16　课时分层训练(十三)　确定二次函数的表达式（教师版）初中数学鲁教版（五四制）九年级上册

课时分层训练(十三)　确定二次函数的表达式
知识点一　已知图象上两点求二次函数的表达式
1．一个二次函数的图象的顶点坐标为(3，－1)，与y轴的交点坐标为(0，－4)，则该二次函数的表达式是(　B　)
A．y＝x2－2x＋4
B．y＝－x2＋2x－4
C．y＝－(x＋3)2－1
D．y＝－x2＋6x－12
2．若抛物线y＝ax2＋bx＋c的顶点是A(2，1)，且经过点B(1，0)，则抛物线的函数表达式为　y＝－x2＋4x－3　．
3．若抛物线的对称轴为直线x＝2，且经过点(1，4)和(5，0)，求该抛物线的函数表达式．
解：∵抛物线的对称轴为直线x＝2，∴设此二次函数的表达式为y＝a(x－2)2＋c.
将(1，4)和(5，0)代入y＝a(x－2)2＋c，
得{4＝a(1－2)2＋c，
0＝a(5－2)2＋c，
解得
∴该抛物线的函数表达式为y＝－(x－2)2＋，即y＝－x2＋2x＋.
知识点二　已知图象上三点求二次函数的表达式
4．已知二次函数的图象经过(－1，0)，(2，0)，(0，2)三点，则该函数的表达式为(　D　)
A．y＝－x2－x＋2
B．y＝x2＋x－2
C．y＝x2＋3x＋2
D．y＝－x2＋x＋2
5．已知二次函数的图象经过点(－1，－5)，(0，－4)和(1，1)，则该二次函数的表达式为(　D　)
A．y＝－6x2＋3x＋4
B．y＝－2x2＋3x－4
C．y＝x2＋2x－4
D．y＝2x2＋3x－4
6．若y＝ax2＋bx＋c，则由表格中的信息可知，y与x之间的函数关系式是(　A　)
x －1 0 1
ax2 1
ax2＋bx＋c 8 3
A．y＝x2－4x＋3
B．y＝x2－3x＋4
C．y＝x2－3x＋3
D．y＝x2－4x＋8
7．二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象经过点(－1，12)，(0，5)，且当x＝2时，y＝－3，则a＋b＋c的值为　0　．
8．已知一个二次函数图象上部分点的横坐标x与纵坐标y的对应值如表所示，求该二次函数的表达式．
x … －3 －2 －1 0 1 …
y … 0 3 4 3 0 …
解：由表格中的数据易知二次函数与x轴的交点坐标为(－3，0)，(1，0)．
设二次函数的表达式为y＝a(x＋3)(x－1)．
将点(0，3)代入y＝a(x＋3)(x－1)，
得3＝a(0＋3)(0－1)，解得a＝－1，
∴该二次函数的表达式为y＝－(x＋3)(x－1)，
即y＝－x2－2x＋3.
9．已知二次函数y＝ax2＋bx＋c，当x＝1时，有最大值8，其图象的形状、开口方向与抛物线y＝－2x2相同，则这个二次函数的表达式为　y＝－2x2＋4x＋6　．
10．如图，抛物线y＝ax2＋bx－3与y轴交于点C，与x轴交于A，B两点，OB＝OC＝3OA，则该抛物线的表达式为　y＝x2－2x－3　．
11．抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴交于点A(－3，0)，对称轴为直线x＝－1，顶点C到x轴的距离为2，求此抛物线的表达式．
解：由题意，得①
②
解方程组①，得
∴y＝－x2－x＋.
解方程组②，得
∴y＝x2＋x－，
∴该抛物线的表达式为 y＝－x2－x＋或 y＝x2＋x－.
12．小颖同学想用描点法画二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象，取自变量x的6个值，分别计算出对应的y值，如表：
x … －2 －1 0 1 2 3 …
y … 11 2 －1 2 5 m …
由于粗心，小颖算错了其中的一个y值．
(1)求该二次函数的表达式；
(2)请你指出表中算错的y值；
(3)通过计算求m的值．
解：(1)由表格可知，对称轴为直线x＝0，
∴x＝2或x＝－2时，对应的y值有一个是错误的．
将(0，－1)，(1，2)，(－1，2)代入y＝ax2＋bx＋c，
得解得
∴y＝3x2－1.
(2)当x＝2时，y＝11，
∴算错的y值为5.
(3)当x＝3时，y＝26，∴m＝26.
【创新运用】
13．如图，已知二次函数的图象经过点B(2，0)，C(0，2)，D(1，2).
(1)求该二次函数的表达式；
(2)求△ABC的面积；
(3)若P是抛物线上一点且S△ABP＝2S△ABC，这样的点P有几个？请写出它们的坐标．
解：(1)设该二次函数的表达式为y＝ax2＋bx＋c，
由题意，得
解得
∴该二次函数的表达式为y＝－x2＋x＋2.
(2)∵y＝－x2＋x＋2＝－＋，
∴对称轴为直线x＝，
∴点B(2，0)关于对称轴的对称点为A(－1，0)，
∴AB＝3，
∴S△ABC＝×3×2＝3.
(3)设点P到x轴的距离为h，
∵S△ABP＝2S△ABC，
∴×3×h＝6，
∴h＝4.
∵h＞，
∴－x2＋x＋2＝－4，
解得x1＝3，x2＝－2，
∴这样的点P有2个，点P的坐标为(－2，－4)或(3，－4)．
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