17　课时分层训练(十四)　二次函数的应用（教师版）初中数学鲁教版（五四制）九年级上册

课时分层训练(十四)　二次函数的应用
知识点一　利用二次函数解决面积的最值问题
1．用长为8 m的铝合金条制成如图所示形状的矩形窗框，使窗户的透光面积最大，那么这个窗户的最大透光面积是(　C　)
A． m2 B． m2
C． m2 D．4 m2
2．将一条长为20 cm的铁丝剪成两段，并以每一段铁丝的长度为周长各做成一个正方形，则这两个正方形面积之和的最小值是　12.5　cm2.
知识点二　利用二次函数解决利润最大问题
3．某超市销售一种商品，发现一周利润y(元)与销售单价x(元)之间的关系满足y＝－2(x－20)2＋1 558，由于某种原因，销售单价只能为 15≤x≤22，那么一周可获得的最大利润是(　A　)
A．1 558 元 B．1 550元
C．1 508元 D．20元
4．李阿姨试营一家有80间套房的旅馆．经调查得知，若把每日租金定价为160元，则可客满；而租金每涨20元，就会失去3位客人．每间住了人的客房每日所需服务、维修等各项支出共计40元．那么定价为________时，才能获得最大收益．(　C　)
A．160元 B．240元
C．360元　 D．450元
5．某宾馆有150间标准房，当标准房价格为100元时，每天都客满．市场调查表明单间房价在100～200元之间(含100元、200元)浮动时，每提高 10元，日均入住数减少6间．如果不考虑其他因素，为使客房的日营业收入最大，宾馆可将标准房价格提高(　B　)
A．100元 B．75元
C．50元 D．25元
解析：设宾馆标准房单间房价提高x个10元，则日均入住数减少6x间，日营业收入为y元．
由题意，得y＝(100＋10x)(150－6x)(0≤x≤10)，
整理，得y＝－60(x＋10)(x－25)，∴函数的对称轴为直线x＝(25－10)＝7.5，
∴当x＝7.5时，函数取得最大值．
10x＝75，
∴为使客房的日营业收入最大，宾馆可将标准房价格提高75元．
6．将进货单价为70元的某种商品按零售价100元售出时，每天能卖出20个；若这种商品的零售价在一定范围内每降价1元，其日销售量就增加2个．设单价降低x元，则每天的利润y与x之间的函数关系式是　y＝＋40x＋600　；最大利润为　800　元．
7.某旅行社组团去外地旅游，30人起组团，每人单价800元．旅行社对超过30人的团给予优惠，即旅行团每增加一人，每人的单价就降低10元．请你帮助分析一下，当旅行团的人数是多少时，旅行社可以获得最大营业额．
解：设一个旅行团的人数是x人，营业额为y元．
根据题意，得y＝x[800－10(x－30)]＝＋1 100x＝－10(x－55)2＋30 250，
故当一个旅行团的人数是55人时，旅行社可以获得最大的营业额．
知识点三　抛物线形实际问题
8．某地刀削面堪称一绝，传统的操作方法是一手托面，一手拿刀，直接将面削到开水锅里．如图，面刚被削离时与开水锅的高度差h＝0.8 m，与锅的水平距离L＝0.5 m，锅的半径R＝0.5 m.若将削出的面的运动轨迹视为抛物线，要使其落入锅中(锅的厚度忽略不计)，则其水平初速度v0不可能为(提示：h＝gt2，g＝10 m/s2，水平移动距离＝v0t)(　D　)
A．2.5 m/s B．3 m/s
C．3.5 m/s D．5 m/s
9．如图，一名学生推铅球，铅球行进高度y(m)与水平距离 x(m)之间的关系是y＝－(x－10)(x＋4)，则铅球推出的水平距离OA＝　10　m.
解析：令y＝0，则－(x－10)(x＋4)＝0，
解得x＝10或x＝－4(不合题意，舍去)，
∴A(10，0)，
∴OA＝10 m．
10．如图，某大学的校门是一抛物线形水泥建筑物，大门的地面宽度为8 m，两侧距地面4 m高处各有一个挂校名横匾用的铁环，两铁环间的水平距离为6 m．求校门的高．(结果精确到0.1 m，水泥建筑物厚度忽略不计)
解：以大门地面为x轴、以它的垂直平分线为 y轴建立平面直角坐标系，则抛物线过(－4，0)，(4，0)，(－3，4)三点．
∵抛物线关于y轴对称，可设表达式为y＝ax2＋c，则
解得
∴表达式为y＝－x2＋，
∴顶点坐标为，
即校门的高为 m≈9.1 m．
11．从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度h(m)与小球运动时间t(s)之间的函数关系如图所示．下列结论：①小球在空中经过的路程是40 m；②小球抛出3 s后，速度越来越快；③小球抛出3 s时速度为0；④小球的高度h＝30 m 时，t＝1.5 s．其中正确的是(　D　)
A．①④ B．①②
C．②③④ D．②③
12．如图，用长为18 m的篱笆(虚线部分)，两面靠墙围成矩形的苗圃．
(1)设矩形的一边长为x(m)，面积为y(m2)，求y关于x的函数表达式，并写出自变量x的取值范围．
(2)当x为何值时，所围苗圃的面积最大？最大面积是多少？
解：(1)由已知，得矩形的另一边长为(18－x)m，
则y＝x(18－x)＝－x2＋18x，
自变量x的取值范围是0＜x＜18.
(2)∵y＝－x2＋18x＝－(x－9)2＋81，
∴当x＝9时(0＜x＜18)，苗圃的面积最大，最大面积是81 m2.
13．一次足球训练中，小明从球门正前方8 m的A处射门，球射向球门的路线呈抛物线．当球飞行的水平距离为6 m时，球达到最高点，此时球离地面3 m.已知球门高OB为2.44 m，现以O为原点建立如图所示的平面直角坐标系．
(1)求抛物线的函数表达式，并通过计算判断球能否射进球门；(忽略其他因素)
(2)对本次训练进行分析，若射门路线的形状、最大高度均保持不变，则当时他应该带球向正后方移动多少米射门，才能让足球经过点O正上方2.25 m 处？
解：(1)∵8－6＝2，
∴抛物线的顶点坐标为(2，3)．
设抛物线的函数表达式为y＝a(x－2)2＋3.
将A(8，0)代入，得
36a＋3＝0，解得a＝－，
∴抛物线的函数表达式为y＝－(x－2)2＋3，即y＝－x2＋x＋.
当x＝0时，y＝＞2.44，
∴球不能射进球门．
(2)设小明带球向正后方移动m m，则移动后的抛物线的表达式为y＝－(x－2－m)2＋3.
将(0，2.25)代入，得2.25＝－(0－2－m)2＋3，
解得m＝－5(舍去)或m＝1，
∴当时他应该带球向正后方移动1 m射门，才能让足球经过点O正上方2.25 m处．
14．某县某旅行社推出“一日游”项目，团队人均报名费用y(元)与团队报名人数x(人)之间的函数关系如图所示，旅行社规定团队人均报名费用不能低于88元．旅行社收到的团队总报名费用为w(元)．
(1)求出当x≥20时，y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围．
(2)当一个团队有多少人报名时，旅行社收到的总报名费最多？总报名费最多是多少元？
解：(1)设y＝kx＋b.
把(20，120)和(32，96)代入，
得{20k＋b＝120，
32k＋b＝96，
解得
∴y与x之间的函数关系式为y＝－2x＋160.
∵旅行社规定团队人均报名费用不能低于88元，
当y≥88时，－2x＋160≥88，解得x≤36，
∴y与x之间的函数关系式为y＝－2x＋160(20≤x≤36)．
(2)由题意，得w＝xy
＝x(－2x＋160)
＝－2x2＋160x
＝－2(x2－80x＋1 600－1 600)
＝－2(x－40)2＋3 200.
∵－2＜0，
∴当x＜40时，w随x的增大而增大，
而20≤x≤36，
∴当x＝36时，w有最大值，为－2×(36－40)2＋3 200＝3 168，
∴当一个团队有36人报名时，旅行社收到的总报名费最多，总报名费最多是3 168元．
15．如图，杂技团进行杂技表演，一名演员从跷跷板右端A处恰好弹跳到人梯顶端椅子B处，其身体(看成一点)的路线是抛物线的一部分，跳起的演员距点A 所在y轴的水平距离为2.5 m时，身体离地面最高为4.75 m，已知OA＝1 m.
(1)求该抛物线的函数表达式；
(2)若人梯到起跳点A的水平距离为4 m，求人梯BC的高．
解：(1)由题意可知，抛物线的顶点坐标为(2.5，4.75).
设此抛物线的函数表达式为y＝a(x－2.5)2＋4.75.
把A(0，1)代入y＝a(x－2.5)2＋4.75，得
1＝a×(0－2.5)2＋4.75，
解得a＝－，
∴该抛物线的函数表达式为y＝－(x－2.5)2＋4.75，即y＝－x2＋3x＋1.
(2)当x＝4时，
y＝－(x－2.5)2＋4.75
＝－×(4－2.5)2＋4.75
＝，
∴人梯BC的高为 m．
【创新运用】
16．如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝6 cm，BC＝8 cm，点P从点A开始沿边AB向点B以1 cm/s的速度移动，同时点Q从点B开始沿边BC向点C以2 cm/s的速度移动，且当其中一点到达终点时，另一个点也随之停止移动．
(1)P，Q两点出发2 s时，△PBQ的面积是多少？
(2)设P，Q两点同时出发，移动的时间为t s，△PBQ的面积为S cm2，请写出S与t之间的函数关系式，并求出△PBQ面积的最大值．
解：(1)∵P，Q移动t s时，AP＝t cm，BQ＝2t cm，
则BP＝AB－AP＝(6－t)cm，
∴S△PBQ＝BP·BQ＝(6－t)·2t＝t(6－t)cm2，
∴P，Q两点出发2 s时，S△PBQ＝2×(6－2)＝8(cm2)．
(2)∵S△PBQ＝BP·BQ＝(6－t)·2t＝t(6－t)＝－t2＋6t＝－(t－3)2＋9(0＜t≤4)，
∴在移动过程中，△PBQ面积的最大值是9 cm2.
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