21.1 一元二次方程 同步提优训练（2课时、含答案） 2025-2026学年人教版九年级数学上册

21.1 一元二次方程
第1课时 一元二次方程(1)
基础巩固提优
1.(2025·江苏淮安淮阴区期中)已知关于x 的方程 是一元二次方程，则（ ）.
A. a>0 B. a≥0 C. a≠0 D. a=1
2.下列关于x 的方程中，一定是一元二次方程的为（ ）.
3.(2025·福建厦门期中)关于x 的一元二次方程 的二次项系数和一次项系数分别是（ ）.
A. 3,-2 B. 3,2 C. 3,5 D. 5,2
4.(山东德州双语中学自主招生)若方程 x+3=0是关于x的一元二次方程，则m 的值为( ).
A. ±3 B. 3
C. - 3 D.都不对
5.将一元二次方程 化成一般形式之后，若二次项的系数是 2，则一次项系数为 .
6. 教材P3例·变式 把方程(x+2)(x-3)=2x-6化成一般形式，并写出它的二次项系数、一次项系数和常数项.
思维拓展提优
7.(2025·河南商丘期中)下列方程中，一定是一元二次方程的是（ ）.
8.(2025·江苏宿迁期中)若关于x 的一元二次方程 的常数项是6，则一次项是（ ）.
A. - x B. - 1 C. x D. 1
9. (2024·眉山中考)眉山市东坡区永丰村是“天府粮仓”示范区，该村的“智慧春耕”让生产更高效，提升了水稻亩产量，水稻亩产量从2021年的670千克增长到了 2023年的780千克，该村水稻亩产量年平均增长率为x，则可列方程为（ ）.
A. 670×(1+2x)=780
D. 670×(1+x)=780
10.已知关于x 的一元二次方程(a- 的一次项系数为0,则a 的值为 .
11.关于x的一元二次方程 1)+c=0化为一般形式后为 0,试求b,c 的值.
12.某中学数学兴趣小组对关于x 的方程(m+ 提出了下列问题：
(1)是否存在 m 的值，使方程为一元二次方程 若存在，求出 m 的值，并写出此方程.
(2)是否存在 m 的值，使方程为一元一次方程 若存在，求出 m 的值，并解此方程.
13.(2024·扬州邗江区梅岭中学模拟改编)关于x 的一元二次方程 与 k=0称为“同族二次方程”，如 4=0 与 是“同族二次方程”.现有关于 x 的一元二次方程 2(x一 与 是“同族二次方程”，求代数式 ab 的值.
延伸探究提优
14.若 是关于x 的一元二次方程，求a，b的值.
下面是两位同学的解法：
甲：根据题意，得 解得
乙：根据题意，得 或
解得 或
你认为上述两位同学的解答是否正确，为什么 如果不对，请给出正确的答案.
中考提分新题
15.(2024·西宁中考)如图，小区物业规划在一个长60m,宽22m的矩形场地ABCD 上,修建一个小型停车场，阴影部分为停车位所在区域，两侧是宽 x m 的道路，中间是宽 2 x m 的道路.如果阴影部分的总面积是 600 m ，那么x 满足的方程是（ ）.
第2课时 一元二次方程(2)
基础巩固提优
1.(2025·福建福州马尾区期中)已知方程 1)x+3k+2=0有一个根是-1,则k 的值是( ).
A. - 3 B. - 1 C. 1 D. 2
2.已知x=-1是方程 0的一个根，则必有（ ）.
A. a+b=c
C. a-b=c
3.(2025·福建泉州师范学院附中期中)已知x=m 是一元二次方程 的一个根，则代数式 的值为（ ）.
A. 2025 B. 2026 C.2027 D. 2028
4.(2024·深圳中考)一元二次方程 0的一个解为x=1,则a= .
5.(2025·山东菏泽期中)若x=m 是一元二次方程 一个根，则 的值为 .
6.(2025·河北承德期中)已知一元二次方程 bx+c=0(a≠0),若a+b+c=0,则方程必有一根为 .
7.教材P4习题T3·变式下列哪些数是方程 6x+8=0的根
0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10.
思维拓展提优
8.(2025·江苏镇江新区期中)若关于x 的一元二次方程 有一根为x=2025,则一元二次方程 0必有一根为（ ）.
A. 2023 B. 2024 C. 2025 D. 2026
9.(2024·聊城二模)已知a 是方程 0的一个根，则
A. 2022 B. 2023 C. 2024 D. 2025
10.(重庆南岸区自主招生)已知 m 为方程. 0的一个根，则代数式 的值为 .
11.(2025·河南新乡长垣期中)阅读下列材料：方程. 3x-1=0两边同时除以x(x≠0),得x+ 即 因为 所以 11.根据以上材料解答下列问题：
(1)已知方程x -4x-1=0(x≠0),则x-
(2)若m 是方程 的一个根，求 的值.
12.中考新考法 新定义问题 定义：如果关于x 的一元二次方程 满足a—b+c=0，那么我们称这个方程为“黄金方程”.
(1)判断一元二次方程 是否为“黄金方程”，并说明理由；
(2)已知 是关于 x 的“黄金方程”，若m 是此方程的一个根，求代数式 的值.
13.换元思想请阅读下列材料：
问题：已知方程 求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的2倍.
解：设所求方程的根为 y，则y=2x，
所以
把 代入已知方程，得 化简，得
故所求方程为
这种利用方程根的代换求新方程的方法，我们称为“换根法”.
请用阅读材料提供的“换根法”求新方程(要求：把所求方程化为一般形式)：
(1)已知方程 求一个一元二次方程，使它的根分别为已知方程根的相反数；
(2)已知关于 x 的一元二次方程 bx+c=0(a≠0)有两个不等于零的实数根,求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的倒数.
延伸探究提优
14.在实数范围内定义一种运算“*”，其运算法则为 如： 根据这个法则：
(1)计算:3*2= ;
(2)判断(t+2)*(2t+1)=0是否为一元二次方程；
(3)判断方程(x+2)*1=3的根是否为 并说明理由.
中考提分新题
(2024·南充中考)已知m 是方程 的一个根,则(m+5)(m-1)的值为 .
21.1 一元二次方程
第1课时 一元二次方程(1)
1. C
2. B
3. A [解析]方程 中，二次项系数为3，一次项系数为-2.故选 A.
知识拓展 一般地，任何一个关于x 的一元二次方程经过整理，都能化成 )的形式.这种形式叫做一元二次方程的一般形式，其中 ax '叫做二次项，a 叫做二次项系数；bx 叫做一次项，b 叫做一次项系数；c 叫做常数项.
4. C[解析]由一元二次方程的定义可知 解得m=-3.故选 C.
5.-5[解析]∵一元二次方程： 化成一般形式之后，二次项的系数是2，∴化成的一般形式为 3=0,∴一次项系数为-5.
6.将(x+2)(x-3)=2x-6化简,得
所以它的二次项系数是1，一次项系数是-3，常数项是0.易错警示 要确定二次项系数、一次项系数和常数项，首先要把一元二次方程化成一般形式.注意在说明二次项系数、一次项系数和常数项时，一定要带上前面的符号.
7. B
8. A[解析]∵关于x 的一元二次方程( mx+|m|+3=0的常数项是6,∴|m|+3=6,m+3≠0,解得m=3，把m=3代入原方程可得 ∴一次项是-x.故选 A.
易错警示 二次项系数含有参数的一元二次方程，一定要注意二次项系数不能为0，否则易出错.
9. B [解析]利用2021年的水稻亩产量×(1+年平均增长率 年的水稻亩产量，得故选 B.
延伸拓展 有关增长(下降)率问题的公式为：设基数为a，增长(下降)率为x，增长(下降)的次数为n，增长(下降)后的量为b，则有
10.—1 [解析]由题意,得a—1≠0且,解得a=-1.
11.原方程可化为 化简，得 所以b-4=-3,2-b+c=-1,解得b=1,c=-2.
12.(1)存在.根据一元二次方程的定义可得 且m+1≠0,解得m=1,此时方程为
(2)存在.由题意，得 或m+1=0时,原方程可能为一元一次方程.
当 时,m=0,此时方程为-x-1=0,解得x=-1;
当m+1=0时,m=-1,此时方程为-3x-1=0,解得
与 是“同族二次方程”，
方程需满足m=1, k=1
即( a+3,
解得(a=5-1 ,∴ab=-50.
14.上述两位同学的解法都不正确.理由如下：
是关于x 的一元二次方程，
∴分以下几种情况：
元二次方程可以缺少一次项
解得 ② 解得
解得 ④{a=0,b=2,解得
解得
综上所述， 或 或 或
素养考向 本题是一道探究性问题，考查学生对一元二次方程概念的理解和运用，也考查了学生对于分类讨论数学思想的掌握情况.
15. A [解析]∵矩形场地ABCD 的长为60m,宽为22m,且所修建停车位的两侧是宽 x m 的道路，中间是宽2x m的道路，∴停车位(即阴影部分)可合成长为(60—2x)m,宽为(22-2x)m的矩形.根据题意,得(60-2x)·(22-2x)=600,化简,得. .故选 A.
第2课时 一元二次方程(2)
1. B 2. C 3. B 4.3
5.2027 [解析]∵x=m 是一元二次方程 的一个根， 即 2025=2(m +m)+2025=2×1+2025=2027.
6. x=1 [解析]∵a+b+c=1,∴x=1是一元二次方程 的一个根.
7.将x=2代入方程. 中，左边 8=0,即左边=右边,故x=2是方程. 的根；将x=4代入方程. 中，左边 8=0,即左边=右边,故x=4是方程. 的根.同理可得,当x=0,1,3,5,6,7,8,9,10时,都不是方程 )的根，故2和4是方程. )的根.
8. B[解析]把方程( 看作关于(x+1)的一元二次方程，∵关于x的一元二次方程( bx+2=0(a≠0)有一根为x=2025,∴关于x+1的一元二次方程 有一根为x+1=2025,解得x=2024,∴一元二次方程 1)+2=0必有一根为x=2024.故选 B.
9. B [解析]∵a 是方程. 的一个根， 即
故选 B.
10.9 [解析]∵m为方程 的一个根， 6=3m+3-3m+6=9.
11.(1)4 18 [解析]方程. 两边同时除以x，得
(2)∵m是方程 的一个根，
易知m≠0,
方程两边同时除以2m，得
12.(1)方程 是“黄金方程”.理由如下：
∵a=4,b=11,c=7,∴a-b+c=4-11+7=0,
∴一元二次方程 是“黄金方程”.
是关于x 的“黄金方程”，其中a=3,b=-m,c=n,
∴3-(-m)+n=0,∴n=-3-m,
∴原方程可化为
∵m是此方程的一个根，.
即
13.(1)设所求方程的根为 y,则 y=-x,所以x=-y.把x=-y代入方程. 中，得 代入时需注意符号.如( 即所求方程为
(2)设所求方程的根为y，则 所以
把 代入方程 中，得 化简，得
需对所有项乘 y 消分母，勿漏乘
若c=0,则( ,即x(ax-b)=0,可得有一个解为x=0,不合题意,所以c≠0,
即所求方程为
14.(1)3[解析]根据题中的新定义，得 9-6=3.
(2)由新定义，得( 整理，得 ，是一元二次方程.
去括号的过程注意符号
(3)方程变形，得(
整理，得 即
当 时，方程 的左边≠0；
当 时，方程 的左边≠0.
故方程(x+2)*1=3 的根不是
15.-4 [解析]把.x=m代入 得 1=0,∴m +4m=1,∴(m+5)(m-1)=m -m+5m-
思路引导 代数式中的字母表示的数没有明确告知，而是隐含在题设中，首先应从题设中获取代数式 的值，然后利用“整体代入法”求代数式的值.