13 课时分层训练(十) 二次函数（教师版）初中数学鲁教版（五四制）九年级上册
文档属性
| 名称 | 13 课时分层训练(十) 二次函数（教师版）初中数学鲁教版（五四制）九年级上册 |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 145.3KB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 鲁教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2025-09-16 15:30:13 | ||
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文档简介
课时分层训练(十) 二次函数
知识点一 二次函数的定义
1．下列函数关系中，y是x的二次函数的是( C )
A．y＝ax2＋bx＋c
B．y＝
C．y＝50＋x2
D．y＝(x＋2)(x－3)－x2
2．若函数y＝(m－2)x|m|＋1(m是常数)是关于x的二次函数，则m的值是 －2 ．
知识点二 二次函数的一般形式
3．对于二次函数y＝－1的二次项系数a、一次项系数b和常数项c描述正确的是( C )
A．a＝－1，b＝－1，c＝0
B．a＝－1，b＝0，c＝1
C．a＝－1，b＝0，c＝－1
D．a＝1，b＝0，c＝－1
4．若二次函数y＝(2x－1)2＋1的二次项系数为a，一次项系数为b，常数项为c，则 b2－4ac ＜ 0.(填“＞”“＜”或“＝”)
知识点三 在实际问题中列二次函数表达式
5．下列函数关系中，是二次函数的是( D )
A．在弹性限度内，弹簧的长度y与所挂物体质量x之间的关系
B．当距离一定时，火车行驶的时间t与速度v之间的关系
C．等边三角形的周长C与边长a之间的关系
D．圆的面积S与半径r之间的关系
6．九年级共有x名同学，在开学见面时每两名同学都握手一次，共握手y次，则y与x之间的函数关系式是 x2－x ， 是 二次函数(填“是”或“不是”)．
知识点四 在几何图形中列二次函数表达式
7．已知正方形的面积为y(cm2)，周长为x(cm).
(1)请写出y(cm2)与x(cm)之间的函数关系式；
(2)判断y是否为x的二次函数．
解：(1)∵正方形的周长为x，
∴正方形的边长为x，
∴y(cm2)与x(cm)之间的函数关系式为
y＝＝x2.
(2)利用二次函数的定义得出y是x的二次函数．
8．如图，在△ABC中，BC＝12，边BC上的高AH＝8，矩形DEFG的边EF在边BC上，顶点D，G分别在边AB，AC上．设DE＝x，矩形DEFG的面积为y，求y关于x的函数表达式．(不需写出x的取值范围)
解：∵四边形DEFG是矩形，
∴DG∥EF，
∴△ADG∽△ABC，
∴＝，
解得DG＝，
∴y＝＝－x2＋12x.
9．如图，正方形ABCD和⊙O的周长之和为20 cm，设圆的半径为x cm，正方形的边长为y cm，阴影部分的面积为S cm2.当x在一定范围内变化时，y和S都随x的变化而变化，则y与x，S与x满足的函数关系分别是( B )
A．一次函数关系，一次函数关系
B．一次函数关系，二次函数关系
C．二次函数关系，二次函数关系
D．二次函数关系，一次函数关系
解析：由题意，得4y＋2πx＝20，
∴2y＋πx＝10，
∴y＝，
即y与x是一次函数关系．
把y＝代入S＝y2－πx2，
得S＝x2－5πx＋25，
即S与x是二次函数关系．
10．已知关于x的函数y＝(m2＋2m)x2＋mx＋m＋1.
(1)当m为何值时，此函数是一次函数？
(2)当m为何值时，此函数是二次函数？
解：(1)∵函数y＝(m2＋2m)x2＋mx＋m＋1是一次函数，
∴m2＋2m＝0，m≠0，解得m＝－2.
(2)∵函数y＝(m2＋2m)x2＋mx＋m＋1是二次函数，∴m2＋2m≠0，
解得m≠－2且m≠0.
11．某公司的生产利润原来是a万元，经过连续两年的增长达到了y万元，如果每年增长率都是x，写出利润y与增长的百分率x之间的函数关系式，它是二次函数吗？如果是，请写出二次项系数、一次项系数和常数项．
解：依题意，得y＝a(1＋x)2＝ax2＋2ax＋a，
是二次函数，二次项系数为a，一次项系数为2a，常数项为a.
12．(原创题)“一面杭扇，多少江南”，杭扇承载着千年历史长河的余温，记录着杭州这座古城的历史人文．某“杭扇”专卖店购进了一批同一款式的“杭扇”，进价为每件100元，现在的售价为每件120元，每星期可卖出300件．经市场调查发现，若每件涨价1元，则每星期要少卖出10件．求每星期售出商品的利润y(元)与每件涨价x(元)之间的函数关系式．
解：由题意，得每件涨价x元时，销售每件获得的利润为(120－100＋x)＝(20＋x)元，每星期的销售量为(300－10x)件，
∴每星期售出商品的利润y＝(300－10x)·(20＋x)＝－10x2＋100x＋6 000.
13．如图，圆柱的高为10 cm，圆柱的底面直径为x cm，圆柱的表面积为S cm2.
(1)求圆柱的表面积S与圆柱的底面直径x之间的函数关系式，并判断这个函数是否为二次函数；
(2)当圆柱的底面直径从4 cm增加到10 cm 时，圆柱的表面积增加了多少？(最后结果保留π)
解：(1)由题意，得圆柱的表面积S＝2πrh＋2πr2＝2π××10＋2π×＝＋10πx，
∴圆柱的表面积S与圆柱的底面直径x之间的函数关系式为S＝πx2＋10πx.
∵π≠0，
∴函数S＝πx2＋10πx是二次函数．
(2)∵π×102＋10π×10－＝150π－48π＝102π(cm2)，
∴圆柱的表面积增加了102π cm2.
【创新运用】
14．如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝12，BC＝24，动点P从点A开始沿边AB向终点B以每秒2个单位的速度移动，动点Q从点B开始沿边BC以每秒4个单位的速度向终点C移动．如果点P，Q分别从点A，B同时出发，那么△PBQ的面积S随出发时间t(s)如何变化？写出函数关系式及t的取值范围．
解：△PBQ的面积S随出发时间t(s)成二次函数关系变化．
∵在△ABC中，∠B＝90°，AB＝12，BC＝24，
∴BP＝12－2t，BQ＝4t，
∴△PBQ的面积S与出发时间t(s)之间的函数关系式为S＝(12－2t)·4t＝＋24t(0＜t＜6)．
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知识点一 二次函数的定义
1．下列函数关系中，y是x的二次函数的是( C )
A．y＝ax2＋bx＋c
B．y＝
C．y＝50＋x2
D．y＝(x＋2)(x－3)－x2
2．若函数y＝(m－2)x|m|＋1(m是常数)是关于x的二次函数，则m的值是 －2 ．
知识点二 二次函数的一般形式
3．对于二次函数y＝－1的二次项系数a、一次项系数b和常数项c描述正确的是( C )
A．a＝－1，b＝－1，c＝0
B．a＝－1，b＝0，c＝1
C．a＝－1，b＝0，c＝－1
D．a＝1，b＝0，c＝－1
4．若二次函数y＝(2x－1)2＋1的二次项系数为a，一次项系数为b，常数项为c，则 b2－4ac ＜ 0.(填“＞”“＜”或“＝”)
知识点三 在实际问题中列二次函数表达式
5．下列函数关系中，是二次函数的是( D )
A．在弹性限度内，弹簧的长度y与所挂物体质量x之间的关系
B．当距离一定时，火车行驶的时间t与速度v之间的关系
C．等边三角形的周长C与边长a之间的关系
D．圆的面积S与半径r之间的关系
6．九年级共有x名同学，在开学见面时每两名同学都握手一次，共握手y次，则y与x之间的函数关系式是 x2－x ， 是 二次函数(填“是”或“不是”)．
知识点四 在几何图形中列二次函数表达式
7．已知正方形的面积为y(cm2)，周长为x(cm).
(1)请写出y(cm2)与x(cm)之间的函数关系式；
(2)判断y是否为x的二次函数．
解：(1)∵正方形的周长为x，
∴正方形的边长为x，
∴y(cm2)与x(cm)之间的函数关系式为
y＝＝x2.
(2)利用二次函数的定义得出y是x的二次函数．
8．如图，在△ABC中，BC＝12，边BC上的高AH＝8，矩形DEFG的边EF在边BC上，顶点D，G分别在边AB，AC上．设DE＝x，矩形DEFG的面积为y，求y关于x的函数表达式．(不需写出x的取值范围)
解：∵四边形DEFG是矩形，
∴DG∥EF，
∴△ADG∽△ABC，
∴＝，
解得DG＝，
∴y＝＝－x2＋12x.
9．如图，正方形ABCD和⊙O的周长之和为20 cm，设圆的半径为x cm，正方形的边长为y cm，阴影部分的面积为S cm2.当x在一定范围内变化时，y和S都随x的变化而变化，则y与x，S与x满足的函数关系分别是( B )
A．一次函数关系，一次函数关系
B．一次函数关系，二次函数关系
C．二次函数关系，二次函数关系
D．二次函数关系，一次函数关系
解析：由题意，得4y＋2πx＝20，
∴2y＋πx＝10，
∴y＝，
即y与x是一次函数关系．
把y＝代入S＝y2－πx2，
得S＝x2－5πx＋25，
即S与x是二次函数关系．
10．已知关于x的函数y＝(m2＋2m)x2＋mx＋m＋1.
(1)当m为何值时，此函数是一次函数？
(2)当m为何值时，此函数是二次函数？
解：(1)∵函数y＝(m2＋2m)x2＋mx＋m＋1是一次函数，
∴m2＋2m＝0，m≠0，解得m＝－2.
(2)∵函数y＝(m2＋2m)x2＋mx＋m＋1是二次函数，∴m2＋2m≠0，
解得m≠－2且m≠0.
11．某公司的生产利润原来是a万元，经过连续两年的增长达到了y万元，如果每年增长率都是x，写出利润y与增长的百分率x之间的函数关系式，它是二次函数吗？如果是，请写出二次项系数、一次项系数和常数项．
解：依题意，得y＝a(1＋x)2＝ax2＋2ax＋a，
是二次函数，二次项系数为a，一次项系数为2a，常数项为a.
12．(原创题)“一面杭扇，多少江南”，杭扇承载着千年历史长河的余温，记录着杭州这座古城的历史人文．某“杭扇”专卖店购进了一批同一款式的“杭扇”，进价为每件100元，现在的售价为每件120元，每星期可卖出300件．经市场调查发现，若每件涨价1元，则每星期要少卖出10件．求每星期售出商品的利润y(元)与每件涨价x(元)之间的函数关系式．
解：由题意，得每件涨价x元时，销售每件获得的利润为(120－100＋x)＝(20＋x)元，每星期的销售量为(300－10x)件，
∴每星期售出商品的利润y＝(300－10x)·(20＋x)＝－10x2＋100x＋6 000.
13．如图，圆柱的高为10 cm，圆柱的底面直径为x cm，圆柱的表面积为S cm2.
(1)求圆柱的表面积S与圆柱的底面直径x之间的函数关系式，并判断这个函数是否为二次函数；
(2)当圆柱的底面直径从4 cm增加到10 cm 时，圆柱的表面积增加了多少？(最后结果保留π)
解：(1)由题意，得圆柱的表面积S＝2πrh＋2πr2＝2π××10＋2π×＝＋10πx，
∴圆柱的表面积S与圆柱的底面直径x之间的函数关系式为S＝πx2＋10πx.
∵π≠0，
∴函数S＝πx2＋10πx是二次函数．
(2)∵π×102＋10π×10－＝150π－48π＝102π(cm2)，
∴圆柱的表面积增加了102π cm2.
【创新运用】
14．如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝12，BC＝24，动点P从点A开始沿边AB向终点B以每秒2个单位的速度移动，动点Q从点B开始沿边BC以每秒4个单位的速度向终点C移动．如果点P，Q分别从点A，B同时出发，那么△PBQ的面积S随出发时间t(s)如何变化？写出函数关系式及t的取值范围．
解：△PBQ的面积S随出发时间t(s)成二次函数关系变化．
∵在△ABC中，∠B＝90°，AB＝12，BC＝24，
∴BP＝12－2t，BQ＝4t，
∴△PBQ的面积S与出发时间t(s)之间的函数关系式为S＝(12－2t)·4t＝＋24t(0＜t＜6)．
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