21.2.2公式法（1）同步提优训练（含答案） 2025-2026学年人教版九年级数学上册

21.2 解一元二次方程--公式法 (1)
基础巩固提优
1.用公式法解方程 时,a,b,c 的值依次是（ ）.
A. 0,-2,-3 B. 1,3,-2
C. 1,-3,-2 D. 1,-2,-3
2.(2024·浙江湖州吴兴区期末)在用求根公式x= 求一元二次方程的根时，小珺正确地代入了a,b,c 得到 则她求解的一元二次方程是（ ）.
3.求方程 的根时，根据求根公式，列式为 则 m 的值为 .
4.(2025·湖南永州十六中月考)用求根公式解方程 3x=-1,得
5.教材P11例2·变式 用公式法解方程：
(4)(x+1)(x-3)=6.
思维拓展提优
6.已知方程 8x+4=0较大的根为a，则与a 最接近的整数是( ).
A. 414 B. 415 C. 416 D. 417
7.在计算正数 a 的平方时，某同学误算成a 与 2 的积，求得的答案比正确答案小1，那么正数a 的值应该为 .
8. (2024·湖南湘潭期末)对于两个不相等的实数a，b，我们规定符号 max{a，b}表示a,b 中的较大值,如: max{2,5}=5.按照这个规定，方程 的解为
9.对任意两实数a，b，定义运算“*”如下： 根据这个规则,方程2*x=9的解为 .
10.解下列方程：
11.(2025·陕西咸阳彬州月考)已知多项式 7x和B=2-3x,若A 的值与B 的值互为相反数，求x 的值.
12.中考新考法 归纳一般结论(1)解下列方程：
(2)上面的四个方程中，有三个方程的一次项系数有共同特点，请你用代数式表示这个特点，并推导出具有这个特点的一元二次方程的求根公式.
延伸探究提优
13.数形结合思想古希腊数学家丢番图(公元250年前后)在《算术》中提到了一元二次方程的问题，不过当时古希腊人还没有寻求到它的求根公式，只能用图解等方法来求解.在欧几里得的《几何原本》中，有形如 的方程的图解法：如图，以a/ 和b为两直角边作 Rt△ABC，再在斜边上截取 则AD的长就是所求方程的解.
(1)请用含字母a，b的代数式表示AD 的长；
(2)请利用你已学的知识说明该图解法的正确性，并说说这种解法的遗憾之处.
中考提分新题
14.为丰富学生课余生活，提高学生运算能力，数学小组设计了如下的解题接力游戏：
(1)解不等式组： ①
(2)当m 取(1)的一个整数解时，解方程 2x-m=0.
公式法(2)
基础巩固提优
1.(2023·吉林中考)一元二次方程 根的判别式的值是（ ）.
A. 33 B. 23 C. 17
2. (2024·自贡中考)关于 x 的方程 根的情况是（ ）.
A.有两个不相等的实数根
B.有两个相等的实数根
C.只有一个实数根
D.没有实数根
3.(2024·徐州中考)关于x 的方程 有两个相等的实数根，则k 值为 .
4.中考新考法 满足结论的条件开放 (2023·济南中考)关于x的一元二次方程 有实数根，则a 的值可以是 (写出一个即可).
5.转化思想(2025·江苏扬州仪征期中)若关于x 的一元二次方程 两根是-3，2，则方程 的根是 .
6.(2025·湖南岳阳期中)已知关于 x 的一元二次方程
(1)当m 为何值时，该方程有实数根
(2)当m=1时，求出这个方程的两个根.
7.(2024·黑龙江中考)关于x 的一元二次方程(m— 有两个实数根，则m 的取值范围是（ ）.
A. m≤4 B. m≥4
C. m≥-4且m≠2 D. m≤4且m≠2
8.(2024·宿迁中考)规定:对于任意实数a,b,c,有【a,b】★c= ac+b,其中等式右面是通常的乘法和加法运算,如【2,3】★1=2×1+3=5. 若关于x 的方程【x,x+1】★(mx)=0有两个不相等的实数根，则m 的取值范围为（ ）.
且m≠0 且m≠0
9. 方程思想已知在 Rt△ABC中,∠B=90°,AC=6,则 的最大值为 .
10.设一元二次方程 在下面的四组条件中选择其中一组 b，c的值，使这个方程有两个不相等的实数根，并解这个方程.
①b=2,c=1;②b=3,c=1;③b=3,c=-1;④b=2,c=2.
11. (2025·河南郑州期末)已知关于x的一元二次方程
(1)求证：无论m取任何实数，方程总有实数根.
(2)若等腰三角形的一边长为3，另两边长恰好是这个方程的两个根，求m 的值.
12.(2025·北京东城区汇文中学期中)已知关于x 的一元二次方程 有实数根.
(1)求m 的取值范围；
(2)若m为符合条件的最大整数，求方程的解.
延伸探究提优
13.对于任意一个三位数k，如果k 满足各个数位上的数字都不为零，且十位上的数字的平方等于百位上的数字与个位上的数字之积的4倍，那么称这个数为“喜鹊数”.例如：k=169,因为 ,所以169是“喜鹊数”.
(1)已知一个“喜鹊数”为 k=100a+10b+c(1≤a,b,c≤9,其中a,b,c 为正整数),请直接写出a，b，c所满足的关系式： ；判断 241 “喜鹊数”(填“是”或“不是”)，并直接写出最小的“喜鹊数” .
(2)利用(1)中“喜鹊数” k 中的a,b,c 构造两个一元二次方程 与 bx+a=0②,若x=m 是方程①的一个根,x=n是方程②的一个根，求m 与n 满足的关系式.
(3)在(2)的条件下,且m+n=-2,请直接写出满足条件的所有 k的值.
中考提分新题
14.(2024·南充中考)已知x ,x 是关于x 的方程 的两个不相等的实数根.
(1)求k 的取值范围.
(2)若k<5,且k,x ,x 都是整数，求k 的值.
第3课时 公 式 法(1)
1. B 2. A 3. - 3
[解析]:
∴x +3x+1=0,∴a=1,b=3,c=1,
归纳总结 一元二次方程 的求根
公式是
5.(1)∵a=1,b=-1,c=-2,
(2)原方程整理，得
(4)原方程整理，得
∵a=1,b=-2,c=-9,
归纳总结 用公式法解一元二次方程的一般步骤：①把方程化成一般形式，进而确定 a，b，c的值(注意符号)；②求出 的值(若 ，则方程无实数根)；③在 的前提下，把a，b，c的值代入公式进行计算求出方程的根.注意：用公式法解一元二次方程的前提条件有两个:①a≠0;②b -4ac≥0.
6. C [解析]∵a=1,b=-8,c=4,
∴较大的根为(
故选 C.
[解析]由题知 则
∵a=1,b=-2,c=-1,
则
又a 为正数，所以(
8. x=-2或 [解析]当x<1时,方程 max{1,为 即 解得. (不合题意，舍去),x =-2;
当x>1时，方程 为 即 x-3=0,解得 (不合题意，舍去).故方程的解为.x=-2或
9. x=-3或 [解析]①若x≤2,则. 解得x=-3或x=3(舍去);②若x>2,则. 解得 或 (舍去).
综上,x=-3或
10.(1)整理,得
∵a=1,b=10,c=-75,
25>0,
11.∵多项式 和B=2-3x的值互为相反数，
整理，得
解得.
∴x的值为 或
思路引导 代数式A 的值与 B 的值互为相反数，则这两个代数式的和为0，列方程求解即可.
12.(1)①∵a=1,b=-2,c=-2,
②∵a=2,b=3,c=-1,
③∵a=2,b=-4,c=1,
④∵a=1,b=6,c=3,
(2)方程①③④的一次项系数都为偶数2n(n 是整数).一元二次方程 其中b -4ac≥0,b=2n,n为整数.
即
∴一元二次方程 的求根公式为
13.(1)∵∠ACB=90°,BC=a ,AC=b,
运用勾股定理
(2)用求根公式求得方程 的解为x =
正确性：AD 的长就是方程的正根.
遗憾之处：图解法不能表示方程的负根.
14.(1)由①,得x<4,由②,得x>1,
故不等式组的解集为1(2)答案不唯一.由(1)知1则方程变为
∵a=1,b=-2,c=-2,
第4课时 公 式 法(2)
1. C
2. A [解析]关于x的方程. 中，
∵a=1,b=m,c=-2,∴△=m +8>0,
∴方程有两个不相等的实数根.故选 A.
归纳总结 对于一元二次方程 若 则方程有两个不相等的实数根；若 ，则方程有两个相等的实数根；若， 4ac<0，则方程没有实数根.上面的结论反过来也成立.
3. ±2
4.1(答案不唯一)[解析]∵关于x 的一元二次方程. 4x+2a=0有实数根,∴△=16-8a≥0,解得a≤2,则a 的值可以是1.
[解析]由题意知， 或 x=2.当 即 时， 1×3=-11<0,无实数根;当 即 0时,△=1 -4×1×(-2)=9>0,∴x=-1± 解得
6.(1)由题意,得 解得 ∴当 时，该方程有实数根.
(2)将m=1代入原方程，得 即
易错警示 一元二次方程有实数根是指方程“有两个不相等的实数根”和“有两个相等的实数根”两种情况，对应的根的判别式大于等于0.
7. D
8. D[解析]根据题意,得.x(mx)+x+1=0,整理得 x+1=0,∵关于x的方程【x,x+1】★(mx)=0有两个不相等的实数根，∴ 且m≠0,解得 且m≠0.故选D.
9.4 [解析]令
∵在 Rt△ABC中,∠B=90°,AC=6,
化简，得 因为 BC 是存在的，所以这个关于BC 的一元二次方程有解
即 解得 故 的最大值为4
10.∵使这个方程有两个不相等的实数根，
,即b >4c,∴②③均可.
选②解方程，则这个方程为
选③解方程，则这个方程为
即△≥0,
∴无论m 取任何实数，方程总有实数根.
(2)x -(m+2)x+2m=0,a=1,b=-(m+2),c=2m,
由(1)得
∴方程的两根为
若x ≠x ,则. 若 ，则x =2，两种情况都符用三角形三边关系验证
合题意，∴m的值为3或2.
12.(1)∵关于x的一元二次方程 0有实数根，
(2)∵m≤2,∴m|的最大整数为2，
∴方程为
不是1 21[ 解析]∵k=100a+10b+c 是喜鹊数， 即
∵4 =16,4×2×1=8,16≠8,∴241不是“喜鹊数”.
∵各个数位上的数字都不为零，十位上数字的平方等于百位上的数字与个位上的数字之积的4倍，
∴十位上的数字的平方最小为4.
最小的“喜鹊数”是121.
(2)∵x=m 是一元二次方程 的一个根，x=n是一元二次方程 的一个根，
将 两边同除以n ，得 前提是确保n不为0
c=0,∴将m, 看成是方程 的两个根.
方程 有两个相等的实数根 即 mn=1.
(3)∵m+n=-2, mn=1,∴m=-1,n=-1,
∴a-b+c=0,∴b=a+c.
,解得a=c,
∴满足条件的所有 k 的值为121,242,363,484.
14.(1)∵原方程有两个不相等的实数根，∴△>0，
4=4k-4>0,解得k>1.
(2)∵1当k=2时，方程为 解得 当k=3或4时，此时方程的解不是整数.
综上所述，k的值为2.