11 综合质量评价(一)（教师版）初中数学鲁教版（五四制）九年级上册
文档属性
| 名称 | 11 综合质量评价(一)（教师版）初中数学鲁教版（五四制）九年级上册 |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 298.6KB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 鲁教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2025-09-16 15:30:13 | ||
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文档简介
综合质量评价(一)
(时间：120分钟 满分：150分)
第Ⅰ卷(选择题 共48分)
一、选择题(本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求)
1．若反比例函数y＝的图象经过点(3，－5)，则它的图象一定还经过点( D )
A．(3，5) B．(－1，16)
C．(－3，－5) D．(－15，1)
解析：由题意，得k－1＝3×(－5)＝－15.∵－15×1＝－15，∴反比例函数y＝一定还经过点(－15，1)．
2．如图，双曲线y＝的一个分支为( D )
A．① B．②
C．③ D．④
3．已知矩形的面积是40 m2，设它的一条边长为x(m)，则矩形的另一条边长y(m)关于x(m)的函数表达式是( C )
A．y＝20－x B．y＝40x
C．y＝ D．y＝
4．已知实数a＝tan 30°，b＝sin 45°，c＝cos 60°，则下列说法正确的是( A )
A．b＞a＞c B．a＞b＞c
C．b＞c＞a D．a＞c＞b
解析：a＝tan 30°＝，b＝sin 45°＝，c＝cos 60°＝.∵＜＜，∴b＞a＞c.
5．已知反比例函数y＝－，下列说法中错误的是( D )
A．图象经过点(1，－4)
B．图象位于第二、四象限
C．图象关于直线y＝x对称
D．y随x的增大而增大
解析：∵在反比例函数y＝－中，k＝－4＜0，∴图象在第二、四象限内，故B选项正确，不符合题意．∵－4×1＝－4，∴图象必经过点(1，－4)，故A选项正确，不符合题意．图象关于直线y＝x对称，故C选项正确，不符合题意．∵在反比例函数y＝－中，k＝－4＜0，∴在每个象限内，y随x的增大而增大，故D选项错误，符合题意．
6．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝13，cos A＝，则AC的长为( A )
A．5 B．8
C．12 D．13
7．在△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝40°，BC＝10.若用科学计算器求边AC的长，则下列按键顺序正确的是( D )
8．河堤横断面如图所示，斜坡AB的坡比为1∶，AB＝6 m，则BC的长是( B )
A． m B．3 m
C．3 m D．6 m
9．如图，某货船以24 n mile/h的速度从A处向正东方向的D处航行，在点A处测得某岛C在北偏东60°的方向上．该货船航行30 min后到达B处，此时测得该岛在北偏东30°的方向上，则货船在航行中离小岛C的最短距离是( B )
A．12 n mile B．6 n mile
C．12 n mile D．24 n mile
10．如图，满足函数y＝k(x－1)和y＝(k≠0)的大致图象是( B )
A．①② B．②③
C．②④ D．①④
解析：∵y＝k(x－1)，∴函数y＝k(x－1)过点(1，0)，故①④不合题意．当k＞0时，函数y＝k(x－1)过第一、三、四象限，函数y＝(k≠0)在第一、三象限；当k＜0时，函数y＝k(x－1)过第一、二、四象限，函数y＝(k≠0)在第二、四象限，故②③符合题意．
11．若直线y＝kx＋4与函数y＝的图象有且只有一个公共点，则k的值为( B )
A．2 B．－2
C．－1 D．±2
12．如图，在平面直角坐标系中有菱形OABC，点A的坐标为(5，0)，对角线OB，AC相交于点D，双曲线 y＝(x＞0)经过AB的中点F，交BC于点E，且OB·AC＝40.有下列四个结论：
①双曲线的表达式为y＝(x＞0)；②直线OE的表达式为y＝x；③tan ∠CAO＝；④AC＋OB＝6.
其中，正确的结论有( D )
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
第Ⅱ卷(非选择题 共102分)
二、填空题(本大题共6个小题，每小题4分，共24分)
13．若反比例函数y＝的图象不经过第二象限，则k的取值范围是 k＞0 ．
14．已知在△ABC中，AB＝13，AC＝12，∠C＝90°，则sin A＝ .
15．如图，面积为6的矩形OABC的顶点B在反比例函数y＝(x＜0)的图象上，则k＝ －6 ．
16．已知函数y＝16x与y＝的图象有一个交点坐标是，则另一个交点坐标是 ．
17．如图，为了测量楼CD的高度，小明在A处仰望楼顶，测得仰角为30°，再往该楼的方向前进60 m至B处，测得仰角为60°，那么此楼的高度是 30 m．(小明的身高忽略不计，结果保留根号)
18．如图，已知第一象限内的点A在反比例函数y＝的图象上，第二象限的点B在反比例函数y＝的图象上，且OA⊥OB，＝，则k的值为 － ．
三、解答题(本大题共8个小题，共78分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
19．(6分)计算：
(1)3tan 30°＋4cos 45°－2sin 60°；
(2)sin 60°－cos 30°＋tan 45°.
解：(1)原式＝3×＋4×－2×
＝2.
(2)原式＝＋1＝1.
20．(8分)如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，点D在边BC上，∠ADC＝45°，BD＝3，tan B＝，求BC的长．
解：∵tan B＝，∴＝.
设AC＝4x，BC＝5x.
∵BD＝3，
∴CD＝BC－BD＝5x－3.
∵∠ADC＝45°，∴∠DAC＝45°，
∴CD＝CA，∴5x－3＝4x，
解得x＝3，
∴BC＝15.
21．(8分)已知直线y＝mx与反比例函数y＝的图象相交于A，B两点，且点A的坐标为(－2，3)．
(1)求常数m，k的值；
(2)写出点B的坐标．
解：(1)把点A的坐标(－2，3)分别代入直线y＝mx与反比例函数y＝，
得3＝－2m，k＝－2×3＝－6，
∴m＝－，k＝－6.
(2)根据正比例函数、反比例函数的对称性可得，点A与点B关于原点对称，
∴点B的坐标为(2，－3)．
22．(12分)如图，在平面直角坐标系中，一次函数y1＝kx＋b(k≠0)的图象与反比例函数y2＝(m≠0)的图象相交于第一、三象限内的A(3，5)，B(a，－3)两点，与x轴交于点C．
(1)求该反比例函数和一次函数的表达式；
(2)直接写出当y1＞y2时，x的取值范围；
(3)在y轴上找一点P，使PB－PC最大，求PB－PC的最大值及点P的坐标．
解：(1)把A(3，5)代入y2＝(m≠0)，
可得m＝3×5＝15，
∴反比例函数的表达式为y2＝.
把B(a，－3)代入y2＝，可得a＝－5，
∴B(－5，－3)．
把A(3，5)，B(－5，－3)代入y1＝kx＋b，
得解得
∴一次函数的表达式为y1＝x＋2.
(2)当y1＞y2时，x的取值范围为－5＜x＜0或x＞3.
(3)一次函数的表达式为y1＝x＋2，令x＝0，得y1＝2，
∴一次函数与y轴的交点为P(0，2)，
此时，PB－PC＝BC最大，点P即为所求．
令y1＝0，得x＝－2，∴C(－2，0)，
∴PB－PC＝BC＝＝3.
23．(10分)如图，湖边A，B两点由两段笔直的观景栈道AC和CB相连．为了计算A，B两点之间的距离，经测量得：∠BAC＝37°，∠ABC＝58°，AC＝80 m．求A，B两点之间的距离．(参考数据：sin 37°≈0.60，cos 37°≈0.80，tan 37°≈0.75，sin 58°≈0.85，cos 58°≈0.53，tan 58°≈1.60)
解：如图，过点C作CD⊥AB，垂足为点D.
在Rt△ACD中，
∵∠DAC＝37°，AC＝80 m，
∴sin ∠DAC＝，cos ∠DAC＝，
∴CD＝AC·sin 37°≈80×0.60＝48(m)，
AD＝AC·cos 37°≈80×0.80＝64(m)．
在Rt△BCD中，
∵∠CBD＝58°，CD＝48 m，
∴tan ∠CBD＝，
∴BD＝≈＝30(m)，
∴AB＝AD＋BD＝64＋30＝94(m)，
∴A，B两点之间的距离约为94 m．
24．(10分)某人乘车从A地去B地．如图，B地在A地的正北方向，且距离A地 9 km，但A，B两地之间道路维修无法通过．按导航指示，车辆沿正西方向行驶至C地，再沿北偏东26°方向行驶到达B地，求车辆绕行之后比沿AB段多行驶多少千米．(结果精确到0.1 km，参考数据sin 26°≈0.44，cos 26°≈0.90，tan 26°≈0.49)
解：根据题意，得∠B＝26°，AB＝9 km.
在Rt△ABC中，tan B＝，cos B＝，
∴AC＝AB·tan B≈9×0.49＝4.41(km)，
BC＝≈＝10(km)，
∴AC＋BC－AB＝4.41＋10－9＝5.41≈5.4(km).
故车辆绕行之后比沿AB段多行驶 5.4 km.
25．(12分)如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝kx＋b(k≠0)与反比例函数y＝(m≠0)的图象相交于A，B两点，过点A作AD⊥x轴于点D，AO＝5，OD∶AD＝3∶4，点B的坐标为(－6，n)．
(1)求一次函数和反比例函数的表达式；
(2)求△AOB的面积；
(3)点P是y轴上一点，且△AOP是等腰三角形，请写出所有符合条件的点P的坐标．
解：(1)在Rt△AOD中，
∵AO＝5，OD∶AD＝3∶4，
∴设OD＝3a，AD＝4a，
则AO＝5a＝5，解得a＝1，
故A(3，4)，则m＝3×4＝12，
∴反比例函数的表达式为y＝.
故B(－6，－2)．
将点A，B的坐标代入y＝kx＋b，
得
解得
∴一次函数的表达式为y＝x＋2.
(2)易知一次函数交y轴于点M(0，2)，
S△AOB＝OM·(xA－xB)＝×2×(3＋6)＝9.
(3)设P(0，m)，而点A，O的坐标分别为(3，4)，(0，0)，
AP2＝9＋(m－4)2，AO2＝25，PO2＝m2.
当AP＝AO时，9＋(m－4)2＝25，
解得m＝8或m＝0(舍去)；
当AO＝PO时，同理可得m＝±5；
当AP＝PO时，同理可得m＝.
综上，点P的坐标为(0，8)或(0，5)或(0，－5)或.
26．(12分)在矩形AOBC中，OB＝4，OA＝3，分别以OB，OA所在直线为x轴、y轴，建立如图1所示的平面直角坐标系．F是边BC上的一个动点(不与点B，C重合)，过点F的反比例函数y＝(k＞0)的图象与边AC交于点E.
(1)当点F运动到边BC的中点时，点E的坐标为 (2，3) ；
(2)连接EF，求∠EFC的正切值；
(3)如图2，将△CEF沿EF折叠，点C恰好落在边OB上的点G处，求BG的长度．
图1 图2
解：(1)∵OB＝4，OA＝3，
∴点A，B，C的坐标分别为(0，3)，(4，0)，(4，3)，
∴点F运动到边BC的中点时，坐标为.
将点F的坐标代入y＝，解得k＝6.
故反比例函数的表达式为y＝.
当y＝3时，x＝＝2，∴E(2，3)．
故答案为(2，3)．
(2)∵点F的横坐标为4，点F在反比例函数图象上，
∴F，
∴CF＝BC－BF＝3－＝(0＜k＜12)．
∵点E的纵坐标为3，
∴E，
∴CE＝AC－AE＝4－＝(0＜k＜12)．
在Rt△CEF中，tan ∠EFC＝＝.
(3)如图，过点E作EH⊥OB于点H.
由(2)知，CF＝，CE＝＝，
∴EH＝OA＝3，∠EHG＝∠GBF＝90°，
∴∠EGH＋∠HEG＝90°.
由折叠知，EG＝CE，FG＝CF，∠EGF＝∠C＝90°，
∴∠EGH＋∠BGF＝90°，
∴∠HEG＝∠BGF，
∴△EHG∽△GBF，
∴ ＝＝，
∴ ＝，解得BG＝.
1 / 1
(时间：120分钟 满分：150分)
第Ⅰ卷(选择题 共48分)
一、选择题(本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求)
1．若反比例函数y＝的图象经过点(3，－5)，则它的图象一定还经过点( D )
A．(3，5) B．(－1，16)
C．(－3，－5) D．(－15，1)
解析：由题意，得k－1＝3×(－5)＝－15.∵－15×1＝－15，∴反比例函数y＝一定还经过点(－15，1)．
2．如图，双曲线y＝的一个分支为( D )
A．① B．②
C．③ D．④
3．已知矩形的面积是40 m2，设它的一条边长为x(m)，则矩形的另一条边长y(m)关于x(m)的函数表达式是( C )
A．y＝20－x B．y＝40x
C．y＝ D．y＝
4．已知实数a＝tan 30°，b＝sin 45°，c＝cos 60°，则下列说法正确的是( A )
A．b＞a＞c B．a＞b＞c
C．b＞c＞a D．a＞c＞b
解析：a＝tan 30°＝，b＝sin 45°＝，c＝cos 60°＝.∵＜＜，∴b＞a＞c.
5．已知反比例函数y＝－，下列说法中错误的是( D )
A．图象经过点(1，－4)
B．图象位于第二、四象限
C．图象关于直线y＝x对称
D．y随x的增大而增大
解析：∵在反比例函数y＝－中，k＝－4＜0，∴图象在第二、四象限内，故B选项正确，不符合题意．∵－4×1＝－4，∴图象必经过点(1，－4)，故A选项正确，不符合题意．图象关于直线y＝x对称，故C选项正确，不符合题意．∵在反比例函数y＝－中，k＝－4＜0，∴在每个象限内，y随x的增大而增大，故D选项错误，符合题意．
6．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝13，cos A＝，则AC的长为( A )
A．5 B．8
C．12 D．13
7．在△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝40°，BC＝10.若用科学计算器求边AC的长，则下列按键顺序正确的是( D )
8．河堤横断面如图所示，斜坡AB的坡比为1∶，AB＝6 m，则BC的长是( B )
A． m B．3 m
C．3 m D．6 m
9．如图，某货船以24 n mile/h的速度从A处向正东方向的D处航行，在点A处测得某岛C在北偏东60°的方向上．该货船航行30 min后到达B处，此时测得该岛在北偏东30°的方向上，则货船在航行中离小岛C的最短距离是( B )
A．12 n mile B．6 n mile
C．12 n mile D．24 n mile
10．如图，满足函数y＝k(x－1)和y＝(k≠0)的大致图象是( B )
A．①② B．②③
C．②④ D．①④
解析：∵y＝k(x－1)，∴函数y＝k(x－1)过点(1，0)，故①④不合题意．当k＞0时，函数y＝k(x－1)过第一、三、四象限，函数y＝(k≠0)在第一、三象限；当k＜0时，函数y＝k(x－1)过第一、二、四象限，函数y＝(k≠0)在第二、四象限，故②③符合题意．
11．若直线y＝kx＋4与函数y＝的图象有且只有一个公共点，则k的值为( B )
A．2 B．－2
C．－1 D．±2
12．如图，在平面直角坐标系中有菱形OABC，点A的坐标为(5，0)，对角线OB，AC相交于点D，双曲线 y＝(x＞0)经过AB的中点F，交BC于点E，且OB·AC＝40.有下列四个结论：
①双曲线的表达式为y＝(x＞0)；②直线OE的表达式为y＝x；③tan ∠CAO＝；④AC＋OB＝6.
其中，正确的结论有( D )
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
第Ⅱ卷(非选择题 共102分)
二、填空题(本大题共6个小题，每小题4分，共24分)
13．若反比例函数y＝的图象不经过第二象限，则k的取值范围是 k＞0 ．
14．已知在△ABC中，AB＝13，AC＝12，∠C＝90°，则sin A＝ .
15．如图，面积为6的矩形OABC的顶点B在反比例函数y＝(x＜0)的图象上，则k＝ －6 ．
16．已知函数y＝16x与y＝的图象有一个交点坐标是，则另一个交点坐标是 ．
17．如图，为了测量楼CD的高度，小明在A处仰望楼顶，测得仰角为30°，再往该楼的方向前进60 m至B处，测得仰角为60°，那么此楼的高度是 30 m．(小明的身高忽略不计，结果保留根号)
18．如图，已知第一象限内的点A在反比例函数y＝的图象上，第二象限的点B在反比例函数y＝的图象上，且OA⊥OB，＝，则k的值为 － ．
三、解答题(本大题共8个小题，共78分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
19．(6分)计算：
(1)3tan 30°＋4cos 45°－2sin 60°；
(2)sin 60°－cos 30°＋tan 45°.
解：(1)原式＝3×＋4×－2×
＝2.
(2)原式＝＋1＝1.
20．(8分)如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，点D在边BC上，∠ADC＝45°，BD＝3，tan B＝，求BC的长．
解：∵tan B＝，∴＝.
设AC＝4x，BC＝5x.
∵BD＝3，
∴CD＝BC－BD＝5x－3.
∵∠ADC＝45°，∴∠DAC＝45°，
∴CD＝CA，∴5x－3＝4x，
解得x＝3，
∴BC＝15.
21．(8分)已知直线y＝mx与反比例函数y＝的图象相交于A，B两点，且点A的坐标为(－2，3)．
(1)求常数m，k的值；
(2)写出点B的坐标．
解：(1)把点A的坐标(－2，3)分别代入直线y＝mx与反比例函数y＝，
得3＝－2m，k＝－2×3＝－6，
∴m＝－，k＝－6.
(2)根据正比例函数、反比例函数的对称性可得，点A与点B关于原点对称，
∴点B的坐标为(2，－3)．
22．(12分)如图，在平面直角坐标系中，一次函数y1＝kx＋b(k≠0)的图象与反比例函数y2＝(m≠0)的图象相交于第一、三象限内的A(3，5)，B(a，－3)两点，与x轴交于点C．
(1)求该反比例函数和一次函数的表达式；
(2)直接写出当y1＞y2时，x的取值范围；
(3)在y轴上找一点P，使PB－PC最大，求PB－PC的最大值及点P的坐标．
解：(1)把A(3，5)代入y2＝(m≠0)，
可得m＝3×5＝15，
∴反比例函数的表达式为y2＝.
把B(a，－3)代入y2＝，可得a＝－5，
∴B(－5，－3)．
把A(3，5)，B(－5，－3)代入y1＝kx＋b，
得解得
∴一次函数的表达式为y1＝x＋2.
(2)当y1＞y2时，x的取值范围为－5＜x＜0或x＞3.
(3)一次函数的表达式为y1＝x＋2，令x＝0，得y1＝2，
∴一次函数与y轴的交点为P(0，2)，
此时，PB－PC＝BC最大，点P即为所求．
令y1＝0，得x＝－2，∴C(－2，0)，
∴PB－PC＝BC＝＝3.
23．(10分)如图，湖边A，B两点由两段笔直的观景栈道AC和CB相连．为了计算A，B两点之间的距离，经测量得：∠BAC＝37°，∠ABC＝58°，AC＝80 m．求A，B两点之间的距离．(参考数据：sin 37°≈0.60，cos 37°≈0.80，tan 37°≈0.75，sin 58°≈0.85，cos 58°≈0.53，tan 58°≈1.60)
解：如图，过点C作CD⊥AB，垂足为点D.
在Rt△ACD中，
∵∠DAC＝37°，AC＝80 m，
∴sin ∠DAC＝，cos ∠DAC＝，
∴CD＝AC·sin 37°≈80×0.60＝48(m)，
AD＝AC·cos 37°≈80×0.80＝64(m)．
在Rt△BCD中，
∵∠CBD＝58°，CD＝48 m，
∴tan ∠CBD＝，
∴BD＝≈＝30(m)，
∴AB＝AD＋BD＝64＋30＝94(m)，
∴A，B两点之间的距离约为94 m．
24．(10分)某人乘车从A地去B地．如图，B地在A地的正北方向，且距离A地 9 km，但A，B两地之间道路维修无法通过．按导航指示，车辆沿正西方向行驶至C地，再沿北偏东26°方向行驶到达B地，求车辆绕行之后比沿AB段多行驶多少千米．(结果精确到0.1 km，参考数据sin 26°≈0.44，cos 26°≈0.90，tan 26°≈0.49)
解：根据题意，得∠B＝26°，AB＝9 km.
在Rt△ABC中，tan B＝，cos B＝，
∴AC＝AB·tan B≈9×0.49＝4.41(km)，
BC＝≈＝10(km)，
∴AC＋BC－AB＝4.41＋10－9＝5.41≈5.4(km).
故车辆绕行之后比沿AB段多行驶 5.4 km.
25．(12分)如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝kx＋b(k≠0)与反比例函数y＝(m≠0)的图象相交于A，B两点，过点A作AD⊥x轴于点D，AO＝5，OD∶AD＝3∶4，点B的坐标为(－6，n)．
(1)求一次函数和反比例函数的表达式；
(2)求△AOB的面积；
(3)点P是y轴上一点，且△AOP是等腰三角形，请写出所有符合条件的点P的坐标．
解：(1)在Rt△AOD中，
∵AO＝5，OD∶AD＝3∶4，
∴设OD＝3a，AD＝4a，
则AO＝5a＝5，解得a＝1，
故A(3，4)，则m＝3×4＝12，
∴反比例函数的表达式为y＝.
故B(－6，－2)．
将点A，B的坐标代入y＝kx＋b，
得
解得
∴一次函数的表达式为y＝x＋2.
(2)易知一次函数交y轴于点M(0，2)，
S△AOB＝OM·(xA－xB)＝×2×(3＋6)＝9.
(3)设P(0，m)，而点A，O的坐标分别为(3，4)，(0，0)，
AP2＝9＋(m－4)2，AO2＝25，PO2＝m2.
当AP＝AO时，9＋(m－4)2＝25，
解得m＝8或m＝0(舍去)；
当AO＝PO时，同理可得m＝±5；
当AP＝PO时，同理可得m＝.
综上，点P的坐标为(0，8)或(0，5)或(0，－5)或.
26．(12分)在矩形AOBC中，OB＝4，OA＝3，分别以OB，OA所在直线为x轴、y轴，建立如图1所示的平面直角坐标系．F是边BC上的一个动点(不与点B，C重合)，过点F的反比例函数y＝(k＞0)的图象与边AC交于点E.
(1)当点F运动到边BC的中点时，点E的坐标为 (2，3) ；
(2)连接EF，求∠EFC的正切值；
(3)如图2，将△CEF沿EF折叠，点C恰好落在边OB上的点G处，求BG的长度．
图1 图2
解：(1)∵OB＝4，OA＝3，
∴点A，B，C的坐标分别为(0，3)，(4，0)，(4，3)，
∴点F运动到边BC的中点时，坐标为.
将点F的坐标代入y＝，解得k＝6.
故反比例函数的表达式为y＝.
当y＝3时，x＝＝2，∴E(2，3)．
故答案为(2，3)．
(2)∵点F的横坐标为4，点F在反比例函数图象上，
∴F，
∴CF＝BC－BF＝3－＝(0＜k＜12)．
∵点E的纵坐标为3，
∴E，
∴CE＝AC－AE＝4－＝(0＜k＜12)．
在Rt△CEF中，tan ∠EFC＝＝.
(3)如图，过点E作EH⊥OB于点H.
由(2)知，CF＝，CE＝＝，
∴EH＝OA＝3，∠EHG＝∠GBF＝90°，
∴∠EGH＋∠HEG＝90°.
由折叠知，EG＝CE，FG＝CF，∠EGF＝∠C＝90°，
∴∠EGH＋∠BGF＝90°，
∴∠HEG＝∠BGF，
∴△EHG∽△GBF，
∴ ＝＝，
∴ ＝，解得BG＝.
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