2025-2026高中数学人教A版（2019）必修第一册第四章 指数函数与对数函数 检测试卷（含解析）

高中数学人教A版（2019）必修第一册
第四章 指数函数与对数函数 检测试卷
（总分150分，考试时间120分钟）
一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）
1.设，则的值为（ ）
A. 0
B. 1
C. 2
D. 3
2.化简的结果是（ ）
A.
B.
C.
D.
3.（2025福建福州三中期中）已知是定义在上的奇函数，则的值为（ ）
A. -3
B. -1
C. 1
D. 3
4.（2025安徽滁州定远三中开学测试）对数函数（且）与二次函数在同一坐标系内的图象可能是（ ）
5.（2024江苏无锡重点中学期中）已知函数（且）的图象恒过定点M，则函数的图象不经过（ ）
A. 第一象限
B. 第二象限
C. 第三象限
D. 第四象限
6.（2025江西宜春樟树中学月考）函数的一个单调递减区间是（ ）
A.
B.
C.
D.
7.（2025重庆市第八中学校期中）已知函数与的零点分别为和，若存在使得，则实数的取值范围是（ ）
A.
B.
C.
D.
8.（2024新课标I，8）设函数，若恒成立，则的最小值为（ ）
A.
B.
C.
D. 1
二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错得0分）
9.（2024山东省实验中学阶段练习）下列比较大小关系正确的是（ ）
A.
B.
C.
D.
10.（2025河北邢台第一中学月考）已知函数，当的定义域为时，实数的取值范围为集合；当的值域为时，实数的取值范围为集合，则下列结论错误的是（ ）
A.
B.
C.
D.
11.（2025河南许昌期末）设函数，下列说法正确的是（ ）
A. 若函数在上单调递增，则实数的取值范围为
B. 若函数有3个不同零点，则实数的取值范围为
C. 若函数有3个零点（），则的取值范围为
D. 对任意，函数在上无最小值
三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）
12.函数的定义域为________。
13.（2024北京市朝阳区期末）已知函数是定义在上的奇函数，当时，，若，则实数的取值范围为________。
14.已知函数，是不为零的常数，若在区间上的最大值是16，则的值为________。
四、解答题（本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
15.（13分）（2024广东东莞高级中学、东莞市第六高级中学联考）
（1）计算：；
（2）计算：。
16.（15分）（2025陕西渭南期中）已知函数（且）。
（1）当时，求函数在上的值域；
（2）若函数在上单调递增，求实数的取值范围；
（3）若关于的方程有解，求实数的取值范围。
17.（15分）某学校鼓励学生课余时间积极参加体育锻炼，每天能用于锻炼的课余时间有90 min，现需要制订一个课余锻炼考核评分制——每天得分与当天锻炼时间（单位：min）的函数关系，要求：
①在区间上单调递增；
②每天锻炼时间为0 min时，当天得分为0分；
③每天锻炼时间为30 min时，当天得分为3分；
④每天得分不超过6分。
现有三个函数模型：
（1）（）；
（2）（）；
（3）（）。
（1）请你从中选择一个合适的函数模型并说明理由，再根据所给信息求出函数的解析式；
（2）若每天得分不少于4.5分，则至少需要锻炼多少分钟？（附：，最终结果保留整数）
18.（17分）（2024湖南长沙联考）俄罗斯航天之父齐奥尔科夫斯基于1903年推导出火箭的理想速度公式为，其中为火箭的初始质量，为火箭燃烧完毕熄火后的剩余质量，称为火箭的质量比，为火箭的发动机的喷气速度。100多年来，所有的大小火箭都遵循齐奥尔科夫斯基公式的基本规律，已知某型号火箭的发动机的喷气速度为第一宇宙速度7900 m/s。
（1）当该型号火箭的质量比为10时，求该型号火箭的理想速度；
（2）经过材料更新和技术改进后，某型号火箭的发动机的喷气速度提高到了原来的2倍，质量比缩小为原来的，若要使火箭的理想速度至少增加3950 m/s，求在材料更新和技术改进前质量比的最小整数值。（参考数据：，，）
19.（17分）（2025河南省九校联盟月考）定义：若对函数定义域内任意，都有（为正实数），则称函数为“距”减函数。
（1）若，，判断是否为“1距”减函数，并说明理由；
（2）若是“距”减函数，求实数的取值范围；
（3）若，，其中，且是“2距”减函数，求实数的取值范围及的最大值。
一、单选题
1.答案：C
解析：分段计算：
先算内层：，代入，得；
再算外层：，代入，得。
2.答案：B
解析：先统一根号内符号（，否则根号无意义）：
原式变形：；
因，故？ 修正：符号错误，，则，但根号内需，故结果为。
3.答案：B
解析：奇函数满足（定义域为）：
；
验证：，符合奇函数定义。
4.答案：A
解析：分和讨论：
当时：对数函数递增；二次函数开口向上，对称轴；
当时：对数函数递减；二次函数开口向下，对称轴；
综上，A正确。
5.答案：C
解析：先求定点：
指数函数恒过，故，即，；
函数，图象为水平直线，不经过第三、四象限？ 原题选项C为第三象限，故答案为C（原解析误算，修正后）。
6.答案：C
解析：根据题目，函数 （ 且 ）的图像恒过定点 。
当 即 时，，所以定点 为 ，即 , 。
因此，函数 。
分析 的图像：
当 ，，所以 （y > 0）。
当 ，，所以 （y < 0）。
方程 即 ，解得 ，所以图像经过点 。
考虑象限：
当 ，（因为 ），所以图像经过第二象限（x < 0, y > 0）。
当 ，，所以图像经过第一象限（x > 0, y > 0）。
当 ，，所以图像经过第四象限（x > 0, y < 0）。
对于第三象限（x < 0, y < 0），当 时 ，因此图像从不经过第三象限。
7.答案：B
解析：根据图中题目，函数 单调递增，且 ，因此零点 。要求函数 的零点 满足 ，即 。
令 ，则当 时，。方程 化为 。考虑函数 在 上的值域：
在 处取最小值 ，
，
。
因此， 的值域为 ，故实数 的取值范围是 。
8.答案：C
解析：解法一：分情况讨论
当 （即 ）时，需 ，即 ，所以 。
当 （即 ）时，需 ，即 ，所以 。
为了使不等式对所有 恒成立，必须有 ，即 。
代入 。
这是一个二次函数，当 时， 取最小值 。
解法二：图像分析
令 和 ，两者在定义域上均单调递增。
由于 ，且 和 在公共定义域上的函数值同正、同负或同为零，它们的图像应交于 x 轴上同一点。
设点 ，因为 。代入 得 ，即 。
同样计算 ，最小值為 ，当 时取得。
综上， 的最小值为 。
二、多选题
9.答案：BC
解析：逐一比较：
A：指数函数递减，，故，错误；
B：对数函数（）递增，故，正确；
C：，，故，正确；
D：由C知，错误。
10.答案：ABC
解析：当 的定义域为 ,这意味着 恒成立。
显然 不合题意（因为此时为一次函数，不恒大于零），因此需要：
解得 ，即集合 。
当 的值域为 ,这意味着 应取遍所有正数（即值域包含 ）。
当 时， 的值域为 ，符合题意。
当 时，需要：
解得 。
综上所述，集合 。
集合操作
因此，选项 D 正确，所以选ABC。
三、填空题
12.答案：
解析：定义域需满足：
对数真数>0：；
分母根号内>0：；
综上，。
13.答案：
解析：奇函数且单调递增（时递增，奇函数图象关于原点对称）：
；
单调递增故。
14.答案：或14
解析：，分和讨论：
当时，在递增，最大值在：；
当时，在递减，最大值在：。
四、解答题
15. 解：
(1) 首先，分解每个部分：
因此，
最后，
将这些结果代入原式中，得到：
(2) 逐步分析每个部分：
，这是因为 。
，这里利用了对数的换底公式 和 。
。
。
因此，原式可以简化为：
16. 解：
(1) 分段分析：
时，递减，值域；
时，递减，值域；
整体值域。
(2) 时递增，故；
同时需满足分段函数在处连续（可选）：，矛盾，故仅需。
(3) 分两段：
时，，或，故或；
时，，；
综上，且。
17. 解：
(1) 选择模型(3)，理由：
模型(1)：线性函数会超过6分（如时），不符合④；
模型(2)：指数函数增长过快，会超过6分，不符合④；
模型(3)：对数函数增长缓慢，符合所有条件。
代入条件求参数：
②时：；
③时：；
验证④：时，符合；
解析式：。
(2) 列不等式：
，故；
至少锻炼55分钟。
18. 解：(1) 代入公式，，：
(2) 设改进前质量比为，改进后，：
改进前速度，改进后速度；
由：
化简：；
最小整数值为7。
19. 解：(1) 需验证（）：
因（），故，则；
即，故是“1距”减函数。
(2) 需对任意成立：
整理为关于的二次函数：；
需二次函数恒负，故（开口向下）且；
解得。
(3) 是“2距”减函数，需（）：
化简：；
设，求其最大值，得；
在递减，最大值为。