40　创新考向集训（教师版）初中数学鲁教版（五四制）七年级上册

创新考向集训
(时间：90分钟　满分：112分)
创新考向一　规律探究
1．(4分)如图，点P在平面直角坐标系中按图中箭头所示方向运动，第1次从原点运动到点(1，1)，第2次接着运动到点(2，0)，第3次接着运动到点(3，2)……按这样的运动规律，经过第2 025次运动后动点P的坐标是　(2_025，1)　．
解析：由题意，得p1(1，1)，p2(2，0)，p3(3，2)，p4(4，0)，p5(5，1)……
可以看出点P的运动，横坐标为点P运动的第几次，纵坐标为1，0，2，0的循环，
2 025÷4＝506……1.
所以经过第2 025次运动后动点P的坐标是(2 025，1)．
2．(12分)在平面直角坐标系中，一只蚂蚁从原点O出发，按向上、向右、向下、向右的方向依次不断移动，每次移动1个单位长度，其行走路线如图所示．
(1)填写下列各点的坐标：A4(　2，0　)，A8(　4，0　)，A10(　5，1　)，A12(　6，0　)；
(2)写出点A4n的坐标(n是正整数)；
(3)指出蚂蚁从点A2 023到点A2 024的移动方向．
解：(1)由题图可知，A4，A8，A12都在x轴上，
因为小蚂蚁每次移动1个单位长度，
所以OA4＝2，OA8＝4，OA12＝6.
所以A4(2，0)，A8(4，0)，A12(6，0)．
同理可得A10(5，1)．
故答案为：2，0；4，0；5，1；6，0.
(2)根据(1)可知OA4n＝4n÷2＝2n，
所以点A4n的坐标为(2n，0)．
(3)因为2 023÷4＝505……3，
所以从点A2 023到点A2 024的移动方向与从点A3到点A4的方向一致，为向右．
创新考向二　推理论证
3．(10分)一个直立的火柴盒在桌面上倒下，启迪人们发现了勾股定理的一种新的验证方法．如图，火柴盒的一个侧面ABCD倒下到四边形AB′C′D′的位置，连接AC′，AC，CC′，设AB＝a，BC＝b，AC＝c.请利用四边形BCC′D′的面积验证勾股定理．
解：四边形BCC′D′为直角梯形，
所以S梯形BCC′D′＝(BC＋C′D′)·BD′＝.
又因为∠AB′C′＝90°，Rt△ABC≌Rt△AB′C′，所以∠BAC＝∠B′AC′.
所以∠CAC′＝∠CAB′＋∠B′AC′＝∠CAB′＋∠BAC＝90°.
所以S梯形BCC′D′＝S△ABC＋S△CAC′＋S△D′AC′
＝ab＋c2＋ab
＝.
所以＝.
所以a2＋b2＝c2.
4．(10分)如图，在四边形ABCD中，AB＝AD，CB＝CD，我们把这种两组邻边分别相等的四边形称为筝形．根据以往的学习经验，小颖对筝形的性质进行了探究．她通过观察、试验、猜想、验证得到筝形的性质是“筝形有一组对角相等”．请你帮她将解题过程补充完整．
已知：如图，在筝形ABCD中，AB＝AD，CB＝CD.
试说明：　∠B＝∠D　．
解：
解：如图，连接AC.
在△ABC和△ADC中，
所以△ABC≌△ADC(SSS)．
所以∠B＝∠D.
创新考向三　新定义
5．(14分)对于平面直角坐标系中的任意一点P(x，y)，给出如下定义：记a＝－x，b＝x－y，那么我们把点M(a，b)与点N(b，a)称为点P的一对“和美点”．例如，点P(－1，2)的一对“和美点”是点(1，－3)与点(－3，1)．
(1)点A(4，1)的一对“和美点”的坐标是　(－4，3)　与　(3，－4)　；
(2)若点B(2，y)的一对“和美点”重合，则y的值为　4　；
(3)若点C的一个“和美点”的坐标为(－2，7)，求点C的坐标．
解：(1)因为A(4，1)，
所以a＝－4，b＝4－1＝3.
所以点A(4，1)的一对“和美点”的坐标是(－4，3)与(3，－4)．
故答案为：(－4，3)；(3，－4)．
(2)因为B(2，y)，
所以a＝－2，b＝2－y.
所以点B(2，y)的一对“和美点”的坐标是(－2，2－y)和(2－y，－2)．
因为点B(2，y)的一对“和美点”重合，
所以－2＝2－y.
所以y＝4.
故答案为：4.
(3)设点C的坐标为(x，y)．
因为点C的一个“和美点”的坐标为(－2，7)，
所以有两种情况：
①若a＝－2，b＝7，则－x＝－2，x－y＝7，
解得x＝2.
将x＝2代入x－y＝7，解得y＝－5.
所以点C的坐标为(2，－5)．
②若a＝7，b＝－2，则－x＝7，x－y＝－2，
解得x＝－7.
将x＝－7代入x－y＝－2，解得y＝－5.
所以点C的坐标为(－7，－5)．
综上所述，点C的坐标为(2，－5)或(－7，－5)．
6．(14分)在平面直角坐标系中，对于点M(m，n)和点N(x，y)，给出如下定义：若则称N为M的“亲密点”．例如，点(1，3)的“亲密点”为点(5，1)．
(1)点(－2，4)的“亲密点”坐标是　(2，2)　；若点M的“亲密点”为(8，5)，则点M的坐标是　(4，7)　．
(2)如图，直线y＝x＋2交x轴于点P，点M(0，a)的“亲密点”N在直线y＝x＋2上，求a的值及△MNP的面积．
解：(2)由题意，得点M(0，a)的亲密点N为(4，a－2)．
将(4，a－2)代入y＝x＋2，得a－2＝×4＋2，解得a＝5.
所以M(0，5)，N(4，3)．
令y＝x＋2＝0，解得x＝－8.
所以点P的坐标为(－8，0)．
如图，连接MN，PM，过点N作NQ⊥x轴于点Q.
由题意，得S△MNP＝S△MPO＋S梯形MNQO－S△NQP＝MO·PO＋OQ·(NQ＋MO)－NQ·PQ＝×5×8＋×4×(3＋5)－×3×12＝18.
创新考向四　阅读感悟
7．(14分)[阅读理解]
课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：
如图1，在△ABC中，若AB＝8，AC＝6，求边BC上的中线AD的取值范围．
小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长AD到点E，使DE＝AD.
请根据小明的方法思考：
(1)由已知和作图能得到△ADC≌△EDB的依据是　SAS　．(用字母表示)
[感悟]
解题时，条件中若出现“中点”“中线”字样，可以考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所验证的结论集合到同一个三角形中．
[问题解决]
(2)如图2，在△ABC中，D是BC的中点，点M在边AB上，点N在边AC上．若DM⊥DN，试说明：BM＋CN＞MN.
图1
图2
解：(1)在△ADC和△EDB中，
，
所以△ADC≌△EDB(SAS)．
故答案为：SAS.
(2)如图，延长ND至点F，使FD＝ND，连接BF，MF.
同(1)得△BFD≌△CND(SAS)，
所以BF＝CN.
因为DM⊥DN，FD＝ND，
所以MF＝MN.
在△BFM中，由三角形的三边关系，得BM＋BF＞MF，
所以BM＋CN＞MN.
创新考向五　方案设计
8．(14分)在一个平直河岸l同侧有A，B两个村庄，A，B到l的距离分别为3 km和2 km，AB＝x km(x＞1)，现计划在河岸l上建抽水站P，用输水管道向两个村庄供水．
[方案设计]
某班数学兴趣小组设计了两种铺设管道方案：
方案一：如图1，设该方案中管道长度为d1 km，且d1＝PB＋BA，其中BP⊥l于点P.
方案二：如图2，设该方案中管道长度为d2 km，且d2＝PA＋PB，其中点A′与点A关于直线l对称，A′B与直线l交于点P.
[观察计算]
(1)在方案一中，d1＝　(x＋2)　km.(用含x的代数式表示)
(2)在方案二中，组长小强为了计算d2的长，作了如图3所示的辅助线，请你按小强同学的思路计算，d2＝　　km.(用含x的代数式表示)
[探索归纳]
(3)①当x＝4时，比较大小：d1　＜　d2；(填“＞”“＜”或“＝”)
②当x＝6时，比较大小：d1　＞　d2.(填“＞”“＜”或“＝”)
(4)当x＞1时，若用y＝表示方案一与方案二铺设管道长度的平方差，则根据整式的运算性质可得y＝　4x－20　．(用含x的代数式表示)
(5)在如图4所示的平面直角坐标系中作出函数y＝的图象，并指出要使铺设管道较短，应如何选择这两种铺设方案．
图1 图2
图3 图4
解：(4)由题意，得y＝＝(x＋2)2－()2＝4x－20.
故答案为：4x－20.
(5)作函数的图象如图所示．
由图象可知，当x＞5时＞0，
即(d1＋d2)(d1－d2)＞0，所以d1＞d2.
当x＝5时＝0，
同理可得d1＝d2.
当1同理可得d1＜d2.
综上所述，当x＞5时，选择方案二；当x＝5时，选择方案一或方案二均可；当1＜x＜5时，选择方案一．
创新考向六　跨学科
9．(4分)如图1是某湖最深处的一个截面图，湖面下任意一点A的压强p(cmHg)与其离湖面的深度h(m)之间的关系式为p＝kh＋p0，其图象如图2所示，其中p0为湖面大气压强，k为常数，且k＞0.若点M的坐标为(34.5，312)，根据图中信息分析，下列结论正确的是(　B　)
图1
　
图2
A．湖面大气压强为76.0 cmHg
B．湖水深23 m处的压强约为230 cmHg
C．函数表达式p＝kh＋p0中自变量h的取值范围是h＞0
D．p与h之间的函数表达式为p＝7h＋66
10．(4分)某班同学在探究弹簧测力计指针位置跟砝码质量的关系变化时，通过实验得到的数据如表：
砝码质量x/g 0 50 100 150 200 250 300 400 500
指针位置y/cm 2 3 4 5 6 7 7.5 7.5 7.5
则y关于x的函数图象是(　D　)
11．(12分)摄氏温度(℃)和华氏温度(?)是两种不同的温度计量方法，二者之间有如下的对应关系：
摄氏温度x/℃ 0 10 20 30 40 50
华氏温度y/? 32 50 68 86 104 122
(1)观察表格发现，y与x之间存在一次函数关系，求该函数的表达式．
(2)求华氏温度为5 ?时所对应的摄氏温度．
(3)华氏温度的值与所对应的摄氏温度的值有相等的可能吗？如果有，请求出此时的摄氏温度；如果没有，请说明理由．
解：(1)设该函数的表达式为y＝kx＋b(k，b为常数，且k≠0)．
将x＝0，y＝32和x＝10，y＝50分别代入y＝kx＋b，得b＝32，10k＋b＝50，
将b＝32代入10k＋b＝50，得k＝.
所以该函数的表达式为y＝x＋32.
(2)当y＝5时，即5＝x＋32，
解得x＝－15.
所以华氏温度为5 ?时所对应的摄氏温度为－15 ℃.
(3)有．理由如下：
当y＝x时，即x＝x＋32，
解得x＝－40.
所以此时的摄氏温度为－40 ℃.
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