第二十一章 一元二次方程 单元复习题 （含答案）2025-2026学年人教版九年级数学上册

第二十一章 一元二次方程 练习
一、单选题
1．下列方程中，一定是一元二次方程的是（ ）
A． B．
C． D．
2．关于一元二次方程根的情况，下列说法正确的是（ ）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．无实数根 D．无法确定
3．解方程时，若设，则原方程可化为关于y的整式方程是（ ）
A． B．
C． D．
4．设，则方程可变形为（ ）
A． B．
C． D．
5．某市2022年底森林覆盖率为，2024年底森林覆盖率已达到．如果这两年森林覆盖率的年平均增长率为，则符合题意的方程是（ ）
A． B．
C． D．
6．若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，且关于的分式方程的解为正整数，则所有满足条件的整数的值之和是（ ）
A． B． C． D．
7．对于实数a，b定义运算“ ”为，例如：，则关于x的方程的根的情况，下列说法正确的为（ ）
A．有两个实数根 B．有两个相等的实数根
C．有两个不相等的实数根 D．没有实数根
8．关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围为（ ）
A．且 B． C． D．且
9．某小区计划在一块长、宽的长方形空地上修建三条同样宽的道路(如图)，剩余的空地上种植草坪，使草坪的面积为．设道路的宽为，则下面所列方程正确的是( )
A． B．
C． D．
10．对于一元二次方程，下列说法：
①若方程有两个不相等的实根，则方程必有两个不相等的实根；
②若是一元二次方程的根，则；
③存在实数，使得；
④若是方程的一个根，则一定有成立
其中正确的有（ ）
A．①② B．②③④ C．①②③④ D．①②③
二、填空题
11．若a，b是一元二次方程的两个实数根，则的值是 ．
12．已知，且，则的值为 ．
13．关于的一元二次方程有实数根，则实数的取值范围是 ．
14．有一个人患流感，经过两轮传染后共有81个人患流感．每轮传染中平均一个人传染几个人？设每轮传染中平均一个人传染x个人，可列方程为 ．
15．《代数学》中记载，形如的方程，求正数解的几何方法是：“如图1，先构造一个面积为的正方形，再以正方形的边长为一边向外构造四个面积为的矩形，得到大正方形的面积为，则该方程的正数解为．”小聪按此方法解关于x的方程时，构造出如图2所示的图形，已知阴影部分的面积为36，则该方程的正数的解为
三、解答题
16．解方程：
(1)；
(2)．
17．某地发生禽类疫情，当地政府和企业迅速进行了疫情排查和处置．在疫情排查过程中，某农场第一天发现3只鸡发病，到第三天时共有192只鸡发病．
(1)每只发病的鸡平均每天传染多少只鸡？
(2)若疫情得不到控制，则3天后鸡的发病数会超过1500只吗？
18．复习课上，老师展示了两道解方程的题目，如表所示：
习题1 习题2
…………第一步 …第二步 …………．第三步 ……………．第四步 整理，得……………第一步 ∵，…………第二步 ，…第三步 ∴方程有两个不相等的实数根， 即第四步
(1)分别写出习题1和习题2的解答过程是从第几步开始出现错误的；
(2)从以上两道习题中任选一题，写出解答过程．
19．已知：如图所示，在中，，点P从点A开始沿边向点B以的速度移动，点Q从点B开始沿边向点C以的速度移动，当其中一点到达终点后，另外一点也随之停止运动．
(1)如果P、Q分别从A、B同时出发，那么几秒后，的面积等于？
(2)在（1）中，的面积能否等于？请说明理由．
20．【知识技能】
材料：若关于的一元二次方程的两个根为，，则，．
材料：已知一元二次方程的两个实数根分别为，，求的值．
解：∵一元二次方程的两个实数根分别为，，∴，，
则．
【数学理解】
（1）一元二次方程的两个根为，，则_____，______．
【拓展探索】
（2）已知一元二次方程的两根分别为，，求的值．
（3）已知实数，满足，，且，求的值．
《第二十一章 一元二次方程 练习2025-2026学年人教版数学九年级上册》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 D A B C D A A D C D
1．D
【分析】本题考查了一元二次方程的定义，根据一元二次方程的定义“等号两边都是整式，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是的方程，叫做一元二次方程”依次进行判断即可．
【详解】解：A、，不是一元二次方程，选项错误，不符合题意；
B、化简为，不是一元二次方程，选项错误，不符合题意；
C、不是一元二次方程，选项错误，不符合题意；
D、，是一元二次方程，选项正确，符合题意；
故选：D．
2．A
【分析】本题考查了根据判别式判断一元二次方程根的情况，解题关键是掌握根据判别式判断一元二次方程根的情况．
先分别写出各项系数，，，再求出，根据其符号判断根的情况．
【详解】解：，
，，，
，
∴一元二次方程有两个不相等的实数根，
故选：A．
3．B
【分析】此题考查了换元法解分式方程，设，将原方程中的分式项用表示，通过代数变形消去分母，转化为整式方程．
【详解】解：设，则，
因为，
所以，
两边同乘，消去分母：，
移项整理得：．
故选：B．
4．C
【分析】本题考查了分式化简，解分式方程，换元法就是把某个式子看成一个整体，用一个字母去代替它，进行等量代换．将原方程中的换成，再去分母化简即可．
【详解】解：根据题意，得，
两边同乘，消去分母：，
移项整理得：．
故选：C．
5．D
【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用．设年平均增长率为x，根据2024年底森林覆盖率2022年底森林覆盖率，据此即可列方程求解．
【详解】解：根据题意得：，
即，
故选：D．
6．A
【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，以及分式方程的解，熟练掌握一元二次方程根的判别式与方程解的情况之间的关系是解本题的关键．由一元二次方程有两个不相等的实数根得到根的判别式大于，求出的范围，表示出分式方程的解，由解为正整数确定出的值，再求出所有满足条件的整数的值之和即可．
【详解】解：由条件可知：，解得，
分式方程，
去分母得，
解得，
分式方程的解为正整数，
为负整数，
，
，
或或，
整数或或，
当时，，则有，产生增根，故舍去，
当或时，，满足条件
则所有满足条件的整数的值之和为．
故选：A．
7．A
【分析】本题考查了新定义，根的判别式，根据新定义，转化得到一元二次方程，再根据方程的根的判别式判断即可．
【详解】解：，
，
，
，
，
原方程有两个实数根，
故选A．
8．D
【分析】本题主要考查了一元二次方根的判别式，解不等式，一元二次方程的定义等内容，解题的关键是熟练掌握一元二次方程根的判别式．
根据根的情况和一元二次方程的定义，列出不等式，然后进行求解即可．
【详解】解：根据题意得，，
解得，
当，即时，不符合题意，
∴，
综上，且，
故选：D．
9．C
【分析】本题考查一元二次方程的实际应用，利用平移和长方形的面积公式，列出一元二次方程即可．
【详解】解：设道路的宽为，由题意，得：；
故选C．
10．D
【分析】此题考查了一元二次方程综合．熟练掌握方程解的含义，根与判别式的关系，根与系数的关系，是解题的关键．
一元二次方程的有关性质．一元二次方程解的含义，代数变形，一元二次方程根的判别式，根与系数的关系，逐一分析每个命题的正确性，进行判断即可．
【详解】命题①：∵方程有两个不等实根，
∴根判别式．
∴原方程的判别式为，
原方程必有两个不等实根．
∴①正确．
命题②：∵是方程的根，
∴，
∴．
∴．
∴②正确．
命题③：∵，
∴．
∴，
∵，
∴，
∴．
存在实数m、n满足此条件（如取，）．
∴③正确．
命题④：∵c是方程的根，
∴，
∴．
当时，方程成立但不一定为0．
∴④错误．
综上，正确的命题为①②③，
故选：D．
11．
【分析】本题考查的是一元二次方程的解的定义和根与系数的关系，以及整体的思想，熟练掌握一元二次方程的解的定义和根与系数的关系是解本题的关键．先根据一元二次方程的解的定义得到，再根据根与系数的关系得到，然后利用整体代入的方法计算．
【详解】解：∵a，b是一元二次方程的两个实数根，
∴
∴
∵a，b是一元二次方程的两个实数根，
∴，
∴
故答案为：．
12．或
【分析】本题主要考查了因式分解法解一元二次方程以及换元法的应用，熟练掌握因式分解法解一元二次方程是解题的关键．将方程两边同时除以（，若，代入方程得，则，与矛盾），转化为关于的一元二次方程，再求解．
【详解】解：∵，，
∴，方程两边同时除以得：
，
设，则方程变为，
，
∴或，
解得或，即或，
故答案为：或．
13．
【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，一元一次不等式，解题的关键是熟练掌握一元二次方程根的判别式．
利用一元二次方程根的判别式列出不等式，然后求解即可．
【详解】解：根据题意得，
，
解得，
故答案为：．
14．
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，正确理解题意是解题的关键．设每轮传染中平均一个人传染了x个人，分别求出第一轮和第二轮传染后患流感的人数，即得方程．
【详解】解：设每轮传染中平均一个人传染了x个人，第一轮传染后患流感的人数为：，第二轮传染后患流感的人数为：，经过两轮传染后共有81人患了流感，可列方程为：．
故答案为：．
15．/
【分析】本题考查了利用图形求一元二次方程的解，先把方程化为指定的形式，根据题意，得，确定，继而得到大正方形的面积为，从而得到方程的正数解为计算即可．
【详解】解：由得，
∵阴影部分的面积为，
∴，
根据题意，得，
∴，
∴大正方形的面积为，
∴方程的正数解为，
故答案为：．
16．(1)，
(2)，
【分析】本题考查了公式法求解一元二次方程，因式分解法求解一元二次方程，解题关键是掌握上述一元二次方程求解方法．
（1）用公式法求解；
（2）用因式分解法求解．
【详解】（1）解：，
，，，
，
，
即，；
（2），
移项，得，
所以，
所以或，
解得：，．
17．(1)每只发病的鸡平均每天传染7只鸡
(2)若疫情得不到控制，3天后鸡的发病数会超过1500只
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
（1）设每只发病鸡平均每天传染只鸡，根据“第一天发现3只鸡发病．到第三天共有192只鸡发病”，即可得出关于的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论；
（2）根据3天后鸡的发病数天后鸡的发病数，即可求出3天后鸡的发病数，再将其与1500进行比较即可得出结论．
【详解】（1）解：设每只发病鸡平均每天传染只鸡，
依题意，得：，
解得：， （不合题意，舍去）．
答：每只发病的鸡平均每天传染7只鸡．
（2）解：（只），．
答：若疫情得不到控制，3天后鸡的发病数会超过1500只．
18．(1)习题1从第一步开始出现错误；习题2从第二步开始出现错误；
(2)见解析．
【分析】此题考查了解一元一次方程和解一元二次方程，熟练掌握解方程的步骤和方法是关键．
（1）根据解方程的步骤进行判断即可；
（2）按照正确的步骤和方法解方程即可．
【详解】（1）解：习题1去分母时常数项没有乘以分母的最小公倍数，即从第一步开始出现错误；习题2常数项判断错误，即从第二步开始出现错误；
（2）
…………第一步
…第二步
…………．第三步
……………．第四步
整理，得……………第一步
∵，…………第二步
，…第三步
∴方程有两个不相等的实数根，
则
即第四步．
19．(1)1秒后的面积等于
(2)的面积不可能等于，理由见解析
【分析】此题主要考查了一元二次方程的应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
（1）设经过x秒钟，的面积等于，根据点P从A点开始沿边向点B以的速度移动，点Q从B点开始沿边向点C以的速度移动，表示出和的长可列方程求解．
（2）通过根的判别式即可判定能否达到，即可作答．
【详解】（1）解：∵其中一点到达终点后，另外一点也随之停止运动
∴
设经过x秒以后面积为，
则，
整理得：，
∴
解得：（舍去），
答：1秒后的面积等于；
（2）解：的面积不能等于，理由如下：
设经过t秒以后面积为，
则，
整理得：，
，
∴此方程无解，
故的面积不能等于．
20．（），；（）；（）．
【分析】本题考查了根与系数的关系，通过完全平方公式进行变形求值，掌握一元二次方程根与系数的关系是解题的关键．
（）利用根与系数的关系即可求解；
（）根据根与系数的关系得，，由，再代入即可求解；
（）根据题意可得、可看作方程的两根，则，，由，再代入即可求解．
【详解】解：（）根据根与系数的关系得，；
故答案为：，；
（）根据根与系数的关系得，，
∴
；
（）∵实数，满足，，且，
∴、可看作方程的两根，
∴，，
∴
，
∴．