2BD.
在Rt△ABD中，sin ∠ABD＝，
∴AD＝AB·sin ∠ABD＝10×＝8，
∴BD＝＝＝6，
∴BC＝2BD＝12.
(2)如图，过点B作BH⊥AC于点H.
∵S△ABC＝AC·BH＝BC·AD，
∴BH＝＝＝，
∴AH＝＝＝，
∴cos ∠BAH＝＝＝，
即cos A的值为.
知识点四 构造直角三角形求面积
7．如图，四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，∠AOD＝60°，AC＝BD＝2，则这个四边形的面积是( C )
A． B．
C． D．2
8．如图，在△ABC中，∠B＝45°，∠C＝75°，夹边BC的长为6.求△ABC的面积．
解：如图，过点C作CD⊥AB于点D.
∵∠B＝45°，CD⊥AB，∴∠BCD＝45°.
∵BC＝6，
∴CD＝BD＝3.
在Rt△ACD中，∠ACD＝75°－45°＝30°，
∴tan 30°＝，
∴AD＝3＝，
∴S＝×(3)×3＝9＋3，
∴△ABC的面积是9＋3.
9.如图，在△ABC中，sin B＝，tan C＝2，AB＝3，则AC的长为( B )
A． B．
C． D．2
10．四边形具有不稳定性，对于四条边长确定的四边形，当内角度数发生变化时，其形状也会随之改变．如图，改变边长为2的正方形ABCD的内角，变为菱形ABC′D′.若∠D′AB＝45°，则阴影部分的面积是( D )
A． B．5－5－
C． D．5－2
解析：设BC与C′D′交于点E，则BE⊥C′D′，
∴C′E＝BC′ cos C′.
∵四边形ABC′D′为菱形，
∴∠C′＝∠D′AB＝45°，
∴C′E＝BC′ cos C′＝2×＝.
同理BE＝BC′ sin C′＝，
∴D′E＝2－，
∴梯形D′EBA的面积S′＝(D′E＋AB)·BE＝2－1，
∴阴影部分的面积S＝S正方形ABCD－S′＝2×2－(2－1)＝5－2.
11．我们给出定义：如果两个锐角的和为45°，那么称这两个角互为半余角．如图，在△ABC中，∠A，∠B互为半余角，且＝，则tan A＝ ．
解析：如图，过点B作BD⊥AC，交AC的延长线于点D.
∵＝，
∴设BC＝2a，AC＝3a.
∵∠A，∠B互为半余角，
∴∠A＋∠B＝45°，
∴∠DCB＝∠A＋∠B＝45°.
在Rt△CDB中，BD＝BC·sin 45°＝2a ＝2a，CD＝BC·cos 45°＝2a ＝2a.
∵AC＝3a，∴AD＝AC＋CD＝3a＋2a＝5a.
在Rt△ABD中，tan A＝＝＝.
12．如图，在△ABC中，CD⊥AB于点D，tan A＝2cos ∠BCD.
(1)求证：BC＝2AD；
(2)若cos B＝，AB＝10，求△ABC的面积．
(1)证明：∵CD⊥AB，
∴∠CDA＝∠CDB＝90°.
在Rt△ACD中，tan A＝.
在Rt△CDB中，cos ∠BCD＝.
∵tan A＝2cos ∠BCD，
∴＝，
∴BC＝2AD.
(2)解：在Rt△CDB中，cos B＝＝.
∵BC＝2AD，∴＝.
∵AB＝10，
∴BD＝AB＝6，
∴BC＝＝＝8，
∴CD＝＝＝2，
∴△ABC的面积为AB·CD＝×10×2＝10，
∴△ABC的面积为10.
【创新运用】
13．[引入]在直角三角形中，已知任意两边长就能求出第三边，也可以已知一边和一个锐角，利用直角三角形中已知锐角的大小得出三边的比例关系，求出剩余两边的大小，这类内容称为解直角三角形．
(1)如图，在图1中，三边a∶b∶c＝ 1∶∶2 ，在图2中，三边a∶b∶c＝ 1∶1∶ ．
[探究]
(2)如图3，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝120°，求△ABC的三条边长之比．
[应用]
(3)如图4，在四边形ABCD中，∠B＝∠D＝90°，∠C＝120°，CD＝2，BC＝3，求四边形ABCD的面积．
图1 图2
图3 图4
解：(2)如图1，过点A作AD⊥BC于点D.
图1
∵AB＝AC，∠BAC＝120°，
∴∠B＝∠C＝30°，
∴BD＝AB，
∴BC＝AB，
∴△ABC的三条边长之比1∶1∶.
(3)如图2，延长AD，BC交于点E.
图2
∵∠B＝∠ADC＝90°，
∠BCD＝120°，
∴∠A＝60°，
∴∠E＝30°，
∴EC＝2CD＝4，
∴DE＝2，BE＝BC＋CE＝7，
∴AB＝BE＝，
∴四边形ABCD的面积为
S△EAB－S△EDC＝×7－×2×2＝.
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知识点一 已知两边解直角三角形
1．在Rt△ABC中，a，b，c分别为∠A，∠B，∠C的对边．若∠C＝90°，a＝3，b＝3，则∠A＝ 30° ，∠B＝ 60° ，c＝ 6 ．
2．在Rt△ABC中，a，b，c分别为∠A，∠B，∠C的对边．已知∠C＝90°，a＝19，c＝19，解这个直角三角形．
解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，a＝19，c＝19，
∴b＝＝19.
∵tan A＝＝1，
∴∠A＝45°，
∴∠B＝90°－∠A＝45°，
∴b＝19，∠A＝∠B＝45°.
知识点二 已知一边一锐角解直角三角形
3．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，sin A＝，AB＝10，则△ABC的面积为( A )
A．24 B．30
C．40 D．48
解析：∵∠C＝90°，sin A＝，AB＝10，
∴BC＝AB sin A＝10×＝6，
∴AC＝＝＝8，
∴△ABC的面积为＝＝24.
4．在Rt△ABC中，∠C＝90°，a，b，c分别为∠A，∠B，∠C的对边，根据下面的条件解直角三角形．
(1)b＝10，∠B＝60°；
(2)a＋b＝3＋，∠A＝30°.
解：(1)∵∠C＝90°，∠B＝60°，
∴∠A＝30°，
∴c＝2a.
∵b＝10，
∴(2a)2＝a2＋102，
解得a1＝，a2＝－(舍去)，
∴c＝.
由上可得∠A＝30°，a＝，c＝.
(2)∵a＋b＝3＋，∠A＝30°，∠C＝90°，
∴c＝2a，b＝3＋－a，∠B＝60°，
∴(2a)2＝a2＋(3＋－a)2，
解得a1＝，a2＝－3－2(舍去)，
∴b＝3，c＝2.
由上可得a＝，b＝3，c＝2，∠B＝60°.
知识点三 解简单的斜三角形
5．在正方形网格中，∠AOB如图放置，则sin ∠AOB的值为( B )
A． B．
C．1 D．
解析：如图，连接AD，CD.
设正方形的网格边长是1，则根据勾股定理可得OD＝AD＝，OC＝AC＝.
在△ODA中，由等腰三角形三线合一，得∠OCD＝90°，则CD＝＝，
∴sin ∠AOB＝＝＝.
6．如图，在△ABC中，AB＝AC＝10，sin B＝.求：
(1)边BC的长度；
(2)cos A的值．
解：(1)如图，过点A作AD⊥BC于点D.
∵AB＝AC＝10，∴BC＝2BD.
在Rt△ABD中，sin ∠ABD＝，
∴AD＝AB·sin ∠ABD＝10×＝8，
∴BD＝＝＝6，
∴BC＝2BD＝12.
(2)如图，过点B作BH⊥AC于点H.
∵S△ABC＝AC·BH＝BC·AD，
∴BH＝＝＝，
∴AH＝＝＝，
∴cos ∠BAH＝＝＝，
即cos A的值为.
知识点四 构造直角三角形求面积
7．如图，四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，∠AOD＝60°，AC＝BD＝2，则这个四边形的面积是( C )
A． B．
C． D．2
8．如图，在△ABC中，∠B＝45°，∠C＝75°，夹边BC的长为6.求△ABC的面积．
解：如图，过点C作CD⊥AB于点D.
∵∠B＝45°，CD⊥AB，∴∠BCD＝45°.
∵BC＝6，
∴CD＝BD＝3.
在Rt△ACD中，∠ACD＝75°－45°＝30°，
∴tan 30°＝，
∴AD＝3＝，
∴S＝×(3)×3＝9＋3，
∴△ABC的面积是9＋3.
9.如图，在△ABC中，sin B＝，tan C＝2，AB＝3，则AC的长为( B )
A． B．
C． D．2
10．四边形具有不稳定性，对于四条边长确定的四边形，当内角度数发生变化时，其形状也会随之改变．如图，改变边长为2的正方形ABCD的内角，变为菱形ABC′D′.若∠D′AB＝45°，则阴影部分的面积是( D )
A． B．5－5－
C． D．5－2
解析：设BC与C′D′交于点E，则BE⊥C′D′，
∴C′E＝BC′ cos C′.
∵四边形ABC′D′为菱形，
∴∠C′＝∠D′AB＝45°，
∴C′E＝BC′ cos C′＝2×＝.
同理BE＝BC′ sin C′＝，
∴D′E＝2－，
∴梯形D′EBA的面积S′＝(D′E＋AB)·BE＝2－1，
∴阴影部分的面积S＝S正方形ABCD－S′＝2×2－(2－1)＝5－2.
11．我们给出定义：如果两个锐角的和为45°，那么称这两个角互为半余角．如图，在△ABC中，∠A，∠B互为半余角，且＝，则tan A＝ ．
解析：如图，过点B作BD⊥AC，交AC的延长线于点D.
∵＝，
∴设BC＝2a，AC＝3a.
∵∠A，∠B互为半余角，
∴∠A＋∠B＝45°，
∴∠DCB＝∠A＋∠B＝45°.
在Rt△CDB中，BD＝BC·sin 45°＝2a ＝2a，CD＝BC·cos 45°＝2a ＝2a.
∵AC＝3a，∴AD＝AC＋CD＝3a＋2a＝5a.
在Rt△ABD中，tan A＝＝＝.
12．如图，在△ABC中，CD⊥AB于点D，tan A＝2cos ∠BCD.
(1)求证：BC＝2AD；
(2)若cos B＝，AB＝10，求△ABC的面积．
(1)证明：∵CD⊥AB，
∴∠CDA＝∠CDB＝90°.
在Rt△ACD中，tan A＝.
在Rt△CDB中，cos ∠BCD＝.
∵tan A＝2cos ∠BCD，
∴＝，
∴BC＝2AD.
(2)解：在Rt△CDB中，cos B＝＝.
∵BC＝2AD，∴＝.
∵AB＝10，
∴BD＝AB＝6，
∴BC＝＝＝8，
∴CD＝＝＝2，
∴△ABC的面积为AB·CD＝×10×2＝10，
∴△ABC的面积为10.
【创新运用】
13．[引入]在直角三角形中，已知任意两边长就能求出第三边，也可以已知一边和一个锐角，利用直角三角形中已知锐角的大小得出三边的比例关系，求出剩余两边的大小，这类内容称为解直角三角形．
(1)如图，在图1中，三边a∶b∶c＝ 1∶∶2 ，在图2中，三边a∶b∶c＝ 1∶1∶ ．
[探究]
(2)如图3，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝120°，求△ABC的三条边长之比．
[应用]
(3)如图4，在四边形ABCD中，∠B＝∠D＝90°，∠C＝120°，CD＝2，BC＝3，求四边形ABCD的面积．
图1 图2
图3 图4
解：(2)如图1，过点A作AD⊥BC于点D.
图1
∵AB＝AC，∠BAC＝120°，
∴∠B＝∠C＝30°，
∴BD＝AB，
∴BC＝AB，
∴△ABC的三条边长之比1∶1∶.
(3)如图2，延长AD，BC交于点E.
图2
∵∠B＝∠ADC＝90°，
∠BCD＝120°，
∴∠A＝60°，
∴∠E＝30°，
∴EC＝2CD＝4，
∴DE＝2，BE＝BC＋CE＝7，
∴AB＝BE＝，
∴四边形ABCD的面积为
S△EAB－S△EDC＝×7－×2×2＝.
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