母题变式提优 (一) 配方法 同步提优训练（含答案） 2025-2026学年人教版九年级数学上册

母题变式提优 (一) 配方法
母题学方法 1 配方法解一元二次方程
将一元二次方程配成 的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法.
1.(2025·河北邯郸期中)用配方法解方程： (2x-
解：整理，得 ，移项，得 ，二次项系数化为1，得 ，配方，得 ，即 开方，得 ，
解得
子题练思维
变式1.1 (2025·辽宁大连期中)解方程:
变式1.2(2025·江西景德镇期中)请用配方法讨论关于x 的一元二次方程 的根的情况.
变式1.3(2025·重庆江北区期末)下面是小明同学解一元二次方程 的过程，请认真阅读并完成相应任务.
解：二次项系数化为1，
得 ……第一步
配方，得 ……·第二步
……·第三步
……第四步
由此可得 ……第五步
解得 第六步
任务一：填空：
①上述小明同学解此一元二次方程的方法是 ，依据的数学公式是 ；
②第 步开始出现错误，错误的原因是
任务二：请你写出该方程的正确求解过程.
母题学方法2 配 方法分解因式
配方法是一种在数学中常用的技巧，特别是在处理二次多项式时.这个方法的核心思想是通过添加或减去适当的常数，使二次多项式变成一个完全平方的形式，从而更容易进行因式分解.
配方法因式分解的步骤是：1.将二次项和一次项的二次项系数提取，使二次项系数为1；2.计算二次项系数为1时，一次项系数的一半的平方；3.在多项式中添加和减去这个平方数；4.重写多项式，使其包含完全平方项；5.应用适当的因式分解公式(如平方差公式)进行因式分解.
2.(2025·上海浦东新区建平实验中学期末)因式分解：
子题练思维
变式2.1分解因式：
变式2.2实验班原创 分解因式：
母题学方法3 配方法求最值
在解一元二次方程相关问题时，常常会使用配方法来求解代数式的最值问题.一般步骤是：先将代数式配成一个完全平方式加一个常数项的形式，然后根据完全平方的非负性，从而求解出最大(小)值.
3.(2025·湖北武汉期末改编)若x 为任意实数，求代数式 的最小值.
子题练思维
变式3.1 (2025·上海徐汇区期末改编)已知多项式 p= 求p 的最小值.
变式3.2(2025·宁夏中卫期中)阅读理解并解答：
[方法呈现]
(1)配方法在代数式求值、解方程、解决最值问题中都有着广泛的应用.
例如：
则这个代数式 的最小值为 ，这时相应的x的值是 .
[尝试应用]
(2)求代数式 的最小值或最大值.
[拓展提高]
(3)已知a,b,c 是△ABC 的三边长,满足 求c 的取值范围.
母题变式提优(一)配方法
整理，得
移项，得
二次项系数化为1，得.
配方，得.
即
开方，得.
解得
变式1.1移项，得
二次项系数化为1，得
配方，得 即
直接开平方，得
变式1.2配方后方程转化为(
当c 1≥0,即c≥1时,方程有实数根;
当c—1<0,即c<1时,方程无实数根.
变式1.3任务一：①配方法 完全平方公式
②二 等式的右边没有加上(
任务二：移项，得
二次项系数化为1，得
配方，得
即 由此可得
所以
2.原式
变式2.2原式
3.由题意，得
∵对于任意实数：x
的最小值是-2.
变式3.1多项式
2024≥2024,∴p 的最小值为2024.
变式3.2 (1)2 — 1
(2)原式= 、
∴代数式 有最小值-6.
(3)由题意,得(
∴a-5=0,b-4=0,∴a=5,b=4.
∵a-b