03 课时分层训练(三) 探索三角形全等的条件（教师版）初中数学鲁教版（五四制）七年级上册
文档属性
| 名称 | 03 课时分层训练(三) 探索三角形全等的条件（教师版）初中数学鲁教版（五四制）七年级上册 |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 338.2KB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 鲁教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2025-09-16 16:26:57 | ||
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文档简介
课时分层训练(三) 探索三角形全等的条件
知识点一 三角形的稳定性
1．如图，学校门口设置的移动拒马一般用钢管焊接成三角形，这样做的数学原理是 三角形具有稳定性 ．
知识点二 三角形全等的条件
2．如图，已知∠1＝∠2，∠3＝∠4，若证得BD＝CD，则所用的判定两三角形全等的依据是( B )
A．角角角 B．角边角
C．边角边 D．角角边
解析：因为∠1＝∠2，AD＝AD，∠3＝∠4，
所以△ABD≌△ACD(ASA)．
故选：B.
3．如图，AC与BD相交于点O，OA＝OC，那么要得到△AOD≌△COB，可以添加一个条件是 OD＝OB(答案不唯一) ．
(填一个即可)
解析：因为OD＝OB，∠AOD＝∠COB，OA＝OC，
所以△AOD≌△COB(SAS)．
故答案为：OD＝OB(答案不唯一)．
4．如图，AF＝DC，BC∥EF，只需补充一个条件： BC＝EF ，就得△ABC≌△DEF(SAS)．
解析：补充条件BC＝EF.
因为AF＝DC，
所以AF＋FC＝DC＋FC.
即AC＝DF.
因为BC∥EF，
所以∠BCA＝∠EFD.
在△ABC和△DEF中，
所以△ABC≌△DEF(SAS)．
故答案为：BC＝EF.
5．如图，已知BC＝DC，∠1＝∠2，试说明：△ABC≌△ADC.
解：因为∠1＝∠2，
所以∠ACB＝∠ACD.
因为AC＝AC，BC＝DC，
所以△ABC≌△ADC(SAS)．
6．如图，已知点A，B，D，E在同一条直线上，AD＝BE，AC∥DF，BC∥EF，试说明：△ABC≌△DEF.
解：因为AD＝BE，
所以AD－BD＝BE－BD，
所以AB＝DE.
因为AC∥DF，BC∥EF，
所以∠A＝∠FDE，∠CBA＝∠E.
在△ABC和△DEF中，
所以△ABC≌△DEF(ASA)．
7．如图，已知长方形窗框ABCD，E，F，G，H分别是其四条边的中点，为了稳固，需要在窗框上钉一根木条，这根木条不应钉在( D )
A．A，C两点处 B．B，E两点处
C．G，F两点处 D．E，G两点处
解析：由三角形具有稳定性可知，这根木条不应钉在E，G两点处．故选：D.
8．在△ABC中，AB＝7，AC＝5，则中线AD的长的范围是( A )
A．1＜AD＜6 B．5＜AD＜7
C．2＜AD＜12 D．2＜AD＜5
解析：画示意图如图所示，过点B作BE∥AC交AD的延长线于点E.
所以∠DBE＝∠C，∠E＝∠CAD.
因为BD＝CD，
所以△DBE≌△DCA(AAS)．
所以BE＝AC＝5，AD＝ED.
易知在△ABE中，7－5＜AE＜7＋5，即2＜2AD＜12，
所以1＜AD＜6.
故选：A．
9．如图为9个边长相等的正方形的组合图形，则∠1＋∠2＋∠3＝( D )
A．105° B．120°
C．115° D．135°
解析：如图，
在△ABC和△DEA中，
所以△ABC≌△DEA(SAS)．
所以∠1＝∠4.
因为∠3＋∠4＝90°，
所以∠1＋∠3＝90°.
因为∠2＝45°，
所以∠1＋∠2＋∠3＝90°＋45°＝135°.
故选：D.
10．如图，∠A＝∠B，AB＝60，E，F分别为线段AB和射线BD上的点．若点E从点B出发向点A运动，同时点F从点B出发沿射线BD运动，二者速度之比为2∶3，当点E运动到点A时，两点同时停止运动．在射线AC上取一点G，使△AEG与△BEF全等，则AG的长为 24或45 ．
解析：设BE＝2t，则BF＝3t，因为∠A＝∠B，使△AEG与△BEF全等，可分两种情况：
情况一：当BE＝AG，BF＝AE时，
因为BF＝AE，AB＝60，
所以3t＝60－2t，解得t＝12.
所以AG＝BE＝2t＝2×12＝24；
情况二：当BE＝AE，BF＝AG时，
因为BE＝AE，AB＝60，
所以2t＝60－2t，解得t＝15.
所以AG＝BF＝3t＝3×15＝45.
综上，AG的长为24或45.
故答案为：24或45.
11．如图，∠E＝∠F＝90°，∠B＝∠C，AE＝AF.试说明：
(1)∠1＝∠2；
(2)△ACN≌△ABM.
解：(1)在△ABE和△ACF中，
所以△ABE≌△ACF(AAS)．
所以∠BAE＝∠CAF.
所以∠BAE－∠BAC＝∠CAF－∠BAC，
即∠1＝∠2.
(2)由(1)得△ABE≌△ACF，
所以AB＝AC.
在△ACN和△ABM中，
所以△ACN≌△ABM(ASA)．
【创新运用】
12．两个大小不同的三角尺如图1所示放置，图2是由它得到的抽象几何图形．已知AB＝AC，AE＝AD，∠CAB＝∠DAE，连接DC，CE，且点B，C，E在同一条直线上，BC＝8 cm，CE＝4 cm.现有一只壁虎以2 cm/s的速度从点C处往点D处爬，求壁虎爬到点D处所用的时间．
图1 图2
解：因为∠BAC＝∠EAD，
所以∠BAC＋∠CAE＝∠EAD＋∠CAE.
所以∠BAE＝∠CAD.
在△ABE和△ACD中，
所以△ABE≌△ACD(SAS)．
所以CD＝BE＝BC＋CE＝8＋4＝12(cm)．
因为壁虎以2 cm/s的速度从点C处往点D处爬，
所以12÷2＝6(s)．
所以壁虎爬到点D处所用的时间为6 s．
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知识点一 三角形的稳定性
1．如图，学校门口设置的移动拒马一般用钢管焊接成三角形，这样做的数学原理是 三角形具有稳定性 ．
知识点二 三角形全等的条件
2．如图，已知∠1＝∠2，∠3＝∠4，若证得BD＝CD，则所用的判定两三角形全等的依据是( B )
A．角角角 B．角边角
C．边角边 D．角角边
解析：因为∠1＝∠2，AD＝AD，∠3＝∠4，
所以△ABD≌△ACD(ASA)．
故选：B.
3．如图，AC与BD相交于点O，OA＝OC，那么要得到△AOD≌△COB，可以添加一个条件是 OD＝OB(答案不唯一) ．
(填一个即可)
解析：因为OD＝OB，∠AOD＝∠COB，OA＝OC，
所以△AOD≌△COB(SAS)．
故答案为：OD＝OB(答案不唯一)．
4．如图，AF＝DC，BC∥EF，只需补充一个条件： BC＝EF ，就得△ABC≌△DEF(SAS)．
解析：补充条件BC＝EF.
因为AF＝DC，
所以AF＋FC＝DC＋FC.
即AC＝DF.
因为BC∥EF，
所以∠BCA＝∠EFD.
在△ABC和△DEF中，
所以△ABC≌△DEF(SAS)．
故答案为：BC＝EF.
5．如图，已知BC＝DC，∠1＝∠2，试说明：△ABC≌△ADC.
解：因为∠1＝∠2，
所以∠ACB＝∠ACD.
因为AC＝AC，BC＝DC，
所以△ABC≌△ADC(SAS)．
6．如图，已知点A，B，D，E在同一条直线上，AD＝BE，AC∥DF，BC∥EF，试说明：△ABC≌△DEF.
解：因为AD＝BE，
所以AD－BD＝BE－BD，
所以AB＝DE.
因为AC∥DF，BC∥EF，
所以∠A＝∠FDE，∠CBA＝∠E.
在△ABC和△DEF中，
所以△ABC≌△DEF(ASA)．
7．如图，已知长方形窗框ABCD，E，F，G，H分别是其四条边的中点，为了稳固，需要在窗框上钉一根木条，这根木条不应钉在( D )
A．A，C两点处 B．B，E两点处
C．G，F两点处 D．E，G两点处
解析：由三角形具有稳定性可知，这根木条不应钉在E，G两点处．故选：D.
8．在△ABC中，AB＝7，AC＝5，则中线AD的长的范围是( A )
A．1＜AD＜6 B．5＜AD＜7
C．2＜AD＜12 D．2＜AD＜5
解析：画示意图如图所示，过点B作BE∥AC交AD的延长线于点E.
所以∠DBE＝∠C，∠E＝∠CAD.
因为BD＝CD，
所以△DBE≌△DCA(AAS)．
所以BE＝AC＝5，AD＝ED.
易知在△ABE中，7－5＜AE＜7＋5，即2＜2AD＜12，
所以1＜AD＜6.
故选：A．
9．如图为9个边长相等的正方形的组合图形，则∠1＋∠2＋∠3＝( D )
A．105° B．120°
C．115° D．135°
解析：如图，
在△ABC和△DEA中，
所以△ABC≌△DEA(SAS)．
所以∠1＝∠4.
因为∠3＋∠4＝90°，
所以∠1＋∠3＝90°.
因为∠2＝45°，
所以∠1＋∠2＋∠3＝90°＋45°＝135°.
故选：D.
10．如图，∠A＝∠B，AB＝60，E，F分别为线段AB和射线BD上的点．若点E从点B出发向点A运动，同时点F从点B出发沿射线BD运动，二者速度之比为2∶3，当点E运动到点A时，两点同时停止运动．在射线AC上取一点G，使△AEG与△BEF全等，则AG的长为 24或45 ．
解析：设BE＝2t，则BF＝3t，因为∠A＝∠B，使△AEG与△BEF全等，可分两种情况：
情况一：当BE＝AG，BF＝AE时，
因为BF＝AE，AB＝60，
所以3t＝60－2t，解得t＝12.
所以AG＝BE＝2t＝2×12＝24；
情况二：当BE＝AE，BF＝AG时，
因为BE＝AE，AB＝60，
所以2t＝60－2t，解得t＝15.
所以AG＝BF＝3t＝3×15＝45.
综上，AG的长为24或45.
故答案为：24或45.
11．如图，∠E＝∠F＝90°，∠B＝∠C，AE＝AF.试说明：
(1)∠1＝∠2；
(2)△ACN≌△ABM.
解：(1)在△ABE和△ACF中，
所以△ABE≌△ACF(AAS)．
所以∠BAE＝∠CAF.
所以∠BAE－∠BAC＝∠CAF－∠BAC，
即∠1＝∠2.
(2)由(1)得△ABE≌△ACF，
所以AB＝AC.
在△ACN和△ABM中，
所以△ACN≌△ABM(ASA)．
【创新运用】
12．两个大小不同的三角尺如图1所示放置，图2是由它得到的抽象几何图形．已知AB＝AC，AE＝AD，∠CAB＝∠DAE，连接DC，CE，且点B，C，E在同一条直线上，BC＝8 cm，CE＝4 cm.现有一只壁虎以2 cm/s的速度从点C处往点D处爬，求壁虎爬到点D处所用的时间．
图1 图2
解：因为∠BAC＝∠EAD，
所以∠BAC＋∠CAE＝∠EAD＋∠CAE.
所以∠BAE＝∠CAD.
在△ABE和△ACD中，
所以△ABE≌△ACD(SAS)．
所以CD＝BE＝BC＋CE＝8＋4＝12(cm)．
因为壁虎以2 cm/s的速度从点C处往点D处爬，
所以12÷2＝6(s)．
所以壁虎爬到点D处所用的时间为6 s．
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