18　课时分层训练(十五)　二次函数与一元二次方程（教师版）初中数学鲁教版（五四制）九年级上册

课时分层训练(十五)　二次函数与一元二次方程
知识点一　二次函数与一元二次方程的关系
1．抛物线y＝x2＋2x－3与x轴的交点个数有(　C　)
A．0个 B．1个
C．2个 D．3个
2．抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的位置如图所示，则关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0根的情况是(　D　)
A．有两个不相等的实数根
B．有两个相等的实数根
C．有一个实数根
D．没有实数根
3．抛物线y＝ax2＋bx＋c经过A(2，0)，B(4，0)两点，则关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的根是　x1＝2，x2＝4　．
4.已知抛物线y＝ax2＋bx－10(a≠0)的对称轴是直线x＝2，
(1)求证：4a＋b＝0；
(2)若关于x的一元二次方程ax2＋bx－10＝0有一个根为x＝5，求方程的另一个根．
(1)证明：∵抛物线y＝ax2＋bx－10(a≠0)的对称轴是直线x＝2，
∴－＝2，
∴－b＝4a，即4a＋b＝0.
(2)解：∵关于x的方程ax2＋bx－10＝0有一个根为x＝5，
∴抛物线y＝ax2＋bx－10(a≠0)与x轴的一个交点坐标为(5，0)．
∵抛物线的对称轴是直线x＝2，
∴抛物线y＝ax2＋bx－10(a≠0)与x轴的另一个交点坐标为(－1，0)，
∴关于x的方程ax2＋bx－10＝0的另一个根为x＝－1.
知识点二　求一元二次方程的近似根
5．根据下表中二次函数y＝ax2＋bx＋c的自变量x与函数值y的对应值，判断方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0，a，b，c为常数)一个根x的范围是(　C　)
x 6.17 6.18 6.19 6.20
y －0.03 －0.01 0.02 0.04
A．6B．6.17C．6.18D．6.196．如图，以(1，－4)为顶点的二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象与x轴负半轴交于点A，则一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的正数根的取值范围是(　C　)
A．2＜x＜3 B．3＜x＜4
C．4＜x＜5 D．5＜x＜6
7．(1)请在如图的平面直角坐标系中画出二次函数y＝x2－2x的大致图象；
(2)根据方程的根与函数图象的关系，将方程x2－2x＝1的根在图上近似地表示出来(描点)；
(3)观察图象，直接写出方程x2－2x＝1的根．(结果精确到0.1)
解：(1)如图即为y＝x2－2x的大致图象．
(2)如图，点M，N即为所求．
(3)根据图象，可得x2－2x＝1的根约为x1＝－0.4，x2＝2.4.
知识点三　二次函数的综合应用
8．如图，若被击打的小球飞行高度h(m)与飞行时间t(s)具有的函数关系为h＝20t－5t2，则小球从飞出到落地所用的时间为(　B　)
A．3 s B．4 s
C．5 s D．6 s
9．已知二次函数y＝a(x－x1)(x－x2)与x轴的交点是(1，0)和(3，0)，关于x的方程a(x－x1)(x－x2)＝m(其中m＞0)的两个根分别是－1和5，关于x的方程a(x－x1)(x－x2)＝n(其中0＜n＜m)也有两个整数根，这两个整数根分别是(　C　)
A．1和4 B．2和5
C．0和4 D．0和5
10．在篮球比赛中，东东投出的球在点A处反弹，反弹后球运动的路线为抛物线的一部分(如图所示建立平面直角坐标系)，抛物线顶点为B.
(1)求该抛物线的函数表达式；
(2)当球运动到点C时被东东抢到，CD⊥x轴于点D，CD＝2.6 m．求OD的长．
解：(1)设y＝a(x－0.4)2＋3.32(a≠0)，
把x＝0，y＝3代入上式，得3＝a(0－0.4)2＋3.32，
解得a＝－2，
∴抛物线的函数表达式为y＝－2(x－0.4)2＋3.32，即y＝－2x2＋1.6x＋3.
(2)把y＝2.6代入y＝－2(x－0.4)2＋3.32，
化简，得(x－0.4)2＝0.36，
解得x1＝－0.2(舍去)，x2＝1，
∴OD＝1 m．
11．已知关于x的二次函数y＝x2－x＋a－1的图象与 x轴有两个交点，则实数a的值可能是(　A　)
A．1 B．1.5
C．2 D．2.5
解析：∵关于x的二次函数y＝x2－x＋a－1的图象与x轴有两个交点，
∴Δ＞0，∴1－4(a－1)＞0，
∴a＜，∴a的值可能是1.
12．已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，下列结论：①a＞0；②b2－4ac＞0；③4a＋b＝0；④不等式ax2＋(b－1)x＋c＜0的解集为1＜x＜3.其中正确的有(　B　)
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
13．(原创题)二次函数y＝ax2＋bx＋c自变量x与函数值y的部分对应值如表所示．
x … －2 －1 0 1 2 3 4 …
y … m－4.5 m－2 m－0.5 m m－0.5 m－2 m－4.5 …
若1＜m＜1.5，则一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的两根x1，x2的取值范围是(　D　)
A．－1≤x1≤0，2＜x2＜3
B．－1＜x1＜0，2≤x2≤3
C．－1≤x1＜0，2＜x2≤3
D．－1＜x1＜0，2＜x2＜3
解析：∵1＜m＜1.5，
∴－1＜m－2＜－0.5，0.5＜m－0.5＜1．
由表中数据可知y＝0在y＝m－2与y＝m－0.5之间，
∴对应的x的值分别在－1与0和2与3之间，
即－1＜x1＜0，2＜x2＜3.
14．可以用如下方法求方程x2－2x－2＝0的实数根的范围：
由函数y＝x2－2x－2的图象可知，
当x＝0时，y＜0，
当x＝－1时，y＞0，
∴方程有一个根在－1和0之间．
(1)参考上面的方法，求方程x2－2x－2＝0的另一个根在哪两个连续整数之间；
(2)若方程x2－2x＋c＝0有一个根在0和1之间，求c的取值范围．
解：(1)由函数y＝x2－2x－2的图象可知，
当x＝2时，y＜0，当x＝3时，y＞0，
∴方程的另一个根在2和3之间．
(2)函数y＝x2－2x＋c的图象开口向上，且对称轴为直线x＝1，
由题意，得
解得0＜c＜1.
15．如图，在一次足球比赛中，守门员在地面O处将球踢出，一运动员在离守门员8 m的A处发现球在自己头的正上方 4 m 处达到最高点M，球落地后又一次弹起．据试验测算，足球在空中运行的路线是一条抛物线，在草坪上弹起后的抛物线与原来的抛物线形状相同，最大高度减少到原来最大高度的一半．
(1)求足球第一次落地之前的运动路线的函数表达式及第一次落地点B到守门员(点O)的距离；
(2)运动员(点A)要抢到第二个落点C，他应再向前跑多少米？(假设点O，A，B，C在同一条直线上，结果保留根号)
解：(1)根据抛物线顶点为(8，4)，设足球第一次落地之前的运动路线的函数表达式为y＝＋4，由过点O(0，0)，得0＝64a＋4，
解得a＝－，
∴y＝－(x－8)2＋4，即y＝－x2＋x.
当y＝0时，－x2＋x＝0，
解得x1＝0(舍去)，x2＝16，
∴足球第一次落地之前的运动路线的函数表达式为y＝－x2＋x，第一次落地点B到守门员(点O)的距离为16 m.
(2)设第一次落地之后的运动路线的最高点为(m，2)，且函数表达式可设为y＝＋2，
由题意，得0＝－(16－m)2＋2，
解得m1＝16＋4，m2＝16－4(舍去)，
∴y＝－(x－16－4)2＋2.
当y＝0时，
0＝－(x－16－4)2＋2.
解得x＝16＋8或x＝16，
∴运动员应从点A再向前跑的距离为16＋8－8＝(8＋8)m.
【创新运用】
16．在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2－2x＋c(c为常数)的对称轴如图所示，且抛物线过点C(0，c).
(1)当c＝－3时，点(x1，y1)在抛物线y＝x2－2x＋c上，求y1的最小值；
(2)若抛物线与x轴有两个交点，自左向右分别为点A，B，且OA＝OB，求抛物线的表达式；
(3)当－1＜x＜0时，抛物线与x轴有且只有一个公共点，求c的取值范围．
解：(1)当c＝－3时，y＝x2－2x－3，
∴抛物线开口向上，当x＝1时，y有最小值，
∴y1的最小值为－4.
(2)抛物线与x轴有两个交点，分情况求解如下：
①如图1，当点A，B都在原点的右侧时，设A(m，0)．
图1
∵OA＝OB，∴B(2m，0)．
二次函数y＝x2－2x＋c的对称轴为直线x＝1，由抛物线的对称性，得1－m＝2m－1，
解得m＝，∴A.
∵点A在抛物线y＝x2－2x＋c上，
∴0＝＋c，解得c＝.
此时抛物线的表达式为y＝x2－2x＋.
②如图2，当点A在原点的左侧，点B在原点的右侧时，设A(－n，0)．
图2
∵OA＝OB，且点A，B在原点的两侧，
∴B(2n，0)．
由抛物线的对称性，得n＋1＝2n－1，
解得n＝2，∴A(－2，0)．
∵点A在抛物线y＝x2－2x＋c上，
∴0＝4＋4＋c，解得c＝－8.
此时抛物线的表达式为y＝x2－2x－8.
综上所述，抛物线的表达式为y＝x2－2x＋或y＝x2－2x－8.
(3)∵抛物线y＝x2－2x＋c与x轴有公共点，
∴b2－4ac＝4－4c≥0，
∴c≤1.
当x＝－1时，y＝3＋c；
当x＝0时，y＝c.
∵抛物线的对称轴为x＝1，且当－1＜x＜0时，抛物线与x轴有且只有一个公共点，
∴3＋c＞0且c＜0，解得－3＜c＜0，
∴c的取值范围为－3＜c＜0.
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