09　课时分层训练(八)　利用三角函数测高（教师版）初中数学鲁教版（五四制）九年级上册

课时分层训练(八)　利用三角函数测高
知识点一　测量倾斜角
1．如图，在综合实践活动中，小明在学校门口的点C处测得树的顶端A的仰角为37°，同时测得BC＝20 m，则树的高AB为(　A　)
A．20tan 37° m B． m
C． m D．20sin 37° m
2．如图，图1、图2分别表示用测倾器测量观测目标P的仰角和俯角，铅垂线所指的度数分别为α，β，那么我们就说观察目标P的仰角为α，俯角为β，这种说法对吗？请说明原因．
图1　　　　　　　　图2
解：对．原因如下：
如题图1，∵BA为水平线，AC为铅垂线，
∴∠BAC＝90°，
∴∠BAD＋α＝90°.
∵∠PAB＋∠BAD＝90°，
∴∠PAB＝α.
如题图2，∵AP⊥AD，
∴β＋∠CAP＝90°.
∵∠PAB＋∠CAP＝90°，
∴∠PAB＝β.
综上可得，α，β就是观察目标P时的仰角和俯角，题干说法正确．
知识点二　测量底部可以到达的物体的高度
3．如图，数学活动小组利用测角仪和皮尺测量学校旗杆的高度，在点D处测得旗杆顶端A的仰角∠ADE为55°，测角仪CD的高度为1 m，其底端C与旗杆底端B之间的距离为6 m，设旗杆AB的高度为x m，则下列表达式正确的是(　B　)
A．tan 55°＝
B．tan 55°＝
C．sin 55°＝
D．cos 55°＝
4．如图，在距离铁塔200 m的A处，用测倾仪测得塔顶的仰角为α，测倾仪AD的高为 1.5 m，则铁塔BC的高为(　C　)
A．(1.5＋200sin α)m
B．(1.5＋200cos α)m
C．(1.5＋200tan α)m
D．m
5．如图，小王在高台上的点A处测得塔底点C的俯角为α，塔顶点D的仰角为β，已知该高台与塔的水平距离AB＝a，则此时塔高CD的长为(　B　)
A．asin α＋asin β　 B．atan α＋atan β
C．　 D．
知识点三　测量底部不可以到达的物体的高度
6．如图，已知点B，D，C在同一条直线上，在点C处测得建筑物AB的顶端A的仰角为α，在点D处测得建筑物AB的顶端A的仰角为β，CD＝a，则建筑物AB的高度为(　D　)
A． B．
C． D．
解析：设AB＝x.
由题意，得∠ACB＝α，∠ADB＝β，
∴BD＝，BC＝.
∵CD＝BC－BD，
∴＝a，
∴x＝，即AB＝.
7．如图，学校环保小组成员想测量斜坡CD旁一棵树AB的高度，他们
先在点C处测得树顶B的仰角为60°，然后在坡顶D处测得树顶B的仰角为30°，已知斜坡CD的长度为20 m，DE的长为10 m，则树AB的高度是(　B　)
A．20 m B．30 m
C．30 m D．40 m
解析：在Rt△CDE中，
∵CD＝20 m，DE＝10 m，
∴sin ∠DCE＝＝，
∴∠DCE＝30°.
∵∠ACB＝60°，
∴∠ABC＝30°，∠BCD＝90°.
∵DF∥AE，
∴∠CDF＝30°.
∴∠BDC＝60°，
∴BC＝CD·tan 60°＝20 m，
∴AB＝BC·sin 60°＝20＝30(m)．
8．某数学兴趣小组去测量一座小山的高度，在小山顶上有一高度为20 m的发射塔AB，如图所示．在山脚平地上的D处测得塔底B的仰角为30°，向小山前进80 m到达点E处，测得塔顶A的仰角为60°，求小山BC的高度．
解：设BC为x m，则AC＝(20＋x)m，
由条件知∠DBC＝∠AEC＝60°，DE＝80 m.
在Rt△DBC中，tan 60°＝＝，
则DC＝x m，
∴CE＝(x－80)m.
在Rt△ACE中，tan 60°＝＝＝，
解得x＝10＋40，
∴小山BC的高度为(10＋40)m.
9．如图是一种太阳能路灯的简图，它由灯杆和灯管支架两部分构成，AB是灯杆，CD是灯管支架，灯管支架CD与灯杆间的夹角∠BDC＝60°.综合实践小组的同学想知道灯管支架CD的长度，他们在地面的点E处测得灯管支架底部D的仰角为60°，在点F处测得灯管支架顶部C的仰角为30°，测得AE＝3 m，EF＝9 m(点A，E，F在同一条直线上)．求灯管支架CD的长度．
解：如图，延长FC交AB于点G.
在Rt△ADE中，tan ∠AED＝＝tan 60°＝，
∴AD＝AE＝3 m.
∵AE＝3 m，EF＝9 m，
∴AF＝AE＋EF＝12 m.
在Rt△AFG中，tan F＝＝tan 30°＝，
∴AG＝4 m.
∵∠A＝90°，∠F＝30°，
∴∠AGF＝60°，
∴∠BDC＝∠AGF＝60°，
∴△DGC是等边三角形，
∴CD＝DG＝AG－AD＝4－3
＝(m)，
即灯管支架CD的长度为 m．
10．如图，在数学综合实践活动课上，两名同学要测量小河对岸大树BC的高度，甲同学在点A处测得大树顶端B的仰角为45°，乙同学从点A出发沿斜坡走6 m到达斜坡上点D处，在此处测得树顶端点B的仰角为26.7°，且斜坡AF的坡比为1∶2.
(1)求乙同学从点A到点D的过程中上升的高度；
(2)依据他们测量的数据求出大树BC的高度．(参考数据：sin 26.7°≈0.45，cos 26.7°≈0.89，tan 26.7°≈0.50)
解：(1)如图，过点D作DH⊥AE于点H.
在Rt△ADH中，＝，
∴AH＝2DH.
∵AH2＋DH2＝AD2，
∴(2DH)2＋DH2＝(6)2，
∴DH＝6 m，
∴乙同学从点A到点D的过程中上升的高度为6 m.
(2)如图，过点D作DG⊥BC于点G，设BC＝x m．
在Rt△ABC中，∠BAC＝45°，
∴AC＝BC＝x m.
由(1)，得AH＝2DH＝12m.
在矩形DGCH中，CG＝DH＝6 m，DG＝CH＝AC＋AH＝(x＋12)m.
在Rt△BDG中，BG＝BC－CG＝BC－DH＝(x－6)m.
∵tan ∠BDG＝，
∴≈0.50，
解得x≈24，
∴大树BC的高度约为24 m．
【创新运用】
11．小宇与小航准备测量某塔的高度，如图，小宇在点A处观测到该塔最高点P的仰角为45°，再沿正对该塔的方向前进10 m，在B处测得最高点P的仰角为60°.小航先在点C处竖立长为2.6 m 的标杆FC，再后退至其眼睛点D、标杆顶端F、最高点P在同一条直线上的位置处，此时测得最高点P的仰角为30°，已知两人身高均为 1.6 m.(头顶到眼睛的距离忽略不计)
(1)求该塔PQ的高度．(结果保留一位小数)
(2)测量结束时小宇站在点E处(点E在点B的正下方)，小航站在点C处，两人相约在塔底见面，小宇的速度为1.5 m/s，小航速度是其2倍，谁先到达塔底？请说明理由．(参考数据：≈1.732)
解：(1)如图，设PQ与AD相交于点G.
由题意，得AB＝10 m，BE＝GQ＝1.6 m.
设BG＝x m，∴AG＝AB＋BG＝(x＋10)m.
在Rt△BPG中，∠PBG＝60°，
∴PG＝BG·tan 60°＝x m．
在Rt△APG中，∠PAG＝45°，
∴tan 45°＝＝1，
∴PG＝AG，
∴x＝x＋10，
∴x＝5＋5，
∴PG＝x＝(15＋5)m，
∴PQ＝PG＋GQ＝15＋5＋1.6≈25.3(m)，
∴该塔PQ的高度约为25.3 m.
(2)小宇先到达塔底．理由如下：
设FC与AD相交于点H.
由题意，得CH＝BE＝1.6 m.
∵FC＝2.6 m，
∴FH＝FC－CH＝1 m.
在Rt△PGD中，PG＝(15＋5)m，∠PDG＝30°，
∴DG＝PG＝(15＋15)m.
在Rt△DFH中，DH＝FH＝ m，
∴GH＝DG－DH＝(14＋15)m.
∵小宇的速度为1.5 m/s，小航速度是其2倍，
∴小航的速度为3 m/s，
∴＝≈9.1(s)，
＝≈13.1(s)．
∵9.1＜13.1，
∴小宇先到达塔底．
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