21.2.3 因式分解法 同步提优训练（含答案） 2025-2026学年人教版九年级数学上册

21.2 解一元二次方程--因式分解法
基础巩固提优
1.(2025·湖南娄底娄星区期中)方程(3x—1)(2x+4)=0的解是( ).
A. 或-2 B. 2 D. 或2
2.方程 利用因式分解法解时可得方程（ ）.
A. (x+2)(x-3)=0
B. (x-2)(x+3)=0
C. (x-1)(x+6)=0
D. (x+1)(x-6)=0
3.(2025·重庆梁平区期中)一元二次方程 的根是 .
4.用因式分解法解方程 将左边分解因式后有一个因式是x+3，则p 的值是
5.(2025·山东德州乐陵期中)小华设计了一个魔术盒，将任意实数对(a，b)放入其中，会得到一个新的实数 若将实数对(2x，-x)放入其中得到实数-1，则x 的值为 。
6.用因式分解法解下列方程：
(1)(2024·滨州中考)、
(2)(2023·广州中考)
思维拓展提优
7.关于x的方程( 0的一个根是0，则m 的值是（ ）.
A. 7 B. - 3 C. 1或-3 D. 0
8.(2024·赤峰中考)等腰三角形的两边长分别是方程 的两个根，则这个三角形的周长为（ ）.
A. 17或13 B. 13 或 21
C. 17 D. 13
9. (2025·江苏连云港海州区新海实验中学期中)对于两个不相等的实数a，b，现规定 max{a,b}表示 a,b 中较大的数,例如max{1,2}=2.则方程max{2x,x+2}=x -4 的解为 .
10.(四川绵阳东辰国际学校自主招生)如果关于 x 的方程、x +2(a+1)x+2a+1=0有一个小于1的正数根，那么实数a 的取值范围是 .
11.教材P17习题T6·变式用因式分解法解方程：
12.阅读后解答问题.
答案解方程：
解：
拆项、分组，得
提公因式，得2x(x-2)+(x-2)=0,
再提公因式,得(x-2)(2x+1)=0,
所以x-2=0或2x+1=0,
解得
运用以上因式分解法解方程：
13.(2024·青海中考)(1)解一元二次方程: 4x+3=0;
(2)若直角三角形的两边长分别是(1)中方程的根，求第三边的长.
14.如果关于x 的方程 有两个实数根，且其中一个根比另一个根大2，那么称这样的方程为“隔根方程”.例如，方程 2x=0的两个根是 则方程 是“隔根方程”.
(1)方程 是“隔根方程”吗 判断并说明理由.
(2)若关于x 的方程 0是“隔根方程”，求m 的值.
延伸探究提优
15.转化思想(2025·江苏常州新北区北郊中学期中)我们知道，解一元二次方程，可以把它转化为两个一元一次方程来解，其实用“转化”的数学思想，我们还可以解一些新的方程，例如一元三次方程 可以通过因式分解把它转化为 通过解方程x=0和 可得方程 0的解.
(1)方程 的解是 ,x = ;
(2)用“转化”的思想求方程 的解；
(3)试直接写出方程组 的解.
中考提分新题
16.(2024·凉山州中考)已知 x-3=0,则x的值为 .
因式分解法
1. A [解析]∵(3x-1)(2x+4)=0,
∴3x-1=0或 故选 A.
素养考向 因式分解法解一元二次方程的理论基础是“若 ab=0，则a=0或b=0”，因式分解法就是先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了(数学转化思想).
4.1[解析]设另一个因式为x+a，则 a)(x+3)=x +(3+a)x+3a=0,∴p=3+a,-6=3a,∴a=-2,p=1.
5.-1或 [解析]由题意，得( 整理，得2x +x-1=0,∴(x+1)(2x-1)=0,
∴x+1=0或2x-1=0,解得
∴x的值为-1或
∴x=0或x-4=0,∴x =0,x =4.
(2)∵x -6x+5=0,∴(x-1)(x-5)=0,
∴x-1=0或.
7. C [解析]把x=0代人方程( 3=0,得 ,解得m=1或-3.故选C.
易错提醒 注意方程与一元二次方程的区别，虽然当m=1时m-1=0，但它仍然是一个方程，故不能舍去.
8. C [解析]x -10x+21=0,(x-3)(x-7)=0,解得.
当等腰三角形的边长是3，3，7时，3+3<7，不符合三角形的三边关系，应舍去；
当等腰三角形的边长是7，7，3时，这个三角形的周长是7+7+3=17.故选C.
9. x=-2或. [解析]①当2x≥x+2时,此时x≥2,则
解得 (不合题意，舍去)；
②当2x则x+2=x -4,∴(x+2)(x-3)=0,
解得 (不合题意，舍去).
∴方程 的解为x=-2或.
[解析]原方程可化为(x+1)(x+2a+1)=0,解得
∵-1<0,∴小于1的正数根只能为-2a-1,
即0<-2a-1<1,解得
∴(x-1)[(x-1)-2(x+1)]=0,
即(x-1)(-x-3)=0,
∴x-1=0或-x-3=0,解得x =1,x =-3.
是前提
即( 解得
拆项、分组，得
提公因式,得3x(2x+3)-(2x+3)=0,
再提公因式,得(2x+3)(3x-1)=0,
所以2x+3=0或3x-1=0,解得
13.(1)∵x -4x+3=0,∴(x-1)(x-3)=0,
∴x-1=0或x-3=0,∴x =1,x =3.
(2)当3 是直角三角形的斜边长时，第三边长 =
当1 和 3 是直角三角形的直角边长时，第三边长=
∴第三边的长为2
14.(1)方程. )不是“隔根方程”.理由如下：
∵x -x-20=0,∴(x-5)(x+4)=0.∴x-5=0或x+4=0,解得.
∵5-(-4)=9≠2,∴方程. 不是“隔根方程”.
(2)∵x +(m-1)x-m=0,∴(x+m)(x-1)=0.
或x-1=0,解得.
当-m=1+2时,解得m=-3;
当-m+2=1时,解得m=1.
综上所述，m的值为-3或1.
15.(1)-2 1 [解析] x(x+2)(x-1)=0,x=0或x+2=0或x-1=0,解得
两边平方，得
根号下有未知数，可以将方程两边平方
即x -2x-3=0,∴(x+1)(x-3)=0,
∴x+1=0或x-3=0,解得
经检验，x =-1不是原方程的解，x =3是原方程的解。
必须满足x≥0
∴原方程的解是x=3.
由②,得y=1-x③,
把③代入①，得
化简，得 ,解得x=2或
当x=2时,y=-1,当 时，
∴原方程组的解为
16.3 [解析]:
即 解得x =3,x =-1(舍去),
即x的值为3.