11 第二章成果展示 轴对称（教师版）初中数学鲁教版（五四制）七年级上册
文档属性
| 名称 | 11 第二章成果展示 轴对称（教师版）初中数学鲁教版（五四制）七年级上册 |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 442.9KB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 鲁教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2025-09-16 16:26:57 | ||
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文档简介
第二章成果展示 轴对称
(时间：120分钟 满分：120分)
第Ⅰ卷(选择题 共40分)
一、选择题(本大题共10个小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求)
1．下列安全图标不是轴对称图形的是( D )
2．如图，OP平分∠MON，PA⊥ON于点A，Q是射线OM上的一个动点．若PA＝2，则PQ的长不可能是( D )
A．4 B．3.5
C．2 D．1.5
解析：因为OP平分∠MON，PA⊥ON于点A，
所以点P到OM的距离等于PA，
即点P到OM的距离为2.
所以PQ≥2.
3．如图所示是一块三角形的草坪，现要在草坪上建一座凉亭供大家休息，要使凉亭到草坪三条边的距离相等，凉亭的位置应选在( B )
A．△ABC的三条中线的交点处
B．△ABC三条角平分线的交点处
C．△ABC三条高所在直线的交点处
D．△ABC三边的中垂线的交点处
解析：由于凉亭到草坪三条边的距离相等，所以根据角平分线上的点到角的两边的距离相等，可知是△ABC三条角平分线的交点．由此即可确定凉亭位置．
4．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，∠B＝30°，P是边BC上的动点，则AP的长不可能是( D )
A．3.5 B．4.2
C．5.8 D．7
解析：根据垂线段最短，可知AP的长不可能小于3.
在△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，∠B＝30°，
所以AB＝2AC＝6.
所以AP的长不可能大于6.
故选D.
5．如图，在小等边三角形组成的网格中，已涂黑6个小等边三角形(阴影部分)，还需涂黑n个小等边三角形，使它们与原来涂黑的小等边三角形组成的新图案恰有3条对称轴，则n的最小值为( C )
A．10 B．6
C．3 D．2
6．如图，若△ABC与△A′B′C′关于直线MN对称，BB′交MN于点O，则下列说法不一定正确的是( D )
A．AC＝A′C′ B．BO＝B′O
C．AA′⊥MN D．AB∥B′C′
7．如图，AD为△ABC的中线，将△ABD沿着AD翻折得到△AED，点B的对应点为点E，AE与BC相交于点F，连接CE，则下列结论一定正确的是( C )
A．DF＝FC B．AE⊥BC
C．∠DEC＝∠DCE D．∠BAD＝∠CAE
解析：因为AD为△ABC的中线，所以BD＝CD.因为将△ABD沿着AD翻折得到△AED，点B的对应点为点E，所以BD＝ED.所以CD＝ED.所以∠DEC＝∠DCE.
8．下列说法：
①等腰三角形是轴对称图形；②等边三角形的每一个角都等于60°；③等腰三角形的两个底角相等；④等腰三角形顶角的平分线所在的直线是它的对称轴．
其中，正确的说法有( D )
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
9．如图，∠B＝∠C＝90°，M是BC的中点，DM平分∠ADC，且∠ADC＝110°，则∠MAB的度数为( B )
A．30° B．35°
C．45° D．60°
解析：如图，作MN⊥AD于点N.
因为∠B＝∠C＝90°，
所以AB∥CD.
所以∠DAB＋∠ADC＝180°.
所以∠DAB＝180°－∠ADC＝70°.
因为DM平分∠ADC，MN⊥AD，MC⊥CD，
所以MN＝MC.
因为M是BC的中点，
所以MC＝MB.
所以MN＝MB.
又因为MN⊥AD，MB⊥AB，
所以AM是∠DAB的平分线．
所以∠MAB＝∠DAB＝35°.
10．如图，在△ABC中，AB＝AC，D，E是△ABC内的两点，AD平分∠BAC，∠EBC＝∠E＝60°.若BE＝6 cm，DE＝2 cm，则BC的长为( C )
A．4 cm B．6 cm C．8 cm D．12 cm
解析：如图，延长ED交BC于点M，延长AD交BC于点N.
因为AB＝AC，AD平分∠BAC，
所以AN⊥BC，BN＝CN.
因为∠EBC＝∠E＝60°，
所以△BEM为等边三角形．
所以BE＝EM＝BM，∠EMB＝60°.
因为BE＝6 cm，DE＝2 cm，
所以DM＝EM－DE＝4 cm.
因为AN⊥BC，
所以∠DNM＝90°.
所以∠NDM＝30°.
所以NM＝DM＝2 cm.
所以BN＝BM－NM＝4 cm.
所以BC＝2BN＝8 cm.
第Ⅱ卷(非选择题 共80分)
二、填空题(本大题共6个小题，每小题4分，共24分)
11．在“线段、角、直角三角形、等边三角形”这四个图形中，对称轴最多的图形是 等边三角形 ．
解析：在“线段、角、直角三角形、等边三角形”这四个图形中，是轴对称图形的有线段、角、等边三角形．角有1条对称轴，线段有2条对称轴，等边三角形有3条对称轴．所以对称轴最多的图形是等边三角形．
12．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝50°，D是边BC的中点，DE垂直AC于点E，则∠EDC的度数为 25° ．
解析：因为AB＝AC，
所以∠B＝∠C.
因为∠BAC＝50°，
所以∠C＝×(180°－50°)＝65°.
因为DE垂直AC于点E，
所以∠DEC＝90°.
所以∠EDC＝90°－65°＝25°.
13．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB的垂直平分线DE交AC于点E，交BC的延长线于点F，垂足为点D.若∠F＝30°，BE＝4，则DE＝ 2 ．
解析：因为∠ACB＝90°，FD⊥AB，而∠AED＝∠CEF，
所以∠A＝∠F＝30°.
因为DE垂直平分AB，
所以EA＝EB.
所以∠EBA＝∠A＝30°.
所以DE＝BE＝×4＝2.
14．如图，△ABC的三边AB，BC，CA的长分别为30，40，15，P是△ABC三个内角平分线的交点，则S△PAB∶S△PBC∶S△PCA＝ 6∶8∶3 ．
解析：因为点P是△ABC三个内角平分线的交点，
所以点P到三边的距离相等．
设这个距离为m，
所以S△PAB∶S△PBC∶S△PCA＝∶∶(AC·m)＝AB∶BC∶AC＝30∶40∶15＝6∶8∶3.
15．如图，P为∠AOB内任意一点，E，F分别为点P关于OA，OB的对称点．若∠AOB＝30°，则∠E＋∠F＝ 150° .(填度数)
解析：如图，连接OP.
因为E，F分别为点P关于OA，OB的对称点，
所以∠EOA＝∠AOP，∠POB＝∠BOF，PE⊥OA，PF⊥OB.
因为∠AOB＝∠AOP＋∠POB，
所以∠EOF＝2∠AOB＝60°.
因为∠AOB＝30°，PE⊥OA，PF⊥OB，
所以∠EPF＝150°.
所以∠E＋∠F＝360°－∠EOF－∠EPF＝360°－60°－150°＝150°.
16．如图，在△ABC中，AB＝AD＝DC，∠BAD＝28°，则∠C＝ 38° ．(填度数)
解析：因为AB＝AD＝DC，∠BAD＝28°，
所以∠B＝∠ADB＝(180°－28°)÷2＝76°.
所以∠ADC＝180°－76° ＝104°.
所以∠C＝∠CAD＝(180°－104°)÷2＝38°.
三、解答题(本大题共6个小题，共56分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(8分)在如图所示的网格图(每小格均是边长为1的正方形)中完成下列各题：
(1)画出与格点三角形ABC(顶点均在格点上)关于直线DE对称的△A1B1C1；
(2)在DE上画出点P，使PA＋PC的值最小．
解：(1)如图，△A1B1C1即为所求．
(2)如图，连接AC1，交直线DE于点P，点P即为所求．
18．(8分)如图，AD是△ABC中∠BAC的平分线，DE⊥AB交AB于点E，DF⊥AC交AC于点F.若S△ABC＝7，DE＝2，AB＝4，求AC的长．
解：因为AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，
所以DF＝DE＝2.
又因为S△ABC＝S△ABD＋S△ACD，AB＝4，
所以7＝×4×2＋AC·2.
所以AC＝3.
19．(8分)如图，在△ABC中，AB＜AC，边BC的垂直平分线DE交BC于点D，交AC于点E，AC＝8，△ABE的周长为14，求AB的长．
解：因为DE是边BC的垂直平分线，
所以BE＝CE.
所以△ABE的周长＝AB＋AE＋BE＝AB＋AE＋CE＝AB＋AC.
因为AC＝8，△ABE的周长为14，
所以AB＋8＝14.
所以AB＝6.
20．(10分)数学课上，张老师讲解了下面的例题：
例1 在等腰三角形ABC中，∠A＝110°，求∠B的度数．(答案：35°)
例2 在等腰三角形ABC中，∠A＝40°，求∠B的度数．(答案：40°或70°或100°)
张老师启发同学们进行变式，小敏编了如下一题：
变式 在等腰三角形ABC中，∠A＝80°，求∠B的度数．
(1)请解答以上的变式题；
(2)解(1)后，小敏发现，∠A的度数不同，得到∠B的度数的个数也可能不同．如果在等腰三角形ABC中，设∠A＝x°，当∠B有3个不同的度数时，请探索x的取值范围．
解：(1)若∠A为顶角，则∠B＝(180°－∠A)÷2＝50°.
若∠A为底角，∠B为顶角，则∠B＝180°－2×80°＝20°.
若∠A为底角，∠B为底角，则∠B＝80°.
故∠B的度数为50°或20°或80°.
(2)分两种情况：
①当90≤x＜180时，∠A只能为顶角，
所以∠B的度数只有1个．
②当0＜x＜90时，
若∠A为顶角，则∠B＝°.
若∠A为底角，∠B为顶角，则∠B＝(180－2x)°.
若∠A为底角，∠B为底角，则∠B＝x°.
当≠180－2x且180－2x≠x且≠x，
即x≠60时，∠B有3个不同的度数．
综上所述，当0＜x＜90且x≠60时，∠B有3个不同的度数．
21．(10分)如图，在等边三角形ABC中，点D，E分别在边BC，AC上，且DE∥AB，过点E作EF⊥DE，交BC的延长线于点F.
(1)求∠F的度数；
(2)若CD＝3，求DF的长．
解：(1)因为△ABC是等边三角形，
所以∠B＝60°.
因为DE∥AB，
所以∠EDC＝∠B＝60°.
因为EF⊥DE，
所以∠DEF＝90°.
所以∠F＝90°－∠EDC＝30°.
(2)因为∠ACB＝60°，∠EDC＝60°，
所以△EDC是等边三角形．
所以ED＝CD＝3.
因为∠DEF＝90°，∠F＝30°，
所以DF＝2DE＝6.
22．(12分)如图，在△ABC中，∠ABC＝45°，CD⊥AB于点D，AC的垂直平分线BE交CD于点F，交AC于点E.
(1)判断△DBC的形状并说明理由；
(2)试说明：BF＝AC；
(3)试说明：CE＝BF.
解：(1)△DBC是等腰直角三角形．理由如下：
因为∠ABC＝45°，CD⊥AB，
所以∠BCD＝45°.
所以BD＝CD.
所以△DBC是等腰直角三角形．
(2)因为BE是AC的垂直平分线，CD⊥AB，
所以∠BEC＝∠ADC＝∠BDF＝90°.
因为∠BFD＝∠CFE，
所以∠DBF＝∠DCA．
在△BDF和△CDA中，
所以△BDF≌△CDA(ASA)．
所以BF＝AC.
(3)因为BE是AC的垂直平分线，
所以CE＝AC.
由(2)知BF＝AC.
所以CE＝BF.
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(时间：120分钟 满分：120分)
第Ⅰ卷(选择题 共40分)
一、选择题(本大题共10个小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求)
1．下列安全图标不是轴对称图形的是( D )
2．如图，OP平分∠MON，PA⊥ON于点A，Q是射线OM上的一个动点．若PA＝2，则PQ的长不可能是( D )
A．4 B．3.5
C．2 D．1.5
解析：因为OP平分∠MON，PA⊥ON于点A，
所以点P到OM的距离等于PA，
即点P到OM的距离为2.
所以PQ≥2.
3．如图所示是一块三角形的草坪，现要在草坪上建一座凉亭供大家休息，要使凉亭到草坪三条边的距离相等，凉亭的位置应选在( B )
A．△ABC的三条中线的交点处
B．△ABC三条角平分线的交点处
C．△ABC三条高所在直线的交点处
D．△ABC三边的中垂线的交点处
解析：由于凉亭到草坪三条边的距离相等，所以根据角平分线上的点到角的两边的距离相等，可知是△ABC三条角平分线的交点．由此即可确定凉亭位置．
4．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，∠B＝30°，P是边BC上的动点，则AP的长不可能是( D )
A．3.5 B．4.2
C．5.8 D．7
解析：根据垂线段最短，可知AP的长不可能小于3.
在△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，∠B＝30°，
所以AB＝2AC＝6.
所以AP的长不可能大于6.
故选D.
5．如图，在小等边三角形组成的网格中，已涂黑6个小等边三角形(阴影部分)，还需涂黑n个小等边三角形，使它们与原来涂黑的小等边三角形组成的新图案恰有3条对称轴，则n的最小值为( C )
A．10 B．6
C．3 D．2
6．如图，若△ABC与△A′B′C′关于直线MN对称，BB′交MN于点O，则下列说法不一定正确的是( D )
A．AC＝A′C′ B．BO＝B′O
C．AA′⊥MN D．AB∥B′C′
7．如图，AD为△ABC的中线，将△ABD沿着AD翻折得到△AED，点B的对应点为点E，AE与BC相交于点F，连接CE，则下列结论一定正确的是( C )
A．DF＝FC B．AE⊥BC
C．∠DEC＝∠DCE D．∠BAD＝∠CAE
解析：因为AD为△ABC的中线，所以BD＝CD.因为将△ABD沿着AD翻折得到△AED，点B的对应点为点E，所以BD＝ED.所以CD＝ED.所以∠DEC＝∠DCE.
8．下列说法：
①等腰三角形是轴对称图形；②等边三角形的每一个角都等于60°；③等腰三角形的两个底角相等；④等腰三角形顶角的平分线所在的直线是它的对称轴．
其中，正确的说法有( D )
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
9．如图，∠B＝∠C＝90°，M是BC的中点，DM平分∠ADC，且∠ADC＝110°，则∠MAB的度数为( B )
A．30° B．35°
C．45° D．60°
解析：如图，作MN⊥AD于点N.
因为∠B＝∠C＝90°，
所以AB∥CD.
所以∠DAB＋∠ADC＝180°.
所以∠DAB＝180°－∠ADC＝70°.
因为DM平分∠ADC，MN⊥AD，MC⊥CD，
所以MN＝MC.
因为M是BC的中点，
所以MC＝MB.
所以MN＝MB.
又因为MN⊥AD，MB⊥AB，
所以AM是∠DAB的平分线．
所以∠MAB＝∠DAB＝35°.
10．如图，在△ABC中，AB＝AC，D，E是△ABC内的两点，AD平分∠BAC，∠EBC＝∠E＝60°.若BE＝6 cm，DE＝2 cm，则BC的长为( C )
A．4 cm B．6 cm C．8 cm D．12 cm
解析：如图，延长ED交BC于点M，延长AD交BC于点N.
因为AB＝AC，AD平分∠BAC，
所以AN⊥BC，BN＝CN.
因为∠EBC＝∠E＝60°，
所以△BEM为等边三角形．
所以BE＝EM＝BM，∠EMB＝60°.
因为BE＝6 cm，DE＝2 cm，
所以DM＝EM－DE＝4 cm.
因为AN⊥BC，
所以∠DNM＝90°.
所以∠NDM＝30°.
所以NM＝DM＝2 cm.
所以BN＝BM－NM＝4 cm.
所以BC＝2BN＝8 cm.
第Ⅱ卷(非选择题 共80分)
二、填空题(本大题共6个小题，每小题4分，共24分)
11．在“线段、角、直角三角形、等边三角形”这四个图形中，对称轴最多的图形是 等边三角形 ．
解析：在“线段、角、直角三角形、等边三角形”这四个图形中，是轴对称图形的有线段、角、等边三角形．角有1条对称轴，线段有2条对称轴，等边三角形有3条对称轴．所以对称轴最多的图形是等边三角形．
12．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝50°，D是边BC的中点，DE垂直AC于点E，则∠EDC的度数为 25° ．
解析：因为AB＝AC，
所以∠B＝∠C.
因为∠BAC＝50°，
所以∠C＝×(180°－50°)＝65°.
因为DE垂直AC于点E，
所以∠DEC＝90°.
所以∠EDC＝90°－65°＝25°.
13．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB的垂直平分线DE交AC于点E，交BC的延长线于点F，垂足为点D.若∠F＝30°，BE＝4，则DE＝ 2 ．
解析：因为∠ACB＝90°，FD⊥AB，而∠AED＝∠CEF，
所以∠A＝∠F＝30°.
因为DE垂直平分AB，
所以EA＝EB.
所以∠EBA＝∠A＝30°.
所以DE＝BE＝×4＝2.
14．如图，△ABC的三边AB，BC，CA的长分别为30，40，15，P是△ABC三个内角平分线的交点，则S△PAB∶S△PBC∶S△PCA＝ 6∶8∶3 ．
解析：因为点P是△ABC三个内角平分线的交点，
所以点P到三边的距离相等．
设这个距离为m，
所以S△PAB∶S△PBC∶S△PCA＝∶∶(AC·m)＝AB∶BC∶AC＝30∶40∶15＝6∶8∶3.
15．如图，P为∠AOB内任意一点，E，F分别为点P关于OA，OB的对称点．若∠AOB＝30°，则∠E＋∠F＝ 150° .(填度数)
解析：如图，连接OP.
因为E，F分别为点P关于OA，OB的对称点，
所以∠EOA＝∠AOP，∠POB＝∠BOF，PE⊥OA，PF⊥OB.
因为∠AOB＝∠AOP＋∠POB，
所以∠EOF＝2∠AOB＝60°.
因为∠AOB＝30°，PE⊥OA，PF⊥OB，
所以∠EPF＝150°.
所以∠E＋∠F＝360°－∠EOF－∠EPF＝360°－60°－150°＝150°.
16．如图，在△ABC中，AB＝AD＝DC，∠BAD＝28°，则∠C＝ 38° ．(填度数)
解析：因为AB＝AD＝DC，∠BAD＝28°，
所以∠B＝∠ADB＝(180°－28°)÷2＝76°.
所以∠ADC＝180°－76° ＝104°.
所以∠C＝∠CAD＝(180°－104°)÷2＝38°.
三、解答题(本大题共6个小题，共56分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(8分)在如图所示的网格图(每小格均是边长为1的正方形)中完成下列各题：
(1)画出与格点三角形ABC(顶点均在格点上)关于直线DE对称的△A1B1C1；
(2)在DE上画出点P，使PA＋PC的值最小．
解：(1)如图，△A1B1C1即为所求．
(2)如图，连接AC1，交直线DE于点P，点P即为所求．
18．(8分)如图，AD是△ABC中∠BAC的平分线，DE⊥AB交AB于点E，DF⊥AC交AC于点F.若S△ABC＝7，DE＝2，AB＝4，求AC的长．
解：因为AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，
所以DF＝DE＝2.
又因为S△ABC＝S△ABD＋S△ACD，AB＝4，
所以7＝×4×2＋AC·2.
所以AC＝3.
19．(8分)如图，在△ABC中，AB＜AC，边BC的垂直平分线DE交BC于点D，交AC于点E，AC＝8，△ABE的周长为14，求AB的长．
解：因为DE是边BC的垂直平分线，
所以BE＝CE.
所以△ABE的周长＝AB＋AE＋BE＝AB＋AE＋CE＝AB＋AC.
因为AC＝8，△ABE的周长为14，
所以AB＋8＝14.
所以AB＝6.
20．(10分)数学课上，张老师讲解了下面的例题：
例1 在等腰三角形ABC中，∠A＝110°，求∠B的度数．(答案：35°)
例2 在等腰三角形ABC中，∠A＝40°，求∠B的度数．(答案：40°或70°或100°)
张老师启发同学们进行变式，小敏编了如下一题：
变式 在等腰三角形ABC中，∠A＝80°，求∠B的度数．
(1)请解答以上的变式题；
(2)解(1)后，小敏发现，∠A的度数不同，得到∠B的度数的个数也可能不同．如果在等腰三角形ABC中，设∠A＝x°，当∠B有3个不同的度数时，请探索x的取值范围．
解：(1)若∠A为顶角，则∠B＝(180°－∠A)÷2＝50°.
若∠A为底角，∠B为顶角，则∠B＝180°－2×80°＝20°.
若∠A为底角，∠B为底角，则∠B＝80°.
故∠B的度数为50°或20°或80°.
(2)分两种情况：
①当90≤x＜180时，∠A只能为顶角，
所以∠B的度数只有1个．
②当0＜x＜90时，
若∠A为顶角，则∠B＝°.
若∠A为底角，∠B为顶角，则∠B＝(180－2x)°.
若∠A为底角，∠B为底角，则∠B＝x°.
当≠180－2x且180－2x≠x且≠x，
即x≠60时，∠B有3个不同的度数．
综上所述，当0＜x＜90且x≠60时，∠B有3个不同的度数．
21．(10分)如图，在等边三角形ABC中，点D，E分别在边BC，AC上，且DE∥AB，过点E作EF⊥DE，交BC的延长线于点F.
(1)求∠F的度数；
(2)若CD＝3，求DF的长．
解：(1)因为△ABC是等边三角形，
所以∠B＝60°.
因为DE∥AB，
所以∠EDC＝∠B＝60°.
因为EF⊥DE，
所以∠DEF＝90°.
所以∠F＝90°－∠EDC＝30°.
(2)因为∠ACB＝60°，∠EDC＝60°，
所以△EDC是等边三角形．
所以ED＝CD＝3.
因为∠DEF＝90°，∠F＝30°，
所以DF＝2DE＝6.
22．(12分)如图，在△ABC中，∠ABC＝45°，CD⊥AB于点D，AC的垂直平分线BE交CD于点F，交AC于点E.
(1)判断△DBC的形状并说明理由；
(2)试说明：BF＝AC；
(3)试说明：CE＝BF.
解：(1)△DBC是等腰直角三角形．理由如下：
因为∠ABC＝45°，CD⊥AB，
所以∠BCD＝45°.
所以BD＝CD.
所以△DBC是等腰直角三角形．
(2)因为BE是AC的垂直平分线，CD⊥AB，
所以∠BEC＝∠ADC＝∠BDF＝90°.
因为∠BFD＝∠CFE，
所以∠DBF＝∠DCA．
在△BDF和△CDA中，
所以△BDF≌△CDA(ASA)．
所以BF＝AC.
(3)因为BE是AC的垂直平分线，
所以CE＝AC.
由(2)知BF＝AC.
所以CE＝BF.
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