39　思想方法集锦（教师版）初中数学鲁教版（五四制）七年级上册

思想方法集锦
(时间：90分钟　满分：110分)
方法一　分类讨论思想
1．(4分)若等腰三角形两边的长x，y满足|x2－9|＋(y－4)2＝0，则三角形的周长为(　D　)
A．10 B．11
C．12 D．10或11
解析：因为|x2－9|＋(y－4)2＝0，
所以x2－9＝0，y－4＝0.
所以x＝3或x＝－3(舍去)，y＝4.
分两种情况：
当等腰三角形的腰长为4，底边长为3时，
等腰三角形的周长为4＋4＋3＝11.
当等腰三角形的腰长为3，底边长为4时，
等腰三角形的周长为3＋3＋4＝10.
综上所述，等腰三角形的周长是10或11.
2．(4分)若等腰三角形的一个内角为50°，则这个等腰三角形的顶角为(　D　)
A．50° B．80°
C．100° D．50°或80°
3．(4分)若直角三角形的两边长分别为3和5，则第三边长为(　C　)
A．4 B．
C．4或 D．7
4．(14分)如图，在平面直角坐标系中，直线l1：y＝kx＋b与x轴交于点A(－6，0)，与直线l2：y＝－2x交于点C(a，4)，E为x轴上的一个动点．
(1)求直线l1的函数表达式；
(2)若点E的坐标为(3，0)，过点E作直线l⊥x轴，分别交直线l1，l2于点F，G，求△CFG的面积；
(3)若以C，A，E为顶点的三角形为直角三角形，求点E的坐标．
解：(1)将C(a，4)代入y＝－2x，得－2a＝4，解得a＝－2.所以C(－2，4)．
将A(－6，0)代入y＝kx＋b，得－6k＋b＝0，即b＝6k.
将C(－2，4)代入y＝kx＋b，得－2k＋b＝4，即－2k＋6k＝4，解得k＝1，b＝6.
所以直线l1的函数表达式为y＝x＋6.
(2)如图．
当x＝3时，y＝3＋6＝9，
所以F(3，9)．
当x＝3时，y＝－2x＝－6，
所以G(3，－6)．所以FG＝15.
所以S△CFG＝×15×5＝.
(3)如图．
当∠AE′C＝90°时，E′(－2，0)．
当∠ACE″＝90°时，
因为AE′＝CE′＝4，
所以∠ACE′＝45°.
所以∠E′CE″＝45°.
所以E′E″＝CE＝4.
所以E″(2，0)．
由题意知∠CAE不可能为90°.
综上，点E的坐标为(－2，0)或(2，0)．
方法二　数形结合思想
5．(12分)数形结合思想是一种数学思想方法．数与形是数学中的两个基本的研究对象，它们在一定条件下可以相互转化——可以借助于数的精确性来阐明形的某些属性，或者借助形的几何直观性来阐明数之间的某种关系．
(1)勾股定理的验证方法有很多种，如图1，将两个全等的直角三角形拼成一个直角梯形．请用两种不同的方法表示出梯形的面积，从而验证出勾股定理．
(2)如图2，若线段AB上有一点C，AB＝40，AC＝x，BC＝y，求的最小值．
图1
图2
解：(1)根据题意，
梯形的面积①：×2＋；
梯形的面积②：(a＋b)(a＋b)×.
所以×2＋＝(a＋b)(a＋b)×，
即a2＋b2＝c2.
(2)如图，在线段AB上，作AM⊥AB，BN⊥AB，且AM＝4，BN＝5.
已知AC＝x，BC＝y，且x＋y＝40.
根据勾股定理，得MC＝，NC＝，
故＝MC＋NC.
如图，作点M关于AB的对称点H，BK⊥AB，且BK＝AH，
所以＝MC＋NC＝HC＋NC.
当且仅当C，H，N三点共线，即点C与点G重合时，才取得最小值，即＝MC＋NC＝HG＋GN＝HN.
在Rt△HNK中，HN＝＝＝.
所以的最小值为.
6．(12分)若a，b都是实数，设点P(a，b)，若满足3a＝2b＋5，则称点P为“梦想点”．
(1)判断点A(3，2)是否为“梦想点”；
(2)若点Q(m－1，3m＋2)是“梦想点”，请判断点Q在第几象限，并说明理由．
解：(1)当点A的坐标为(3，2)时，
有3×3＝2×2＋5成立，
所以点A(3，2)是“梦想点”．
(2)点Q在第三象限．理由如下：
因为点Q(m－1，3m＋2)是“梦想点”，
所以3(m－1)＝2(3m＋2)＋5，
解得m＝－4.
m－1＝－5，3m＋2＝－10，
所以Q(－5，－10)．
所以点Q在第三象限．
7．(10分)如图，将一张长方形纸片斜折过去，使顶点A落在A′处，BC为折痕，然后再把BE折过去，使之落在BA′所在直线上，折痕为BD.若∠ABC＝58°，求∠E′BD的度数．
解：由折叠的性质，得∠ABC＝∠CBA′，∠DBE＝∠DBE′.
又因为∠ABC＋∠CBA′＋∠DBE＋∠DBE′＝180°，
所以∠CBA′＋∠DBE′＝90°.
又因为∠CBA′＝∠ABC＝58°，
所以∠E′BD＝32°.
方法三　转化思想
8．(4分)如图，点A的坐标为(0，1)，B是x轴正半轴上的一个动点，以AB为边作等腰直角三角形ABC，使∠BAC＝90°.设点B的横坐标为x，点C的纵坐标为y，则y关于x的函数表达式是　y＝x＋1(x>0)　．
9．(10分)小明在学习的过程中，遇到了一个问题：如图，在四边形ABCD中，∠B＝∠C＝90°，E是BC上一点，且AE平分∠BAD，DE平分∠ADC.试说明：AD＝AB＋CD.
他的思路是：首先过点E作AD的垂线，将其转化为求三角形全等，然后根据全等三角形的对应边相等，使问题得到解决．请根据小明的思路完成下面的作图与填空．
解：用不带刻度的直尺和圆规，过点E作AD的垂线EF，垂足为点F(只保留作图痕迹)．
因为EF⊥AD，
所以∠DFE＝90°.
又因为∠C＝90°，
所以　∠DFE＝∠C　．
因为DE平分∠ADC，
所以　∠FDE＝∠CDE　．
又因为　DE＝DE　，
所以△DEF≌　△DEC　(AAS)．
所以FD＝CD.
同理可得　AF＝AB　．
所以AD＝AF＋FD＝AB＋CD.
解：如图．
10．(12分)观察下列各式，并用所得到的规律解决问题．
①≈0.264 6，则≈2.646，≈26.46……
②≈100，＝10，＝1……
(1)发现规律：①被开方数的小数点每向右移动2位，其算术平方根的小数点向　右　移动　1　位；
②被开立方数的小数点每向左移动3位，其立方根的小数点向　左　移动　1　位．
(2)应用：①已知≈0.173 2，≈　1.732　，≈　17.32　；
②已知≈2.154，≈－0.215 4，则a＝　－0.01　．
(3)拓展：已知≈2.449，≈7.746，计算和的值．
解：(3)因为≈2.449，≈7.746，
所以＝＝2≈2×7.746＝15.492，＝＝3≈3×0.244 9＝0.734 7.
11．(12分)观察下列各式，并解答下列问题．
第1个等式：＝；
第2个等式：＝；
第3个等式：＝；
……
(1)写出第4个等式：　＝　；
(2)猜想第n个等式：
　＝　；
(3)根据上述规律，计算：＋…＋.
解：(3)＋…＋
＝＋…＋
＝
＝1－
＝.
12．(12分)观察下列各式，并解答下列问题．
当n＝2时，2×＝；①
当n＝3时，3×＝；②
当n＝4时，4×＝；③
……
(1)针对上述各式的规律，请写出当n＝5时的式子；
(2)请写出满足上述规律的等式(用含n的式子表示，n为自然数且n≥2)，并说明此等式成立．
解：(1)根据题意可知，当n＝5时，5×＝.
(2)观察可得n＝(n为自然数且n≥2)．说明过程如下：
＝
＝＝n，
即n＝.
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