15 课时分层训练(十二) 二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象与性质（教师版）初中数学鲁教版（五四制）九年级上册
文档属性
| 名称 | 15 课时分层训练(十二) 二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象与性质（教师版）初中数学鲁教版（五四制）九年级上册 |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 223.5KB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 鲁教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2025-09-16 15:30:13 | ||
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文档简介
课时分层训练(十二) 二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象与性质
知识点一 二次函数y＝ax2＋k(a≠0)的图象和性质
1．函数y＝－x2＋1的图象大致为( B )
A B
C D
2．关于二次函数y＝－2x2＋1的图象，下列说法中，正确的是( D )
A．对称轴为直线x＝1
B．顶点坐标为(－2，1)
C．可以由二次函数y＝－2x2的图象向左平移1个单位得到
D．在y轴的左侧，图象上升，在y轴的右侧，图象下降
知识点二 二次函数y＝a(x－h)2 (a≠0)的图象和性质
3．已知抛物线y＝－(x＋2)2上的两点A(x1，y1)和B(x2，y2)．如果x1＜x2＜－2，那么下列结论一定成立的是( B )
A．0＜y2＜y1
B．y1＜y2＜0
C．0＜y1＜y2
D．y2＜y1＜0
4．(原创题)根据如图所示的条件变换抛物线，输出变换后抛物线的表达式．若输入的抛物线表达式为y＝－x2，则输出的抛物线表达式为 y＝－(x＋2)2 ．
解析：∵抛物线y＝－x2开口向下，有最大值，
∴将抛物线y＝－x2向左平移2个单位，
∴得到的新抛物线的表达式为y＝－(x＋2)2 .
知识点三 二次函数y＝a(x－h)2 ＋k(a≠0)的图象和性质
5．对于抛物线y＝＋3，有下列结论：①抛物线的开口向下；②对称轴为直线x＝1；③顶点坐标为(－1，3)；④当x>1时，y随x的增大而减小．其中正确的结论有( C )
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
6．已知二次函数y＝a2(x－2)2＋c(a≠0)，当自变量x分别取0，，3时，对应的值分别为y1，y2，y3，则y1，y2，y3的值用“＜”连接为 y2＜y3＜y1 ．
知识点四 二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象和性质
7.对于二次函数y＝x2－2x＋3的图象，下列说法正确的是( C )
A．开口向下
B．对称轴是直线x＝－1
C．顶点坐标是(1，2)
D．与y轴的交点为(0，2)
8．已知二次函数y＝－x2＋x＋4.
(1)试确定抛物线y＝－x2＋x＋4的开口方向、顶点坐标和对称轴．
(2)当x为何值时，y取最大(小)值？最大(小)值是多少？
(3)抛物线y＝－x2＋x＋4是由抛物线y＝－x2怎样平移得到的？
(4)当x取何值时，y的值随x值的增大而减小？当x取何值时，y的值随x值的增大而增大？
解：(1)∵a＝－，b＝1，c＝4，
∴－＝－＝1，
＝＝，
∴抛物线y＝－x2＋x＋4的开口向下，对称轴是直线x＝1，顶点坐标为.
(2)∵a＝－<0，对称轴是直线x＝1，
∴当x＝1时，y取最大值，最大值是.
(3)∵y＝－x2＋x＋4＝－(x－1)2＋，
∴将抛物线y＝－x2先向右平移1个单位，再向上平移个单位，得到抛物线y＝＋x＋4.
(4)∵a＝－<0，∴当x>1时，y的值随x值的增大而减小；当x<1时，y的值随x值的增大而增大．
9．二次函数y＝ax2＋bx＋c的部分图象如图所示，则下列说法中不正确的是( C )
A．abc＞0
B．2a－b＝0
C．当x＜1时，y＞0
D．9a－3b＋c＝0
10．(原创题)如图，在平面直角坐标系中，有两条位置确定的抛物线y＝(x－h)2＋k与y＝－(x＋m)2＋n，表达式中的h，k，m，n都是常数，则下列关系不正确的是( D )
A．hk＜mn B．hkmn＜0
C．h＋m＞0 D．k＝n
11．如图，抛物线y＝a(x－1)2＋4与 x轴交于点A，B，与y轴交于点C，过点C作CD∥x轴交抛物线的对称轴于点D，连接BD，已知点A的坐标为(－1，0)．求：
(1)该抛物线的函数表达式；
(2)梯形COBD的面积．
解：(1)将A(－1，0)代入y＝a(x－1)2＋4，得0＝4a＋4，
解得a＝－1，
∴抛物线的函数表达式为y＝－(x－1)2＋4.
(2)对于抛物线y＝－(x－1)2＋4，令x＝0，得y＝3，即OC＝3.
∵抛物线y＝－(x－1)2＋4的对称轴为直线x＝1，
∴CD＝1.
∵A(－1，0)，
∴B(3，0)，即OB＝3，
∴S梯形COBD＝＝6.
12．如图，已知抛物线y＝－(x－1)2＋4的顶点为A，与y轴交于点B，与x轴交于C，D两点，点P是x轴上的一个动点．
(1)指出抛物线的开口方向、对称轴、顶点坐标，并求出点B的坐标；
(2)当PA＋PB的值最小时，求点P的坐标．
解：(1)抛物线开口向下，对称轴为直线x＝1，顶点坐标为A(1，4)．
把x＝0代入y＝－(x－1)2＋4，
得y＝－(0－1)2＋4＝3，
∴点B的坐标为(0，3)．
(2)设点B关于x轴的对称点是点E.
∵B(0，3)，∴点E的坐标为(0，－3)．
连接AE交x轴于点P，此时PA＋PB的值最小．
设直线AE的表达式为y＝kx＋b.
将A(1，4)，E(0，－3)代入，
得解得
∴直线AE的表达式为y＝7x－3.
当y＝0时，x＝，
即当PA＋PB的值最小时，点P的坐标为.
【创新运用】
13．已知二次函数y＝x2－2x－3的图象为抛物线C.
(1)写出抛物线C的开口方向、对称轴和顶点坐标．
(2)当2≤x≤4时，求该二次函数的函数值y的取值范围．
(3)将抛物线C先向右平移2个单位，得到抛物线C1；再将抛物线C1向下平移1个单位，得到抛物线C2.请直接写出抛物线C1，C2对应的函数表达式．
解：(1)∵y＝x2－2x－3＝(x－1)2－4，
∴抛物线C开口向上，对称轴为直线x＝1，顶点坐标为(1，－4)．
(2)∵y＝(x－1)2－4，
∴当x＞1时，y随x的增大而增大；
当x＜1时，y随x的增大而减小．
当x＝2时，y＝－3，
当x＝4时，y＝5，
∴当2≤x≤4时，二次函数的函数值y的取值范围为－3≤y≤5.
(3)∵抛物线C：y＝(x－1)2－4向右平移 2个单位得到抛物线C1，
∴C1：y＝(x－3)2－4，即y＝x2－6x＋5.
∵将抛物线C1向下平移1个单位得到抛物线C2，
∴C2：y＝(x－3)2－5，即y＝x2－6x＋4.
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知识点一 二次函数y＝ax2＋k(a≠0)的图象和性质
1．函数y＝－x2＋1的图象大致为( B )
A B
C D
2．关于二次函数y＝－2x2＋1的图象，下列说法中，正确的是( D )
A．对称轴为直线x＝1
B．顶点坐标为(－2，1)
C．可以由二次函数y＝－2x2的图象向左平移1个单位得到
D．在y轴的左侧，图象上升，在y轴的右侧，图象下降
知识点二 二次函数y＝a(x－h)2 (a≠0)的图象和性质
3．已知抛物线y＝－(x＋2)2上的两点A(x1，y1)和B(x2，y2)．如果x1＜x2＜－2，那么下列结论一定成立的是( B )
A．0＜y2＜y1
B．y1＜y2＜0
C．0＜y1＜y2
D．y2＜y1＜0
4．(原创题)根据如图所示的条件变换抛物线，输出变换后抛物线的表达式．若输入的抛物线表达式为y＝－x2，则输出的抛物线表达式为 y＝－(x＋2)2 ．
解析：∵抛物线y＝－x2开口向下，有最大值，
∴将抛物线y＝－x2向左平移2个单位，
∴得到的新抛物线的表达式为y＝－(x＋2)2 .
知识点三 二次函数y＝a(x－h)2 ＋k(a≠0)的图象和性质
5．对于抛物线y＝＋3，有下列结论：①抛物线的开口向下；②对称轴为直线x＝1；③顶点坐标为(－1，3)；④当x>1时，y随x的增大而减小．其中正确的结论有( C )
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
6．已知二次函数y＝a2(x－2)2＋c(a≠0)，当自变量x分别取0，，3时，对应的值分别为y1，y2，y3，则y1，y2，y3的值用“＜”连接为 y2＜y3＜y1 ．
知识点四 二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象和性质
7.对于二次函数y＝x2－2x＋3的图象，下列说法正确的是( C )
A．开口向下
B．对称轴是直线x＝－1
C．顶点坐标是(1，2)
D．与y轴的交点为(0，2)
8．已知二次函数y＝－x2＋x＋4.
(1)试确定抛物线y＝－x2＋x＋4的开口方向、顶点坐标和对称轴．
(2)当x为何值时，y取最大(小)值？最大(小)值是多少？
(3)抛物线y＝－x2＋x＋4是由抛物线y＝－x2怎样平移得到的？
(4)当x取何值时，y的值随x值的增大而减小？当x取何值时，y的值随x值的增大而增大？
解：(1)∵a＝－，b＝1，c＝4，
∴－＝－＝1，
＝＝，
∴抛物线y＝－x2＋x＋4的开口向下，对称轴是直线x＝1，顶点坐标为.
(2)∵a＝－<0，对称轴是直线x＝1，
∴当x＝1时，y取最大值，最大值是.
(3)∵y＝－x2＋x＋4＝－(x－1)2＋，
∴将抛物线y＝－x2先向右平移1个单位，再向上平移个单位，得到抛物线y＝＋x＋4.
(4)∵a＝－<0，∴当x>1时，y的值随x值的增大而减小；当x<1时，y的值随x值的增大而增大．
9．二次函数y＝ax2＋bx＋c的部分图象如图所示，则下列说法中不正确的是( C )
A．abc＞0
B．2a－b＝0
C．当x＜1时，y＞0
D．9a－3b＋c＝0
10．(原创题)如图，在平面直角坐标系中，有两条位置确定的抛物线y＝(x－h)2＋k与y＝－(x＋m)2＋n，表达式中的h，k，m，n都是常数，则下列关系不正确的是( D )
A．hk＜mn B．hkmn＜0
C．h＋m＞0 D．k＝n
11．如图，抛物线y＝a(x－1)2＋4与 x轴交于点A，B，与y轴交于点C，过点C作CD∥x轴交抛物线的对称轴于点D，连接BD，已知点A的坐标为(－1，0)．求：
(1)该抛物线的函数表达式；
(2)梯形COBD的面积．
解：(1)将A(－1，0)代入y＝a(x－1)2＋4，得0＝4a＋4，
解得a＝－1，
∴抛物线的函数表达式为y＝－(x－1)2＋4.
(2)对于抛物线y＝－(x－1)2＋4，令x＝0，得y＝3，即OC＝3.
∵抛物线y＝－(x－1)2＋4的对称轴为直线x＝1，
∴CD＝1.
∵A(－1，0)，
∴B(3，0)，即OB＝3，
∴S梯形COBD＝＝6.
12．如图，已知抛物线y＝－(x－1)2＋4的顶点为A，与y轴交于点B，与x轴交于C，D两点，点P是x轴上的一个动点．
(1)指出抛物线的开口方向、对称轴、顶点坐标，并求出点B的坐标；
(2)当PA＋PB的值最小时，求点P的坐标．
解：(1)抛物线开口向下，对称轴为直线x＝1，顶点坐标为A(1，4)．
把x＝0代入y＝－(x－1)2＋4，
得y＝－(0－1)2＋4＝3，
∴点B的坐标为(0，3)．
(2)设点B关于x轴的对称点是点E.
∵B(0，3)，∴点E的坐标为(0，－3)．
连接AE交x轴于点P，此时PA＋PB的值最小．
设直线AE的表达式为y＝kx＋b.
将A(1，4)，E(0，－3)代入，
得解得
∴直线AE的表达式为y＝7x－3.
当y＝0时，x＝，
即当PA＋PB的值最小时，点P的坐标为.
【创新运用】
13．已知二次函数y＝x2－2x－3的图象为抛物线C.
(1)写出抛物线C的开口方向、对称轴和顶点坐标．
(2)当2≤x≤4时，求该二次函数的函数值y的取值范围．
(3)将抛物线C先向右平移2个单位，得到抛物线C1；再将抛物线C1向下平移1个单位，得到抛物线C2.请直接写出抛物线C1，C2对应的函数表达式．
解：(1)∵y＝x2－2x－3＝(x－1)2－4，
∴抛物线C开口向上，对称轴为直线x＝1，顶点坐标为(1，－4)．
(2)∵y＝(x－1)2－4，
∴当x＞1时，y随x的增大而增大；
当x＜1时，y随x的增大而减小．
当x＝2时，y＝－3，
当x＝4时，y＝5，
∴当2≤x≤4时，二次函数的函数值y的取值范围为－3≤y≤5.
(3)∵抛物线C：y＝(x－1)2－4向右平移 2个单位得到抛物线C1，
∴C1：y＝(x－3)2－4，即y＝x2－6x＋5.
∵将抛物线C1向下平移1个单位得到抛物线C2，
∴C2：y＝(x－3)2－5，即y＝x2－6x＋4.
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