14 课时分层训练(十一) 二次函数y＝ax2的图象与性质（教师版）初中数学鲁教版（五四制）九年级上册
文档属性
| 名称 | 14 课时分层训练(十一) 二次函数y＝ax2的图象与性质（教师版）初中数学鲁教版（五四制）九年级上册 |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 194.3KB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 鲁教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2025-09-16 15:30:13 | ||
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文档简介
课时分层训练(十一) 二次函数y＝ax2的图象与性质
知识点一 二次函数y＝x2，y＝－x2的图象与性质
1．下列关于二次函数y＝x2的性质不正确的是( D )
A．对称轴是y轴
B．经过点(－1，1)
C．函数有最小值
D．无论x取何值，y的值总为正
2．抛物线y＝x2与y＝－x2共有的性质是( B )
A．开口向下
B．对称轴是y轴
C．都有最低点
D．y随x的增大而减小
3．若点A(x1，y1)，B(x2，y2)都在抛物线y＝－x2上，则下列结论正确的是( D )
A．当x1＜x2时，y1＜y2
B．当x1＜x2时，y1＞y2
C．当0＜x1＜x2时，y1＜y2
D．当0＜x1＜x2时，y1＞y2
知识点二 利用二次函数y＝x2，y＝的图象与性质解决问题
4．如图，⊙O的半径为2，C1是函数y＝的图象，C2是函数y＝－x2的图象，则阴影部分的面积是 2π ．
5．当m取何值时，抛物线y＝x2与直线y＝x＋m的图象有以下特征．
(1)有公共点；
(2)没有公共点．
解：由题意，得x2＝x＋m，
整理，得x2－x－m＝0.
Δ＝(－1)2－4(－m)＝4m＋1.
(1)4m＋1≥0，
解得m≥－.
(2)4m＋1＜0，
解得m＜－.
知识点三 二次函数y＝ax2(a≠0)的图象和性质
6．若二次函数y＝mx2(m≠0)的图象经过点(2，－5)，则它也经过( A )
A．(－2，－5) B．(－2，5)
C．(2，5) D．(－5，2)
7．如图是四个二次函数的图象，则a，b，c，d的大小关系为( B )
A．d＜c＜a＜b B．d＜c＜b＜a
C．c＜d＜a＜b D．c＜d＜b＜a
解析：如图，作直线x＝1.
∵直线x＝1与四条抛物线的交点从上到下依次为(1，a)，(1，b)，(1，c)，(1，d)，
∴d＜c＜b＜a.
8．已知a＜－1，点(a－1，y1)，(a，y2)，(a＋1，y3)都在函数y＝－x2的图象上，则( A )
A．y1＜y2＜y3 B．y1＜y3＜y2
C．y3＜y2＜y1 D．y2＜y1＜y3
9．下列说法错误的是( C )
A．在二次函数y＝3x2中，当x＞0时，y随x的增大而增大
B．在二次函数y＝－6x2中，当x＝0时，y有最大值0
C．在二次函数y＝ax2中，a越大图象开口越小，a越小图象开口越大
D．不论a是正数还是负数，抛物线y＝ax2(a≠0)的顶点一定是坐标原点
10.对于二次函数y＝ax2与y＝bx2，其自变量与函数值的两组对应值如表所示，根据二次函数图象的相关性质可知m＝ 1 ，d－c＝ 3 ．
x －1 m(m≠－1)
y＝ax2 c c
y＝bx2 c＋3 d
解析：由表格可知x＝－1和x＝m时的函数值相等．
∵表格中的两个函数的对称轴都是直线x＝0，
∴m＋(－1)＝0，c＋3＝d，
∴m＝1，d－c＝3.
11．已知抛物线y＝－x2与直线y＝3x＋m都经过点(2，n)．
(1)画出y＝－x2的图象，并求出m，n的值．
(2)两个图象是否存在另一个交点？若存在，请求出这个点的坐标．
解：(1)画图略．把(2，n)代入y＝－x2中，
得n＝－22，∴n＝－4.
把(2，－4)代入y＝3x＋m中，
得－4＝3×2＋m，∴m＝－10.
(2)存在．由题意，得
解得或
∴存在另一个交点，其坐标为(－5，－25)．
12．已知抛物线y＝ax2经过点A(－2，－8)．
(1)求此抛物线的函数表达式；
(2)说出这个二次函数图象的顶点坐标、对称轴、开口方向和图象的位置；
(3)判断点B(－1，－4)是否在此抛物线上；
(4)求出此抛物线上纵坐标为－6的点的坐标．
解：(1)把A(－2，－8)代入函数表达式y＝ax2，得－8＝a·(－2)2，∴a＝－2，
故此抛物线的函数表达式为y＝－2x2.
(2)顶点坐标为(0，0)，对称轴为y轴(或直线x＝0)．
∵a＜0，∴二次函数的图象开口向下，顶点是图象上的最高点，图象在x轴下方．
(3)把x＝－1代入函数表达式y＝－2x2，得y＝－2×(－1)2＝－2≠－4，
故点B(－1，－4)不在此抛物线上．
(4)当y＝－6时，－6＝－2x2，∴x＝±，
∴纵坐标为－6的点的坐标为(，－6)，(－，－6).
【创新运用】
13．有一城门洞呈抛物线形，拱高为4 m(最高点到地面的距离)．如图，把它放在平面直角坐标系中，其函数表达式为 y＝－x2．
(1)求城门洞最宽处AB的长．
(2)现在有一辆高2.6 m、宽2.2 m的小货车，问：它能否完全通过此城门洞？请说明理由．
解：(1)令抛物线y＝－x2＝－4，
解得x＝±2，
故城门洞最宽处AB的长为4 m.
(2)能．理由如下：
如图，设小货车行驶到城门正中间．
用矩形CDEF表示小货车的横截面，
则ED，FC均垂直于AB，点E，F到AB的距离均为2.6 m，点F的横坐标为1.1.
设CF的延长线交抛物线于点G，则点G的横坐标为1.1，代入函数表达式y＝，得y＝－1.12＝－1.21，
∴点G的纵坐标为－1.21，
∴点G到AB的距离为4－1.21＝2.79＞2.6，
故小货车能完全通过此城门洞．
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知识点一 二次函数y＝x2，y＝－x2的图象与性质
1．下列关于二次函数y＝x2的性质不正确的是( D )
A．对称轴是y轴
B．经过点(－1，1)
C．函数有最小值
D．无论x取何值，y的值总为正
2．抛物线y＝x2与y＝－x2共有的性质是( B )
A．开口向下
B．对称轴是y轴
C．都有最低点
D．y随x的增大而减小
3．若点A(x1，y1)，B(x2，y2)都在抛物线y＝－x2上，则下列结论正确的是( D )
A．当x1＜x2时，y1＜y2
B．当x1＜x2时，y1＞y2
C．当0＜x1＜x2时，y1＜y2
D．当0＜x1＜x2时，y1＞y2
知识点二 利用二次函数y＝x2，y＝的图象与性质解决问题
4．如图，⊙O的半径为2，C1是函数y＝的图象，C2是函数y＝－x2的图象，则阴影部分的面积是 2π ．
5．当m取何值时，抛物线y＝x2与直线y＝x＋m的图象有以下特征．
(1)有公共点；
(2)没有公共点．
解：由题意，得x2＝x＋m，
整理，得x2－x－m＝0.
Δ＝(－1)2－4(－m)＝4m＋1.
(1)4m＋1≥0，
解得m≥－.
(2)4m＋1＜0，
解得m＜－.
知识点三 二次函数y＝ax2(a≠0)的图象和性质
6．若二次函数y＝mx2(m≠0)的图象经过点(2，－5)，则它也经过( A )
A．(－2，－5) B．(－2，5)
C．(2，5) D．(－5，2)
7．如图是四个二次函数的图象，则a，b，c，d的大小关系为( B )
A．d＜c＜a＜b B．d＜c＜b＜a
C．c＜d＜a＜b D．c＜d＜b＜a
解析：如图，作直线x＝1.
∵直线x＝1与四条抛物线的交点从上到下依次为(1，a)，(1，b)，(1，c)，(1，d)，
∴d＜c＜b＜a.
8．已知a＜－1，点(a－1，y1)，(a，y2)，(a＋1，y3)都在函数y＝－x2的图象上，则( A )
A．y1＜y2＜y3 B．y1＜y3＜y2
C．y3＜y2＜y1 D．y2＜y1＜y3
9．下列说法错误的是( C )
A．在二次函数y＝3x2中，当x＞0时，y随x的增大而增大
B．在二次函数y＝－6x2中，当x＝0时，y有最大值0
C．在二次函数y＝ax2中，a越大图象开口越小，a越小图象开口越大
D．不论a是正数还是负数，抛物线y＝ax2(a≠0)的顶点一定是坐标原点
10.对于二次函数y＝ax2与y＝bx2，其自变量与函数值的两组对应值如表所示，根据二次函数图象的相关性质可知m＝ 1 ，d－c＝ 3 ．
x －1 m(m≠－1)
y＝ax2 c c
y＝bx2 c＋3 d
解析：由表格可知x＝－1和x＝m时的函数值相等．
∵表格中的两个函数的对称轴都是直线x＝0，
∴m＋(－1)＝0，c＋3＝d，
∴m＝1，d－c＝3.
11．已知抛物线y＝－x2与直线y＝3x＋m都经过点(2，n)．
(1)画出y＝－x2的图象，并求出m，n的值．
(2)两个图象是否存在另一个交点？若存在，请求出这个点的坐标．
解：(1)画图略．把(2，n)代入y＝－x2中，
得n＝－22，∴n＝－4.
把(2，－4)代入y＝3x＋m中，
得－4＝3×2＋m，∴m＝－10.
(2)存在．由题意，得
解得或
∴存在另一个交点，其坐标为(－5，－25)．
12．已知抛物线y＝ax2经过点A(－2，－8)．
(1)求此抛物线的函数表达式；
(2)说出这个二次函数图象的顶点坐标、对称轴、开口方向和图象的位置；
(3)判断点B(－1，－4)是否在此抛物线上；
(4)求出此抛物线上纵坐标为－6的点的坐标．
解：(1)把A(－2，－8)代入函数表达式y＝ax2，得－8＝a·(－2)2，∴a＝－2，
故此抛物线的函数表达式为y＝－2x2.
(2)顶点坐标为(0，0)，对称轴为y轴(或直线x＝0)．
∵a＜0，∴二次函数的图象开口向下，顶点是图象上的最高点，图象在x轴下方．
(3)把x＝－1代入函数表达式y＝－2x2，得y＝－2×(－1)2＝－2≠－4，
故点B(－1，－4)不在此抛物线上．
(4)当y＝－6时，－6＝－2x2，∴x＝±，
∴纵坐标为－6的点的坐标为(，－6)，(－，－6).
【创新运用】
13．有一城门洞呈抛物线形，拱高为4 m(最高点到地面的距离)．如图，把它放在平面直角坐标系中，其函数表达式为 y＝－x2．
(1)求城门洞最宽处AB的长．
(2)现在有一辆高2.6 m、宽2.2 m的小货车，问：它能否完全通过此城门洞？请说明理由．
解：(1)令抛物线y＝－x2＝－4，
解得x＝±2，
故城门洞最宽处AB的长为4 m.
(2)能．理由如下：
如图，设小货车行驶到城门正中间．
用矩形CDEF表示小货车的横截面，
则ED，FC均垂直于AB，点E，F到AB的距离均为2.6 m，点F的横坐标为1.1.
设CF的延长线交抛物线于点G，则点G的横坐标为1.1，代入函数表达式y＝，得y＝－1.12＝－1.21，
∴点G的纵坐标为－1.21，
∴点G到AB的距离为4－1.21＝2.79＞2.6，
故小货车能完全通过此城门洞．
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