34　专项突破提升(一)　构造全等三角形的方法（教师版）初中数学鲁教版（五四制）七年级上册

专项突破提升(一)　构造全等三角形的方法
方法一　补形法
1．(8分)如图，∠BAC＝90°，AB＝AC，BD是∠ABC的平分线，且CE⊥BD，交BD的延长线于点E.试说明：BD＝2CE.
解：如图，延长CE与BA的延长线相交于点F.
因为CE⊥BE，∠BAC＝90°，
所以∠ABD＋∠F＝90°，∠ACF＋∠F＝90°.
所以∠ABD＝∠ACF.
在△ABD和△ACF中，
所以△ABD≌△ACF(ASA)．
所以BD＝CF.
因为BD是∠ABC的平分线，
所以∠EBC＝∠EBF.
在△BCE和△BFE中，
所以△BCE≌△BFE(ASA)．
所以CE＝EF.
所以CF＝2CE.
所以BD＝CF＝2CE.
2．(8分)如图，△ABC为等边三角形，延长BC到点D，延长BA到点E，使AE＝BD，连接EC，ED.试说明：CE＝DE.
解：如图，延长BD至点F，使DF＝BC，连接EF.
因为AE＝BD，△ABC为等边三角形，
所以DF＝BC＝AB，∠B＝60°.
所以AE＋AB＝BD＋DF，即BE＝BF.
所以△BEF为等边三角形．
所以∠F＝60°，BE＝EF.
在△ECB和△EDF中，
所以△ECB≌△EDF(SAS)．
所以CE＝DE.
方法二　截长补短法
3．(8分)如图，在△ABC中，∠A＝60°，BD，CE分别平分∠ABC和∠ACB，BD，CE相交于点O，试判断BE，CD，BC的数量关系，并说明理由．
解：BE＋CD＝BC.理由如下：
如图，在BC上取点G，使CG＝CD.
因为BD，CE分别平分∠ABC和∠ACB，
所以∠EBO＝∠GBO，∠DCO＝∠GCO.
所以∠BOC＝180°－(∠ABC＋∠ACB)＝180°－×(180°－60°)＝120°.
所以∠BOE＝∠COD＝60°.
在△COD和△COG中，
所以△COD≌△COG(SAS)．
所以∠COG＝∠COD＝60°.
所以∠BOG＝120°－60°＝60°＝∠BOE.
在△BOE和△BOG中，
所以△BOE≌△BOG(ASA)．
所以BE＝BG.
所以BE＋CD＝BG＋CG＝BC.
4．(8分)如图，在△ABC中，∠A＝100°，AB＝AC，BE是∠ABC的平分线．试说明：AE＋BE＝BC.
解：如图，延长BE到点F，使BF＝BC，连接FC，在BC上取CF′＝CF，连接EF′.
因为AB＝AC，∠A＝100°，
所以∠ABC＝∠ACB＝40°.
因为BE平分∠ABC，
所以∠ABE＝∠EBC＝20°.
因为BF＝BC，
所以∠F＝∠BCF＝80°.
所以∠FCE＝∠ACB＝40°.
在△FCE和△F′CE中，
所以△FCE≌△F′CE(SAS)．
所以EF＝EF′，∠EF′C＝∠F＝80°.
所以∠BF′E＝100°.
所以∠A＝∠BF′E.
在△ABE和△F′BE中，
所以△ABE≌△F′BE(AAS)．
所以AE＝EF′.所以AE＝EF.
所以AE＋BE＝EF＋BE＝BF＝BC.
5．(8分)如图，在△ABC中，BE，CF分别是AC，AB两边上的高，在BE上截取BD＝AC，在CF的延长线上截取CG＝AB，连接AD，AG.试说明：AD＝AG.
解：因为BE⊥AC，CF⊥AB，
所以∠HFB＝∠HEC＝90°.
又因为∠BHF＝∠CHE，
所以∠ABD＝∠GCA．
在△ABD和△GCA中，
所以△ABD≌△GCA(SAS)．
所以AD＝AG.
6．(8分)如图，在△ABC(AB≠AC)中，点D，E在边BC上，且DE＝EC，过点D作DF∥BA，交AE于点F，DF＝AC.试说明：AE平分∠BAC.
解：如图，延长FE到点G，使EG＝EF，连接CG.
在△DEF和△CEG中，
所以△DEF≌△CEG(SAS)．
所以DF＝GC，∠DFE＝∠G.
因为DF∥AB，
所以∠DFE＝∠BAE.
所以∠G＝∠BAE.
因为DF＝AC，
所以GC＝AC.
所以∠G＝∠CAE.
所以∠BAE＝∠CAE，
即AE平分∠BAC.
7．(8分)如图，在正方形ABCD中，E为BC上的一点，F为CD上的一点，BE＋DF＝EF，求∠EAF的度数．
解：如图，延长EB到点G，使得BG＝DF，连接AG.
易知在△ABG和△ADF中，
所以△ABG≌△ADF(SAS)．
所以∠DAF＝∠BAG，AF＝AG.
因为BE＋DF＝EF，所以BE＋BG＝EF，
即EG＝EF.
在△AEG和△AEF中，
所以△AEG≌△AEF(SSS)．
所以∠EAG＝∠EAF.
因为∠DAF＋∠EAF＋∠BAE＝90°，
所以∠EAG＋∠EAF＝90°.
所以∠EAF＝45°.
方法三　倍长中线法
8．(10分)如图，在△ABC中，AD是边BC上的中线，E是AD上一点，延长BE交AC于点F.
(1)若BE＝AC，试说明：AF＝EF；
(2)若AF＝EF，试说明：BE＝AC.
解：(1)如图，延长AD到点G，使得AD＝DG，连接BG.
因为AD是边BC上的中线，
所以DC＝DB.
在△ADC和△GDB中，
所以△ADC≌△GDB(SAS)．
所以∠CAD＝∠G，BG＝AC.
又因为BE＝AC，
所以BE＝BG.
所以∠BED＝∠G.
因为∠BED＝∠AEF，
所以∠AEF＝∠CAD，
即∠AEF＝∠FAE.
所以AF＝EF.
(2)如图，延长AD到点G，使得AD＝DG，连接BG.
因为AD是边BC上的中线，
所以DC＝DB.
在△ADC和△GDB中，
，
所以△ADC≌△GDB(SAS)．
所以∠CAD＝∠G，BG＝AC.
因为AF＝EF，
所以∠AEF＝∠EAF.
所以∠G＝∠AEF＝∠BEG.
所以BE＝BG.
所以BE＝AC.
9．(10分)如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，E为CD的中点，连接AE并延长交BC的延长线于点F，连接BE，且BE⊥AF.试说明：
(1)FC＝AD；
(2)AB＝BC＋AD.
解：(1)因为AD∥BC，
所以∠ADE＝∠FCE.
因为E是CD的中点，
所以DE＝CE.
在△ADE和△FCE中，
所以△ADE≌△FCE(ASA)．
所以FC＝AD.
(2)因为△ADE≌△FCE，
所以AE＝FE.
又因为BE⊥AE，
所以∠AEB＝∠FEB＝90°，且BE＝BE，AE＝FE.
所以△AEB≌△FEB(SAS)．
所以AB＝BF.
所以AB＝BF＝BC＋CF.
因为AD＝FC，
所以AB＝BC＋AD.
方法四　旋转法
10．(8分)如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，E为△ABC外一点，且∠CEA＝45°.试说明：AE⊥BE.
解：如图，过点C作CF⊥CE交EA的延长线于点F.
因为∠CEA＝45°，
所以∠F＝45°＝∠CEA．
所以CF＝CE.
因为∠FCA＋∠ACE＝∠ACE＋∠ECB＝90°，
所以∠FCA＝∠ECB.
在△FCA和△ECB中，
所以△FCA≌△ECB(SAS)．
所以∠BEC＝∠F＝45°.
所以∠AEB＝∠AEC＋∠BEC＝90°，
即AE⊥BE.
11．(12分)如图，在△OAB和△OCD中，OA＝OB，OC＝OD，∠AOB＝∠COD＝α，AC，BD交于点M.
图1
　
图2
　
图3
(1)如图1，当α＝90°时，∠AMD的度数为　90°　．
(2)如图2，当α＝60°时，求∠AMD的度数．
(3)如图3，当△OCD绕点O旋转任意角度时，∠AMD与α是否存在着某种确定的数量关系？若存在，请你用α表示∠AMD，并用图3进行说明；若不存在，请说明理由．
解：(1)如图1，设OA交BD于点K.
图1
因为∠AOB＝∠COD＝α，
所以∠BOD＝∠AOC.
在△AOC和△BOD中，
，
所以△AOC≌△BOD(SAS)．
所以∠OAC＝∠OBD.
因为∠AKM＝∠BKO，
所以∠AMK＝∠BOK＝90°.
所以∠AMD＝180°－90°＝90°.
故答案为：90°.
(2)如图2，设OA交BD于点K.
图2
因为∠AOB＝∠COD＝α，
所以∠BOD＝∠AOC.
在△AOC和△BOD中，
所以△AOC≌△BOD(SAS)．
所以∠OAC＝∠OBD.
因为∠AKM＝∠BKO，
所以∠AMK＝∠BOK＝60°.
所以∠AMD＝180°－60°＝120°.
(3)存在．∠AMD＝180°－α.
如图3，设AC交OB于点K.
图3
因为∠AOB＝∠COD＝α，
所以∠BOD＝∠AOC.
在△AOC和△BOD中，
所以△AOC≌△BOD(SAS)．
所以∠OAC＝∠OBD.
因为∠AKO＝∠BKM，
所以∠BMK＝∠AOK＝α.
所以∠AMD＝180°－α.
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