10　第二章成果展示　直角三角形的边角关系（教师版）初中数学鲁教版（五四制）九年级上册

第二章成果展示　直角三角形的边角关系
(时间：120分钟　满分：120分)
第Ⅰ卷(选择题　共40分)
一、选择题(本大题共10个小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求)
1．在Rt△ABC中，若各边长度都扩大为原来的2倍，则锐角∠A的余弦值的变化情况是(　C　)
A．缩小为原来的
B．扩大为原来的2倍
C．没有变化
D．不能确定
解析：设在Rt△ABC中∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c，且∠C＝90°，则cos A＝，若把各边扩大为原来的2倍，则各边为2a，2b，2c，且由三角形相似，可知△ABC仍是直角三角形，那么cos A＝＝，所以∠A的余弦值不变．
2．如图，梯子跟地面的夹角为α，关于α的三角函数值与梯子的倾斜程度之间的关系，下列叙述正确的是(　B　)
A．sin α的值越小，梯子越陡
B．cos α的值越小，梯子越陡
C．tan α的值越小，梯子越陡
D．陡缓程度与α的函数值无关
第2题图　　　　　　　第3题图
3．如图，在△ABC中，∠C＝90°，cos A＝，AB＝10，则AC的长是(　B　)
A．3 B．6
C．9 D．12
4．若0°＜α＜90°，则下列说法不正确的是(　B　)
A．sin α随α的增大而增大
B．cos α随α的减小而减小
C．tan α随α的增大而增大
D．sin α＝cos (90°－α)
5．利用我们数学课本上的计算器计算sin 52°，正确的按键顺序是(　D　)
A．
B．
C．
D．
6．爬坡时坡面与水平面的夹角为α，则每爬1 m耗能(1.025－cos α)J.若某人爬了1 000 m，该坡角为30°(如图)，则他耗能(参考数据：≈1.732)(　B　)
A．58 J B．159 J
C．1 025 J D．1 732 J
解析：由题意，得耗能为1 000×(1.025－cos 30°)＝1 000×(1.025－)≈159(J)．
7．如图，在6×7的网格中，每个小正方形的边长均为1.若点A，B，C都在格点上，则sin B的值为(　A　)
A． B．
C． D．
解析：如图，连接格点A，D.
∵AB2＝52＋12＝26，AD2＝22＋22＝8，BD2＝32＋32＝18，
∴AB2＝AD2＋BD2，∴△ABD是直角三角形，∠ADB＝90°.
∵AD＝2，AB＝，
∴sin B＝＝＝.
8．在Rt△ABC中，∠C＝90°，cos B＝，a，b，c分别为∠A，∠B，∠C的对边，则Rt△ABC的三边a，b，c的比为(　A　)
A．2∶∶3 B．1∶∶
C．1∶2∶3 D．2∶∶
9．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，点D在AC上，∠DBC＝∠A．若AC＝4，cos A＝，则BD的长度为(　C　)
A． B．
C． D．4
10．小明想测量一棵树的高度，他发现树的影子恰好落在地面和一斜坡上，如图．此时测得地面上的影长为 8 m，坡面上的影长为4 m，已知斜坡的坡角为30°.同一时刻，一根长为1 m且垂直于地面放置的标杆在地面上的影长为2 m，则树的高度为(　A　)
A．(6＋)m B．12 m
C．(4－2)m D．10 m
第Ⅱ卷(非选择题　共80分)
二、填空题(本大题共6个小题，每小题4分，共24分)
11．锐角A满足3tan A＝，则∠A＝　30°　．(填度数)
12．如图，某水库堤坝横断面迎水坡的坡角为α，sin α＝，堤坝高BC＝30 m，则迎水坡面AB的长度为　50　m.
13．如图，以点O为圆心、任意长为半径画弧，与射线OA交于点B，再以点B为圆心、BO的长为半径画弧，两弧交于点C，画射线OC，则sin ∠AOC的值为　　．
解析：如图，连接BC.
由题意可得OB＝OC＝BC，则△OBC是等边三角形，故sin ∠AOC＝sin 60°＝.
14．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝3.若cos A＝，则BC的长为　4　．
15．如图，在四边形ABCD中，∠A＝∠ABC＝90°，DB平分∠ADC.若AD＝1，CD＝3，则sin ∠ABD＝　　．
16．定义一种运算：
sin (α＋β)＝sin α·cos β＋cos α·sin β，
sin (α－β)＝sin α·cos β－cos α·sin β．
例如，当α＝45°，β＝30°时，sin(45°＋30°)＝＝，则sin 15°的值为　　．
三、解答题(本大题共6个小题，共56分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(6分)计算：
(1)2sin 30°－3cos 60°；
(2)sin245°＋cos230°－tan260°.
解：(1)原式＝2×－3×＝－.
(2)原式＝＋－()2＝－3＝－.
18．(8分)如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，sin A＝，求BC的长和∠B的正切值．
解：在Rt△ABC中，∵∠C＝90°，AB＝10，sin A＝，
∴BC＝AB·sin A＝8.
由勾股定理，得AC＝＝＝6，
∴tan B＝＝＝.
19．(10分)为了防洪需要，某地决定新建一座拦水坝．如图，拦水坝的横断面为梯形ABCD，斜面坡比i＝3∶4是指坡面的铅直高度AF与水平宽度BF的比．已知斜坡CD的长为20 m，∠C＝18°，求斜坡AB的长．(结果精确到0.1 m，参考数据：sin 18°≈0.31，cos 18°≈0.95，tan 18°≈0.32)
解：如图，过点D作DE⊥BC，垂足为点E.
由题意，得AF⊥BC，DE＝AF.
∵斜面AB的坡比i＝3∶4，
∴＝.
设AF＝3x m，则BF＝4x m.
在Rt△ABF中，AB＝＝＝5x(m)．
在Rt△DEC中，∠C＝18°，CD＝20 m，
∴DE＝CD·sin 18°≈20×0.31＝6.2(m)，
∴AF＝DE＝6.2 m，
∴3x＝6.2，解得x＝，
∴AB＝5x＝≈10.3(m)，
∴斜坡AB的长约为10.3 m．
20．(10分)如图，在四边形ABCD中，AB＝2，∠A＝∠C＝60°，DB⊥AB于点B，∠DBC＝45°，求BC的长．
解：如图，过点D作DE⊥BC于点E.
∵DB⊥AB，AB＝2，
∠A＝60°，
∴BD＝AB·tan 60°＝2.
∵∠DBC＝45°，DE⊥BC，
∴BE＝DE＝BD·sin 45°＝.
∵∠C＝∠A＝60°，∠DEC＝90°，
∴CE＝＝，
∴BC＝CE＋BE＝.
21．(10分)如图，根据图中数据完成填空，再按要求答题：
(1)sin2A1＋sin2B1＝　1　；＝　1　；sin2A3＋sin2B3＝　1　．
观察上述等式，猜想：在Rt△ABC中，∠C＝90°，都有sin2A＋sin2B＝　1　．
(2)如图4，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A，∠B，∠C的对边分别是a，b，c，利用三角函数的定义和勾股定理，证明你的猜想．
(3)已知∠A＋∠B＝90°，且sin A＝，求sin B的值．
解：(1)由题图可知sin2A1＋sin2B1＝()2＋()2＝1，sin2A2＋sin2B2＝()2＋()2＝1，sin2A3＋sin2B3＝()2＋()2＝1，观察上述等式可猜想：sin2A＋sin2B＝1.
故答案为1；1；1；1.
(2)在Rt△ABC中，∠C＝90°.
∵sinA＝，sin B＝，
∴sin2A＋sin2B＝.
∵∠C＝90°，
∴a2＋b2＝c2，
∴sin2A＋sin2B＝1.
(3)∵sinA＝，sin2A＋sin2B＝1，
∴sinB＝＝.
22．(12分)如图是处于工作状态的某型号手臂机器人的示意图，OA是垂直于工作台的移动基座，AB，BC为机械臂，OA＝1 m，AB＝5 m，BC＝2 m，∠ABC＝143°.机械臂端点C到工作台的距离CD＝6 m．求：
(1)A，C两点之间的距离；
(2)OD的长．
(结果精确到0.1 m，参考数据：sin 37°≈0.60，cos 37°≈0.80，tan 37°≈0.75，≈2.24)
解：(1)如图，过点A作AE⊥CB，垂足为点E.
∵∠ABC＝143°，
∴∠ABE＝37°.
在Rt△ABE中，
∵AB＝5 m，∠ABE＝37°，
sin ∠ABE＝，cos ∠ABE＝，
∴≈0.60，≈0.80，
∴AE≈3 m，BE≈4 m，
∴CE＝BC＋BE≈6 m.
在Rt△ACE中，由勾股定理，得AC≈＝3≈6.7(m)．
∴A，C两点之间的距离约为6.7 m.
(2)如图，过点A作AF⊥CD，垂足为点F，
∴FD＝OA＝1 m，
∴CF＝CD－FD＝5 m.
在Rt△ACF中，由勾股定理，得AF＝＝2(m)．
∴OD＝AF＝2≈4.5(m)．
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