21.3实际问题与一元二次方程 同步提优训练（3课时、含答案） 2025-2026学年人教版九年级数学上册

21.3实际问题与一元二次方程
第 1课时 实际问题与一元二次方程 (1)
基础巩固提优
1.举办单循环篮球赛某校九年级组织一次篮球赛，各班均组队参赛，赛制为单循环形式(每两班之间都赛一场)，共需安排15 场比赛，则九年级班级的个数为（ ）.
A. 5 B. 6 C. 7 D. 8
2.(2024·牡丹江中考)一种药品原价每盒48 元，经过两次降价后每盒27 元，两次降价的百分率相同，则每次降价的百分率为（ ）.
A. 20% B. 22% C. 25% D. 28%
3.(2024·山东济南章丘区期中)某班文学小组在举行的图书共享仪式上互赠图书，每个同学都把自己的图书向本组其他成员赠送一本，全组共互赠了132本图书，则全组共有 名同学.
4.(2023·郴州中考)随旅游旺季的到来，某景区游客人数逐月增加，2月份游客人数为1.6万人，4月份游客人数为2.5万人.
(1)求这两个月中该景区游客人数的月平均增长率.
(2)预计5月份该景区游客人数会继续增长，但增长率不会超过前两个月的月平均增长率.已知该景区5月 1日至5月 21 日已接待游客2.125万人，则5月份后10天日均接待游客人数最多是多少万人
思维拓展提优
5.某次足球比赛中，每两个足球队之间要进行一次主场比赛和一次客场比赛，所以共组织了20场比赛，这次比赛参加的足球队有（ ）.
A. 10个 B. 6 个 C. 5 个 D. 4个
6.某病毒主要是经呼吸道飞沫传播的，在无防护下传播速度很快，已知有1个人患了某病毒，经过两轮传染后共有196个人患了该病毒，每轮传染中平均一个人传染 m人,则m 的值为（ ）.
A. 11 B. 12 C. 13 D. 14
7.(2024·重庆中考)随着经济复苏，某公司近两年的总收入逐年递增.该公司2021 年缴税40万元，2023年缴税 48.4万元.该公司这两年缴税的年平均增长率是 .
8.某型号电动汽车，第一年充满电可行驶500 km，第三年充满电可行驶405km，则该型号电动汽车续航里程平均每年衰减的百分比为 .
9.教材P22习题T4·变式某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干、小分支的总数是 73，每个支干长出 个小分支.
10.小武同学建立了一个名为“正能量”的群.这个群里有若干个好友，每个好友都分别给群里其他好友发送了一条充满正能量的消息，这样共有870条消息.这个群里共有 个好友.
11.(2025·四川绵阳外国语学校期中)某头盔经销商5 至7月份统计，某品牌头盔5月份销售2250个，7月份销售3240个，且从5月份到7月份销售量的月增长率相同.请解决下列问题.
(1)求该品牌头盔销售量的月增长率.
(2)某工厂已建有一条头盔生产线生产头盔，经过一段时间后，发现一条生产线最大产能是900个/天，但如果每增加一条生产线，每条生产线的最大产能将减少30个/天，现该厂要保证每天生产头盔3900个，应该增加几条生产线
延伸探究提优
12.要组织一次排球邀请赛，参赛的每两个队之间都要比赛一场.根据场地和时间等条件，赛程计划安排7天，每天安排4场比赛.
(1)①共有 场比赛.
②设比赛组织者应邀请x 个队参赛，每个队要与其他 个队各赛一场.因为甲队对乙队的比赛和乙队对甲队的比赛是同一场比赛，所以全部比赛一共有 场，列方程： .
[小试牛刀](2)参加一次聚会的每两人都要握手一次，所有人共握手了10次，有多少人参加聚会
[综合运用](3)将 A ,A ,A ,…,A ,共n个点每两个点连一条线段共得到y 条线段,将 B ,B ,B ,…,B ,共2n个点每两个点连一条线段共得到 y 条线段，问 能否为整数 写出你的结论，并说明理由.
中考提分新题
13.(2024·西藏中考)某商场响应国家消费品以旧换新的号召，开展了家电惠民补贴活动.四月份投入资金20万元，六月份投入资金24.2万元，现假定每月投入资金的增长率相同.
(1)求该商场投入资金的月平均增长率.
(2)按照这个增长率，预计该商场七月份投入资金将达到多少万元
第2课时 实际问题与一元二次方程 (2)
基础巩固提优
1. 如图,在长为 100 m,宽为 50m的矩形空地上修筑四条宽度相等的小路，若余下的部分全部种上花卉,且花圃的面积是 3 600m ,则小路的宽是（ ）.
A. 5m B. 70 m
C. 5m 或 70 m D. 10m
2.(2024·青岛中考)如图,某小区要在长为16 m,宽为 12 m 的矩形空地上建造一个花坛，使花坛四周小路的宽度相等，且花坛所占面积为空地面积的一半，则小路宽为 m.
3. 教材P20探究3·变式如图,在长为16 m,宽为10m的矩形地面上修筑同样宽的道路(图中阴影部分)，余下的部分种上草坪，要使草坪的面积为整个矩形面积的 ，则道路的宽为 m.
4.为了便于劳动课程的开展，学校打算建一个矩形生态园ABCD(如图)，生态园一面靠墙(墙足够长)，另外三面用 18m的篱笆围成.生态园的面积能否为40 m 如果能，请求出 AB 的长；如果不能，请说明理由.
思维拓展提优
5.如图，若将左图正方形剪成四块，恰能拼成右图的矩形，设a =1，则这个正方形的面积为( ).
6.(2025·安徽合肥蜀山区期末)为了节省材料，某农场水产养殖户利用水库的岸堤(岸堤足够长)为一边，用总长为120米的围网在水库中围成了如图所示的①②③三块矩形区域，且这三块矩形区域的面积都为225平方米，则图中区域①矩形的长a 为 米.
7.如图，有长为34 米的篱笆，一面利用墙(墙的最大可用长度为 22 米)围成中间隔有一道篱笆的矩形花圃，园主在花圃的前端各设计了两个宽1米的小门，设花圃的宽AB 为x 米.
(1)若围成的花圃面积为 96 平方米，求此时的宽AB.
(2)能围成面积为 120 平方米的花圃吗 若能，请求出 x 的值；若不能，请说明理由.
8.(2023·东营中考)如图,老李想用长为 70 m的栅栏，再借助房屋的外墙(外墙足够长)围成一个矩形羊圈ABCD，并在边 BC 上留一个2m宽的门(建在 EF 处，另用其他材料).
(1)当羊圈的长和宽分别为多少米时，能围成一个面积为640 m 的羊圈
(2)羊圈的面积能达到 650 m 吗 如果能，请你给出设计方案；如果不能，请说明理由.
9.(福建泉州华侨中学自主招生)用总长680 cm的木板制作矩形置物架ABCD(如图)，已知该置物架上面部分为正方形ABFE，下面部分是两个全等的矩形 DGMN 和矩形CNMH，中间部分为矩形 EFHG.已知DG=60cm,设正方形的边长AB=x cm.
(1)当x=72时,EG的长为 cm;
(2)置物架ABCD 的高AD 的长为 cm;(用含x的代数式表示)
(3)为了便于置放物品，EG 的高度不小于22cm，若矩形 ABCD 的面积为 12 000cm ,求x 的值.
延伸探究提优
10.分类讨论思想如图，A，B，C，D 为矩形的4个顶点,AB=16cm,BC=6cm,动点 P,Q 分别以3cm/s,2cm/s的速度从点 A,C 同时出发，点Q 从点C 向点D 移动.
(1)若点 P 从点A 移动到点 B 停止,点Q 随点P 的停止而停止移动，点P，Q分别从点A，C同时出发，问经过多长时间 P，Q两点之间的距离是10cm
(2)若点 P 沿着 AB→BC→CD 移动,点 Q从点C 移动到点 D 停止时，点P 随点 Q 的停止而停止移动，试探究经过多长时间△PBQ 的面积为12cm
中考提分新题
11.(2024·通辽中考)如图,小程的爸爸用一段 10 m长的铁丝网围成一个一边靠墙(墙长5.5m)的矩形鸭舍，其面积为15 m ，在鸭舍侧面中间位置留一个 1m 宽的门(由其他材料制成),则BC长为( ).
A. 5m 或6m B. 2.5m或3m
C. 5m D. 3m
第 3课时 实际问题与一元二次方程(3)
基础巩固提优
1.(2024·河北中考)淇淇在计算正数a的平方时，误算成a 与2的积，求得的答案比正确答案小1，则a=（ ）.
A. 1
D. 1或
2. 已知两个数的差等于 2，积等于15，则这两个数中较大的是 .
3.某商品进价为每件 30元，有一段时间若以x 元卖出,则可卖(100-x)件,商场计划要赚1200元,同时又让顾客得到实惠，则该商品的售价x为 元.
4.(2025·山东滨州滨城区期中)某商店以每件70元的价格购进若干件衬衫，第一个月按单价 100 元销售，售出200件，第二个月为增加销售量，且让利于顾客，决定降价处理，经市场调查， ，如何定价，才能使以后每个月的利润达到7820元
解：设…，根据题意，得
…
根据上面所列方程，完成下列任务：
(1)数学问题中横线处缺少的条件是 ；
(2)所列方程中未知数x 的实际意义是 ；
(3)请写出解决上面的数学问题的完整解题过程.
思维拓展提优
5.某电商销售一款服装，进价为40元/件，售价为110元/件，每天销售20件，每销售一件需缴纳电商平台推广费用5元.为尽快回笼资金并让利于顾客，该电商计划开展降价促销活动.通过市场调研发现，该时装售价每降价1元，每天销量增加4件.若该电商每天扣除平台推广费之后的利润要达到4500元，则适合的售价应定为（ ）.
A. 70元 B. 80元
C. 70元或 90元 D. 90元
6.新情境日历表 如图是某月日历表的一部分，在此日历表上可以用一个矩形圈出3×3个位置相邻的数(如 12,13,14,19,20,21,26,27,28).若圈出的9个数中，最大数与最小数的积为 161，则这9个数中最小数为（ ）.
A. 18 B. 13 C. 7
7.跨学科古诗词理解在苏轼笔下，周瑜年少有为，文采风流，雄姿英发，谈笑间，樯橹灰飞烟灭，然天妒英才，英年早逝，欣赏下面改编的诗歌：“大江东去浪淘尽，千古风流数人物.而立之年督东吴，早逝英年两位数.十位恰小个位三，个位平方与寿符.”则这位风流人物去世的年龄为 岁.
8.(重庆南岸区自主招生)北京冬奥会期间，某商店购进 600个纪念品，每个纪念品的进价为6元，第一周以每个 10元的价格售出 200个.第二周商店为了适当增加销售量，决定降价销售.根据市场调查，单价每降低 1元，可多售出50个(售价不得低于进价).第三周商店把每个纪念品的售价再在第二周售价的基础上降低20%，剩余纪念品全部售完.(注：销售利润=销售量×(售价一进价))
(1)若第二周每个纪念品降价m 元，用含m 的代数式表示这批纪念品第二周的销售利润；
(2)若前两周商店销售这批纪念品的利润为1 400元，求第二周每个纪念品的售价；
(3)若这批纪念品共获得销售利润1 730 元，求这批纪念品第三周的销售数量.
延伸探究提优
9.(2024·安徽安庆怀宁期末)某青年旅社有 60间客房供游客居住，在旅游旺季，当客房的定价为每天 200 元时，所有客房都可以住满.客房定价每提高10元，就会有1个客房空闲，对有游客入住的客房，旅社还需要对每个房间支出 20元/天的维护费用，设每间客房的定价提高了x元.
(1)填表(不需化简)：
入住的房间数量 房间价格 总维护费用
提价前 60 200 60×20
提价后
(2)若该青年旅社希望每天纯收入为 14 000元且能吸引更多的游客，则每间客房的定价应为多少元 (纯收入=总收入—维护费用)
中考提分新题
10.(2024·淄博中考)“我运动,我健康,我快乐!”随着人们对身心健康的关注度越来越高.某市参加健身运动的人数逐年增多，从2021年的32万人增加到2023年的50万人.
(1)求该市参加健身运动人数的年均增长率；
(2)为支持市民的健身运动，市政府决定从 A公司购买某种套装健身器材.该公司规定：若购买不超过100套，每套售价1600元；若超过100套，每增加10套，售价每套可降低 40 元.但最低售价不得少于1000 元.已知市政府向该公司支付货款24万元，求购买的这种健身器材的套数.
21.3实际问题与一元二次方程
第1课时 实际问题与一元二次方程(1)
1. B[解析]设九年级共有x 个班，根据题意，得 15,解得x=6或x=-5(舍去),
∴九年级班级的个数为 6.故选 B.
解题通法 比赛场次问题：一些体育赛事，经常采用“单循环”“双循环”或“主客场”赛制，参赛队伍数与比赛场次数之间存在的关系有时可借助一元二次方程来解决，一般地，n个队“单循环”赛的比赛场次数为 场，“双循环”或“主客场”赛的比赛场次数为n(n-1)场.
2. C
3.12[解析]设全组共有x名同学，则每个同学赠送出(x-1)本图书,依题意,得x(x-1)=132,整理,得 132=0,解得. l(不合题意，舍去).
4.(1)设这两个月中该景区游客人数的月平均增长率为x.由题意，得
解得 (不合题意，舍去).
故这两个月中该景区游客人数的月平均增长率为25%.
(2)设5月份后 10 天日均接待游客人数是 a 万人.
由题意,得2.125+10a≤2.5×(1+25%),解得a≤0.1.故5月份后 10天日均接待游客人数最多是0.1万人.
5. C[解析]设有x 个足球队参加比赛，依题意，得x(x-1)=20,整理,得x -x-20=0,(x-5)(x+4)=0,解得 (舍去)，即共有5个足球队参加比赛.故选C.
6. C
7.10%[解析]设该公司这两年缴税的年平均增长率是x，根据题意，得 解得 (不符合题意，舍去)，∴该公司这两年缴税的年平均增长率是10%.
知识拓展 对于平均增长(降低)率问题，经过多轮变化，有关系式a(1±x)"=b，a为增长(降低)前的基础数量，x 为增长率(降低率)，n为增长(降低)的次数，b为增长(降低)后的数量.要注意根据具体问题的实际意义检验结果的合理性.
8.10%[解析]设该型号电动汽车续航里程平均每年衰减的百分比为x，根据题意，得 解得 0.1=10%,x =1.9(不符合题意,舍去).故该型号电动汽车续航里程平均每年衰减的百分比为10%.
9.8[解析]设每个支干长出x个小分支，则主干上长出了x个支干，根据题意，得 解得 (舍去)，x =8，即每个支干长出8个小分支.
10.30 [解析]设这个群里共有x个好友，依题意，得x(x-1)=870,整理,得. ,即(x-30)(x+29)=0，解得 (舍去).故这个群里共有 30个好友.
11.(1)设该品牌头盔销售量的月增长率为x.
依题意，得
解得 (不合题意，舍去).
故该品牌头盔销售量的月增长率为20%.
(2)设增加m 条生产线，
由题意,得(900—30m)(m+1)=3900,
整理，得 ，解得：m =4,m =25.
故增加4条或25条生产线.
方法诠释 列一元二次方程解应用题的“六字诀”.①审：理解题意，明确未知量、已知量以及它们之间的数量关系；②设：根据题意，可以直接设未知数，也可以间接设未知数；③列：根据题中的等量关系，用含所设未知数的代数式表示其他未知量，从而列出方程；④解：准确求出方程的解；⑤验：检验所求出的根是否符合所列方程和实际问题；⑥答：写出答案.
12.(1)①28
(2)设有x 人参加聚会，
由题意，得 解得 (舍去).故有5人参加聚会.
能为整数.理由如下：
由题意，得
∵n为正整数,∴当n=2或3时,y y 为整数;当n≥4时,y y 不能为整数.
13.(1)设商场投入资金的月平均增长率为x，
依题意，得
解得 (不合题意，舍去).
故商场投入资金的月平均增长率为10%.
(2)由题意,得24.2×(1+10%)=26.62(万元).
故预计该商场七月份投入资金将达到26.62万元.
第2课时 实际问题与一元二次方程(2)
1. A[解析]设小路的宽是x m，则余下的部分可合成长为(100-2x) m,宽为(50-2x)m的矩形.根据题意,得(100—2x)(50—2x)=3600,整理,得 解得 )(不符合题意，舍去)，∴小路的宽是5m.故选 A.
2.2 [解析]设小路宽为x m,根据题意,得(16-2x)(12- 解得x=2或x=12(舍去),∴小路宽为2m.
3.2[解析]设道路的宽为x m，则余下的部分可合成长为(16-x)m,宽为(10-x)m的矩形.依题意,得(16- 整理，得 解得x =2,x =24(舍去).故道路的宽为2m.
4.生态园的面积能为40 m ，理由如下：
∵四边形 ABCD 是矩形,∴AB=CD,AD=BC.设 AB的长度为x m，则 BC的长度为 由题意，得
整理，得 ,解得x =10,x =8,∴生态园的面积能为40m ,AB 的长为10m或8m.
知识拓展 本题属于形积问题，常见类型有：①利用勾股定理列一元二次方程，求三角形、矩形的边长；②利用三角形、矩形、菱形、梯形和圆的面积，以及柱体体积公式建立等量关系列一元二次方程.
5. A[解析]根据图形和题意，得( 其中a=1，则方程可化为( 解得 根据实际意义，负根舍去所以正方形的面积为 故选 A.
关键提醒 关键是从两个图形中找到两图形的边长的值，利用面积相等列出等式求方程，解得b的值，从而求出正方形的边长，再求面积.
6.30 [解析]设图中区域①矩形的宽为x米，则图中区域②矩形的宽为2x 米，图中区域①矩形的长 =(60-4x)米,根据题意,得(60-4x)x=225,整理,得 解得
(米).
7.(1)∵花圃的宽AB为x米,
∴花圃的长AD为34+2-3x=(36-3x)米.
依题意,得x(34+2-3x)=96,解得.
当x=4时,36-3x=24>22,不合题意,舍去;
当x=8时,36-3x=12<22,符合题意.
故此时的宽 AB 为8米.
(2)不能围成面积为120平方米的花圃.理由如下：
依题意,得x(36-3x)=120,整理,得.
∴该方程无实数根.
故不能围成面积为120平方米的花圃.
8.(1)设矩形ABCD的边AB= xm,则边BC=70-2x+2=(72-2x)m.根据题意,得x(72-2x)=640,
化简，得 解得
当x=16时,72-2x=72-32=40;
当x=20时,72-2x=72-40=32.
故当羊圈的长为40m,宽为16 m或长为32m,宽为20 m时，能围成一个面积为640m 的羊圈.
(2)不能.理由如下：
由题意,得x(72-2x)=650,化简,得 ∴一元二次方程没有实数根.∴羊圈的面积不能达到650m .
9.∵矩形 DGMN 和矩形CNMH 全等,
∴MN=CH=DG=60cm.
若AB=x cm,则AE=BF=EF=CD=GH= xcm,
(1)34 [解析]当x=72时,EG=250-3x=250-3×72=34(cm).
(2)(310-2x) [解析]依题意,得
(3)依题意,得x(310-2x)=12000,
整理，得 解得
∵EG的高度不小于22cm,即250-3x≥22,
∴x≤76,∴x =80不合题意,舍去.故x 的值为75.
10.(1)如图,过点 P 作PE⊥CD 于点 E.设经过 xs,P,Q两点之间的距离是10cm.根据题意,得 EQ=|16-2x-3x| cm,PE=BC=6cm.
则
解得 .经过 是前提
P,Q 两点之间的距离是 10cm.
(2)如图,连接BQ.设经过 ys,△PBQ的面积为12cm .
①当 时，PB=(16-3y) cm,
应分类讨论，当点 P 在AB 上运动
则 解得y=4;
②当 时,BP=3y-AB=(3y-16) cm,QC=当点 P 在 BC 上运动2y cm,则 解得 y = (舍去);
③当 时,QP=CQ-PC=2y-(3y-22)=
当点 P 在CD 上运动
(22-y) cm,
则 解得y=18(舍去).综上所述,经过4s或6s,△PBQ的面积为12cm .
思路引导 动态问题解题的基本思想是化动为静，即假设运动时间为t，在第t秒这一时刻，动态问题就成了一个静态问题.观察图形，寻找相等关系，物体运行的路线与图中其他线段会构成直角三角形，可运用直角三角形的性质列方程求解.
11. C
第3课时 实际问题与一元二次方程(3)
1. C[解析]根据题意，得 解得
故选C.
2.5 或-3 3.60
4.(1)单价每降低2元时，月销售量可增加40件
(2)单价降低了x 元
(3)设单价降低了x元，
根据题意，得( 整理得 解得x =4(舍去), ∴100-x=100-16=84.故定价为每件84元时,才能使以后每个月的利润达到7280元.
5. A [解析]设降价x元后利润达到4500元，由题意，得(110-40-5-x)(20+4x)=4500,解得.
∵为尽快回笼资金并让利于顾客，∴故应舍去. 则读懂题目的隐含条件
每件售价定为70元能使该电商每天扣除平台推广费之后的利润达到4500元.故选 A.
6. C[解析]设最小数为x，则另外八个数分别为(x+1)，(x+2),(x+7),(x+8),(x+9),(x+14),(x+15),(x+16),依题意,得x(x+16)=161,解得. -23(不合题意,舍去).故选 C.
7.36 [解析]设这位风流人物去世的年龄十位数字为x，则个位数字为x+3.
根据题意,得10x+(x+3)=(x+3) ,
整理，得 解得
由题意，而立之年督东吴，则x=2舍去，
∴这位风流人物去世的年龄为36岁.
8.(1)依题意，得第二周每个纪念品的销售利润为(10-m-6)=(4-m)元,销售量为(200+50m)个,
∴这批纪念品第二周的销售利润为(4-m)(200+50m)= 元.
(2)设第二周每个纪念品降价m元.依题意，得(10-6)×200+(4-m)(200+50m)=1400,整理,得 解得： (不符合题意，舍去)，
∴10-m=10-2=8.
故第二周每个纪念品的售价为8元.
(3)设第二周每个纪念品降价m元.依题意，得(10-6)×200+(4-m)(200+50m)+[(10-m)×(1-20%)-6]·[600-200-(200+50m)]=1730,整理,得 26m-27=0,解得m =1,m =-27(不符合题意,舍去),
前提条件: 10-m≥6, 即m≤4
∴600-200-(200+50m)=600-200-(200+50×1)=150.故这批纪念品第三周的销售数量为150个.
[解析]∵每增加10元，就有一个房间空闲，增加20元就有两个房间空闲，以此类推，空闲的房间为 ，∴入住的房间数量= 房间价格是(200+x)元，总维护费用是(
(2)依题意,得( 整理，得 解得x =320,x =100.当x=320时，有游客居住的客房数量是 (间).当x=100时，有游客居住的客房数量是 (间).所以当x=100时，能吸引更多的游客，则每个房间的定价为200+100=300(元).
故每间客房的定价应为300元.
10.(1)设该市参加健身运动人数的年均增长率为x，由题意，得
解得. 5(不符合题意，舍去)，故该市参加健身运动人数的年均增长率为25%.
(2)设购买的这种健身器材的套数为 m套，
∵240000÷1600=150(套),∴m>100.
由题意，得
整理，得m -500m+60000=0,
解得m =200,m =300,
当n = 200 时, 1200>1000,符合题意;
当m =300 时, 800<1000,不符合题意,舍去.
故购买的这种健身器材的套数为200套.
中高考趋势 这类题目符合当前中高考”重应用、强分析”的命题趋势，需通过系统性练习提升综合解题能力.未来中高考可能会继续加强这类题目的比例，以更好地评估学生的综合数学素养和解决实际问题的能力，因此，学生在备考时，需强化实际应用题训练，尤其是增长率、分段定价等典型模型；注重分情况讨论的思维训练，避免遗漏约束条件(如最低售价)；提高审题能力，注意题目隐含条件或潜在错误，培养自主验证的习惯.