08　课时分层训练(七)　三角函数的应用（教师版）初中数学鲁教版（五四制）九年级上册

课时分层训练(七)　三角函数的应用
知识点一　仰角、俯角
1．从一艘船上测得海岸上高为42 m的灯塔顶部的仰角为30°时，船离灯塔的水平距离是(　A　)
A．42 m B．14 m
C．21 m D．42 m
2．如图，热气球的探测器显示，从热气球A看一栋高楼顶部B的仰角为30°，看这栋高楼底部C的俯角为60°，热气球A与高楼的水平距离为120 m，这栋高楼BC的高度为(　D　)
A．40 m B．80 m
C．120 m D．160 m
知识点二　方向角
3．如图，小明在一条东西走向公路的O处测得图书馆A在他的北偏东60°方向，且与他相距200 m，则图书馆A到公路的距离AB为(　A　)
A．100 m B．100 m
C．100 m D． m
4．如图，一艘船由A港沿北偏东65°方向航行30 km至B港，然后沿北偏西40°方向航行至C港，C港在A港北偏东20°方向，则A，C两港之间的距离为(　B　)
A．(30＋30)km
B．(30＋10)km
C．(10＋30)km
D．30 km
解析：根据题意，得∠CAB＝65°－20°＝45°，∠ACB＝40°＋20°＝60°，AB＝30 km.
如图，过点B作BE⊥AC于点E.
∴∠AEB＝∠CEB＝90°.
在Rt△ABE中，∠ABE＝45°，
AB＝30 km，
∴AE＝BE＝AB＝30 km.
在Rt△CBE中，∠ACB＝60°，
∴CE＝BE＝10 km，
∴AC＝AE＋CE＝(30＋10)km，
∴A，C两港之间的距离为(30＋10)km.
知识点三　解直角三角形的应用
5．如图，AB是伸缩式的遮阳棚，CD是窗户，要想在夏至的正午时刻阳光刚好不能射入窗户，则AB的长度是　　m.(假设夏至的正午时刻阳光与地平面的夹角为60°)
6．如图是矗立在高速公路边水平地面上的交通警示牌，经过测量得到如下数据：AM＝4 m，AB＝8 m，∠MAD＝45°，∠MBC＝30°，则CD的长为　(4－4)　m.(结果保留根号)
知识点四　坡度(坡比)
7．小明去爬山，在山脚测得山顶的仰角为30°，他在坡比为5∶12的山坡上走了1 300 m，此时测得山顶的仰角为60°，则山的高度为(　B　)
A．(600－250)m
B．(600－250)m
C．(350＋350)m
D．500 m
8．如图，在外力的作用下，一个滑块沿坡比i＝1∶3的斜坡向上移动了10 m．此时滑块上升的高度是(　A　)
A． m B． m
C．3 m D．10 m
9．如图是某桥简图．已知主塔AB垂直桥面BC于点B，其中两条斜拉索AD，AC与桥面BC的夹角分别为60°和45°，两固定点D，C之间的距离约为33 m，求主塔AB的高度．(结果保留整数，参考数据：≈1.41，≈1.73)
解：在Rt△ADB中，∠ADB＝60°，
tan∠ADB＝，
∴BD＝＝.
在Rt△ABC中，∠C＝45°，tan C＝，
∴BC＝＝AB.
∵BC－BD＝CD＝33 m，
∴AB－＝33，
∴AB＝≈78(m)，
∴主塔AB的高约为78 m．
10．如图是某水库大坝的横截面，坝高CD＝20 m，背水坡BC的坡比i1＝1∶1.为了对水库大坝进行升级加固，降低背水坡的倾斜程度，设计人员准备把背水坡的坡比改为i2＝1∶，求背水坡新起点A与原起点B之间的距离．(结果精确到0.1 m，参考数据：≈1.41，≈1.73)
解：在Rt△BCD中，
∵BC的坡比i1＝1∶1，
∴＝1，
∴BD＝CD＝20 m.
在Rt△ACD中，
∵AC的坡比i2＝1∶，
∴＝，
∴AD＝CD＝20 m，
∴AB＝AD－BD＝20－20≈14.6(m)，
∴背水坡新起点A与原起点B之间的距离约为14.6 m．
11．小明学了解直角三角形的内容后，对一条东西走向的隧道AB进行实地测量．如图所示，他在地面上点C处测得隧道一端点A在他的北偏东15°方向上，他沿西北方向前进100 m后到达点D，此时测得点A在他的东北方向上，点B在他的北偏西60°方向上(点A，B，C，D在同一平面内)．求：
(1)点D与点A之间的距离；
(2)隧道AB的长度．(结果保留根号)
解：(1)由题意可知∠ACD＝15°＋45°＝60°，∠ADC＝180°－45°－45°＝90°.
在Rt△ADC中，
AD＝DC·tan ∠ACD＝100×tan 60°＝100＝300(m)，
∴点D与点A之间的距离为300 m.
(2)如图，过点D作DE⊥AB于点E.
∵AB是东西走向，
∴∠ADE＝45°，∠BDE＝60°.
在Rt△ADE中，
DE＝AE＝AD·sin ∠ADE＝300×sin 45°＝300×＝150(m)．
在Rt△BDE中，
BE＝DE·tan ∠BDE＝150×tan 60°＝150＝150(m)，
∴AB＝AE＋BE＝(150＋150)m，
∴隧道AB的长为(150＋150)m.
12．为了测量高速公路某桥的桥墩高度，某数学兴趣小组在同一水平地面C，D两处实地测量．如图所示，在C处测得桥墩顶部A处的仰角为60°、桥墩底部B处的俯角为40°，在D处测得桥墩顶部A处的仰角为30°，测得C，D两点之间的距离为80 m，直线AB，CD在同一平面内，请你用以上数据，计算桥墩AB的高度．(结果保留整数，参考数据：sin 40°≈0.64，cos 40°≈0.77，tan 40°≈0.84，≈1.73)
解：如图，延长DC交AB于点E，则DE⊥AB.
设CE＝x m，
在Rt△AEC中，∠ACE＝60°，
∴AE＝EC·tan 60°＝x m.
在Rt△BEC中，∠BCE＝40°，
∴BE＝EC·tan 40°≈0.84x m.
在Rt△AED中，∠D＝30°，
∴DE＝＝＝3x(m)．
∵CD＝80 m，DE－CE＝CD，
∴3x－x＝80，
∴x＝40，
∴AB＝AE＋BE≈40×(1.73＋0.84)＝102.8≈103(m)，
∴桥墩AB的高度约为103 m．
【创新运用】
13．某市政府为实现5G网络全覆盖，拟加快建设5G基站．如图，在斜坡CB上有一建成的基站塔AB，斜坡CB的坡比为1∶2.4.小芳在坡脚C处测得塔顶A的仰角为45°，然后她沿坡面CB行走了13 m到达D处，在D处测得塔顶A的仰角为53°.(点A，B，C，D均在同一平面内，AB与地平线垂直．参考数据：sin 53°≈，cos 53°≈，tan 53°≈)
(1)求D处的竖直高度；
(2)求基站塔AB的高．
解：(1)如图，过点C，D分别作AB的垂线，交AB的延长线于点E，F，过点D作DM⊥CE，垂足为点M.
∵斜坡CB的坡比为1∶2.4，
∴＝，即＝.
设DM＝5k m，则CM＝12k m.
在Rt△CDM中，CD＝13 m，
由勾股定理，得DM2＋CM2＝CD2，
即(5k)2＋(12k)2＝132，
解得k＝1(负值舍去)，
∴DM＝5 m，CM＝12 m，
∴D处的竖直高度为5 m.
(2)设DF＝12a m，则ME＝12a m，BF＝5a m.
∵∠ACE＝45°，∴∠CAE＝∠ACE＝45°，
∴AE＝CE＝(12＋12a)m，
∴AF＝AE－EF＝AE－DM＝12＋12a－5＝(7＋12a)m.
在Rt△ADF中，DF＝12a m，AF＝(7＋12a)m，∠ADF＝53°，
∴tan ∠ADF＝＝＝，
解得a＝，
∴AF＝7＋12a＝7＋12×＝28(m)，BF＝5a＝5×＝(m)，
∴AB＝AF－BF＝28－＝(m)，
∴基站塔AB的高为 m．
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