21.2.1配方法（1） 同步提优训练（含答案） 2025-2026学年人教版九年级数学上册

21.2 解一元二次方程-配方法(1)
基础巩固提优
1.(2025·江苏连云港期中)老师出示问题：“解方程 四位同学给出了以下答案:甲:“x=1”;乙:“ 丙： 丁： 下列判断正确的是（ ）.
A.甲正确 B.乙正确
C.丙正确 D.丁正确
2.若一元二次方程 可转化为两个一元一次方程，其中一个一元一次方程是x+6=8，则另一个一元一次方程是（ ）.
A. x-6=-8 B. x-6=8
C. x+6=8 D. x+6=-8
3.若关于x 的方程( 有实数根，则m 的取值范围是（ ）.
A. m>1 B. m>-1
C. m≥1 D. m≥-1
4.(2025·上海杨浦区期中)方程 的解是 .
5.教材P6练习·变式 用直接开平方法解下列方程：
(3)(4x-1) =225; (
思维拓展提优
6.如图是一个简单的程序计算器，如果输出的数值为-10，那么输入 x 的值为（ ）.
A. - 8
或
或
7.(湖北实验中学自主招生)定义[x]表示不超过实数x的最大整数,如[1.8]=1,[-1.4]=-2,[-3]=-3.函数y=[x]的图象如图所示,已知-2≤x<2,则方程 的解为（ ）.
A. 0或 B. 0或 1
C. 1或 D. 或
8.(2025·安徽合肥蜀山区期中)已知关于 x 的方程 的解是 b,m均为常数,a≠0),则方程a(x+m- 的解是 .
9.(2025·重庆北碚区朝阳中学期中)已知三角形的两边长分别为4 和6，第三边的长是一元二次方程 的一个根，则三角形的周长为 .
10.对于实数p，q，我们用符号 min{p,q}表示 p,q 两数中较小的数,如 min{1,2}=1,若 则x= .
11.如果( ,求a+b 的值.
12.若关于x 的一元二次方程 (a≠0)的一个根是1,且a,b 满足 求关于y的方程 的根.
已知一元二次方程 1的两个解恰好分别是等腰三角形 ABC 的底边长和腰长，求△ABC 的周长.
延伸探究提优
14.阅读理解题 在解一元二次方程时，发现有这样一种解法：
如:解方程x(x+8)=4,
解：原方程可变形，得[[(x+4)-4][(x+ 直接开平方，得 我们称这种解法为“平均数法”.
(1)下面是小明用“平均数法”解方程(x+2)·(x+8)=40时写的解题过程:
解：原方程可变形，得[[(x+a)-b][(x+a)+ 直接开平方，得
上述解题过程中的a，b，c，d所表示的数分别是 , , , .
(2)请用“平均数法”解方程:(x-2)(x+6)=4.
中考提分新题
15.(2024·凉山州中考)若关于x 的一元二次方程 的一个根是x=0，则a 的值为（ ）.
A. 2 B. - 2
C. 2或-2 D.
配方法(2)
基础巩固提优
1.(2025·河南洛阳老城区期中)若一元二次方程. 4x+3=0经过配方变形为 则 k的值是（ ）.
A. - 3 B. - 7 C. 1 D. 7
2.用配方法解方程 时，配方后正确的是（ ）.
3.用配方法解一元二次方程 时，将它化为( 的形式，则a+b的值为( ).
A. B. C. 2 D.
4.(2025·山西运城盐湖区期中)小兵同学解关于 x 的一元二次方程. 时，先在方程的两边加上16，把方程变形为 他这种解一元二次方程的方法是 法.
5.(2025·河南平顶山九中教育集团期中)用配方法解方程 配方得 常数 m 的值是
6.教材P7例1·变式 用配方法解下列方程：
(1)(2024·徐州中考)
思维拓展提优
7.若关于x的一元二次方程 配方后得到方程( ,则c 的值为( ).
A. - 3 B. 0 C. 3 D. 9
8.用配方法解一元二次方程 2x-2023=0,将它转化为( 的形式,则a 的值为( ).
A. - 2024 B. 2024
C. - 1 D. 1
9.(2025·江苏无锡经开区期中)若一元二次方程 4100 625 = 0 的两根为 —2025,则方程 的两根为 .
10.阅读并回答问题： 在实数范围内无解，如果存在一个数 i，使 ，那么当 时,有x=±i,从而x=±i是方程 的两个根.据此可知i可以运算，例如： 则方程 2=0的两根为 .(根用i表示)
11.中考新考法证明代数结论用配方法证明：
答案(1)无论x 为任何实数，代数式 10的值恒小于零；
(2)(2025·甘肃白银期中)用配方法求证：代数式 的值恒为正数.
12.若a为方程( 的一正根，b为方程 的一负根，求a+b的值.
13.中考新考法过程纠错改错 有 n 个方程：
小静同学解第1个方程 的步骤如下：( ③(x+1) =9;④x+1=±3;⑤x=1±3;
(1)小静的解法是从第几步开始出现错误的 请完成之后的正确步骤.
(2)用配方法解第 n 个方程 (用含有n的式子表示方程的根)
延伸探究提优
14.配方法(2025·江苏镇江新区期中)阅读材料：关于x的二次多项式，当x-t=0时，该多项式有最值，就称该多项式关于x=t平衡.例如：由于 所以当x-1=0 时，多项式 有最小值2，则称 关于x=1平衡；由于 所以当x+1=0时,
多项式 有最大值 4，则称 关于x=-1平衡.
运用材料中定义解决下列问题：
(1)多项式 关于x= 平衡；
(2)若关于x的多项式. 关于x=5平衡,则a= ;
(3)若关于x 的多项式 关于x=—3平衡，且最小值为 6，求方程 c=7的解.
15. 如图,在△ABC 中,∠ACB=90°,以点 B 为圆心，BC 长为半径画弧，交线段AB 于点D,连接CD.以点 A 为圆心,AC 长为半径画弧，交线段 AB 于点E，连接CE.
(1)求∠DCE 的度数.
(2)设BC=a,AC=b.
①线段 BE 的长是关于x 的方程 的一个根吗 说明理由.
②若D 为AE 的中点,求 的值.
21.2 解一元二次方程
第1课时 配 方 法(1)
1. D 2. D
3. D [解析]∵关于x的方程( 有实数根，∴m+1≥0,解得 m≥-1.故选 D.
[解析]∵
解得
归纳总结 形如 或 的一元二次方程可采用直接开平方的方法求解.如果方程能化成 的形式，那么 ；如果方程能化成 )的形式，那么
5.(1)直接开平方，得
解得
即
知识拓展 用直接开平方的方法解一元二次方程：①等号左边是一个完全平方式，而等号右边是一个非负数；②降次的实质是由一个一元二次方程转化为两个一元一次方程；③方法是根据平方根的意义开平方.
6. C
7. A [解析]当1≤x<2时, 解得 (舍去);当0≤x<1时, 解得 当-1≤x<0时, 方程没有实数解；当-2≤x<-1时. 方程没有实数解，所以方程[x]= 的解为0或 .故选 A.
易错警示 分析题意，得出x-1<[x]≤x，注意是否包含等号，否则容易出错.
[解析]∵关于x的方程 0的解是x =2,x =-1(a,b,m均为常数,a≠0),∴方程. 变形为a[(x-2)+m] +b=0,即此方程中 解得.
9.18 [解析]∵ ±3,解得. ，当第三边长为2时，2+4=6，不符合题意；当第三边长为8时，4+6=10>8，符合题意，根据三角形三边关系进行判断此时周长为8+6+4=18.
10.2或-1 [解析]当( 时,解得x=2或x=0,当x=0时, 不符合题意,∴x=2;当 时,解得x=1或x=-1,当x=1时, min{(x-,不符合题意,∴x=-1.综上,x=2或-1.
11.整理,得[
开方，得
12.由题意,得a-2≥0,4-2a≥0,解得a=2,∴b=-3.
∵关于x的一元二次方程( 的一个
根是1,∴a+b+c=0,∴c=1,
则关于y的方程为
整理，得
解得.
∵一元二次方程( 的两个解恰好分别是等腰三角形ABC的底边长和腰长，
∴①当底边长和腰长分别为4和2时，2+2=4，此时不能构成三角形；
②当底边长和腰长分别是2和4时，4+4>2，可以构成三角形,△ABC 的周长为2+4+4=10.
14.(1)5 3 2 - 12 [解析]原方程可变形,得[(x+5)-3 .
平均数
直接开平方并整理，得 上述过程中的a,b,c,d 表示的数分别为5,3,2,-12.
(2)原方程可变形,得[(x+2)-4][(x+2)+4]=4,(x+2) -4 =4,(x+2) =4+4 =20,
15. A [解析]∵关于x 的一元二次方程( 的一个根是 且a+2≠0,解得a=2.故选 A.
第2课时 配 方 法(2)
1. C 2. C
3. B [解析]: 则 即 故选 B.
名师点评 配方法的理论依据是公式 (a±b) ，本题可利用完全平方公式的结构特征解答，并不需要拘泥于配方法解一元二次方程的一般步骤.
4.配方
5.-2 [解析]方程
移项，得 配方，得.
6.(1)移项,得
配方，得 即
直接开平方，得.
(2)∵(2x+1) -2(2x+1)+1=4,∴(2x+1-1) =4,
知识拓展 用配方法解一元二次方程的一般步骤：①原方程化为 的形式；②方程两边同除以二次项系数，使二次项系数化为1，并把常数项移到方程右边；③方程两边同时加上一次项系数一半的平方；④把左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数；⑤如果右边是非负数，就可以进一步通过直接开平方法来求出它的解；如果右边是一个负数，则判定此方程无实数解.
7. C [解析]∵
即
,解得c=3.故选C.
8. D[解析]由题知, x -2x+1=2023+1,(x-1) =2024,所以a=-1,b=2024,所以 故选D.
[解析] 移项，得 配方，得 ∴(x-2) =4100625,∴x-2=±2025,
[解析]方程整理，得 配方，得 即 开方,得x-1=±i,解得.
11 -
∴无论x为任何实数，代数式 的值恒小于零.
(2)将原式进行配方，得原式
,
∴代数式 的值恒为正数.
易错警示 本题利用配方法和非负数的性质解题，解题时要注意配方法的步骤，注意在变形的过程中不要改变式子的值.
12.∵方程( 的解为
∵方程 即 的解为y=1±
13.(1)小静的解法是从步骤⑤开始出现错误的.正确步骤如下：
即
14.(1)-2 (2)5
(3)∵关于x的多项式. 关于x=-3平衡，且最小值为6 可表示为
或
15.(1)由作图知,BC=BD,AC=AE,
∴∠BCD=∠BDC,∠ACE=∠AEC.
∵∠ACB=90°,∴∠BCD+∠ACE-∠DCE=90°.
又在△DCE 中,∠BDC+∠AEC+∠DCE=180°,
∴90°+2∠DCE=180°,∴∠DCE=45°.
(2)①线段 BE 的长是关于x 的方程. 的一个根，理由如下：
由勾股定理，得
勾股定理使用的前提是直角三角形
解关于x 的方程.
得
∴线段 BE 的长是关于x 的方程. 的一个根.
②∵D为AE 的中点,AE=AC=b,
由勾股定理，得
整理，得
两边同时除以b，一定要先判断b≠0