专题提优特训3 与一元二次方程的根有关的问题 同步提优训练（含答案） 2025-2026学年人教版九年级数学上册

专题提优特训3 与一元二次方程的根有关的问题
题型1 与根的定义结合
1.(2025·湖北武汉洪山区期中)如果关于x 的一元二次方程 的一个解是x=-1，那么代数式2022—a+b 的值为 .
2.已知x=1是一元二次方程 的一个解，且a≠b，求 的值.
3.(2025·辽宁丹东期末)“新定义”问题就是给出一个从未接触过的新规定，要求同学们现学现用，更多考查阅读理解能力、应变能力和创新能力.定义：方程 是一元二次方程 的倒方程，其中a，b，c为常数(且a，c≠0).根据此定义解决下列问题：
(1)一元二次方程 的倒方程是 ;
(2)若x=-1是一元二次方程 0 的倒方程的解，求出 c 的值；
(3)若m 是一元二次方程 的倒方程的一个实数根，则 2 025的值为 .
题型2 与根的判别式结合
4.(2024·湖州一模)对于关于 x 的一元二次方程 的根的情况，有以下四种表述：
①当a<0,b+c>0,a+c<0时,方程一定没有实数根；
②当a<0,b+c>0,b-c<0时,方程一定有实数根；
③当a>0,a+b+c<0时,方程一定没有实数根；
④当a>0,b+4a=0,4a+2b+c=0时,方程一定有两个不相等的实数根.
其中表述正确的序号是（ ）.
A. ① B. ② C. ③ D. ④
5.(2025·云南昆明五华区期中)若关于 x 的方程 有两个相等的实数根，则 的值为 .
6.已知关于x 的一元二次方程 2k+2=0.
(1)求证：方程总有两个实数根；
(2)若方程有一根小于-3，求k 的取值范围.
7.已知一元二次方程 的一个根为2.
(1)求q 关于p的关系式；
(2)求证：方程 有两个不相等的实数根；
(3)若方程 有两个相等的实数根，求方程 的两根.
题型3 与根与系数的关系结合
8.(2025·江苏连云港灌南期中)有两个一元二次方程为A:ax + bx+c=0,B:cx + bx+a=0,其中a-c≠0，下列四个结论中，错误的是（ ）.
A.如果方程A 有两个不相等的实数根，那么方程 B 也有两个不相等的实数根
B.如果方程A 两根符号相同，那么方程B 的两根符号也相同
C.如果2是方程A 的一个根，那么 是方程B的一个根
D.如果方程A 和方程B 有一个相同的根，那么这个根必是1
9.整体思想(2025·江苏南京东南实验学校月考)若关于x的方程 的两根之和为p，两根之积为 q，则关于 y 的方程a(y- 的两根之积是 .
10.已知关于x的一元二次方程 3m+6=0的两根是一个矩形的两邻边的长.
(1)求证：不论实数m 取何值，方程总有实数根.
(2)当矩形的对角线长为5 时，求m 的值.
(3)当m 为何值时，矩形为正方形
11.若 为一元二次方程 0的根.
(1)方程的另外一个根β= ,t= ;
(2)求 的值；
(3)求作一个关于 y 的一元二次方程，使其二次项系数为1，且两根分别为α ,β .
专题提优特训3与一元二次方程的根有关的问题
1.2024 [解析]把x=-1代入方程 ,得a-b+2=0,所以a-b=-2,所以2022-a+b=2022-(a-b)=2022+2=2024.
2.把x=1代入方程,得a+b=20.
又a≠b,所以
思路引导 利用方程解的定义找到相等关系，再把所求的代数式化简后整理出关于所找到的相等关系的形式，最后把此相等关系整体代入所求代数式，即可求出代数式的值.
(2)由题意，得方程 的倒方程为 1=0,把x=-1代入方程,得c+2+1=0,∴c=-3.
(3)2025 [解析]由题意,得方程- 的倒方程为
∵m是方程. 的一个实数根，
2025=2025.
4. B [解析]①当a=-1,b=3,c=-2|时,满足a<0,b+c>0,a+c<0,此时.△=3 -4×(-1)×(-2)=1>0,即方程有两个不相等的实数根，故①错误；②∵b+c>0，b-c<0,∴c>0.∵a<0,∴-4ac>0,∴△=b -4ac>0,即方程有两个不相等的实数根，故②正确；③当a=1，b=-1，c=-1时,满足a>0,a+b+c<0,此时. 1-4×1×(-1)=5>0,即方程有两个不相等的实数根,故③错误;④∵a>0,b+4a=0,4a+2b+c=0,∴b= ，即方程有两个相等的实数根，故④错误.综上所述，正确的是②.故选B.
5.49 [解析]根据题意得
∴原式
6.(1)∵在方程 中，
1) ≥0，∴方程总有两个实数根.
∵方程有一根小于-3,∴k+1<-3,解得k<-4,
∴k的取值范围为k<-4.
7.(1)∵一元二次方程 的一个根为2，∴4+2p+q+1=0,∴q=-2p-5.
∴方程 有两个不相等的实数根.
(3)∵方程 有两个相等的实数根， ∴p=-4,q=3.
把p=-4,q=3代入 得 解得x=1或x=3.
8. D [解析]A.∵A:ax + bx+c=0,B:cx + bx+a=0,∴在方程 中 在方程 bx+a=0中,
∴如果方程A 有两个不相等的实数根，那么方程 B 也有两个不相等的实数根，故该选项正确；
B.由根与系数的关系可知：一元二次方程A、B的两根之积分别是c/a和a/c，∵它们符号相同，
∴如果方程A 有两根符号相同，那么方程B 的两根符号也相同，故该选项正确；
C.∵2是方程A 的一个根,∴4a+2b+c=0,
是方程B 的一个根，故该选项正确；
D. A-B得( 即
解得x=±1，故该选项错误.
故选 D.
9. q+p+1 [解析]设关于x的方程( 的两个根为x ,x ,则.
∴关于y的方程的两根为 →把(y-1)看作整体，作为未知数
p+1.
1 不论m取何值，
∴△≥0，∴不论实数m取何值，该方程总有实数根.
(2)设矩形的两边长分别为a，b，∴a，b是关于x的一元二次方程 的两根，
∵矩形的对角线长为 25,解得
∵a+b=m+5>0,即m>-5,∴m的值为2.
a，b需符合实际意义
(3)由题意，得△=[-(m+5)] -4×1×(3m+6)= 解得
矩形为正方形，即方程有两个相等的实根
故当m=1时，矩形为正方形.
(2)由(1)知 为一元二次方程 的根
3(1+α)+α(1+α)=1+3α+3+3α+α+α =1+3α+ β)+5=8×1+5=13.
∴二次项系数为1，两根分别为α ，β 的关于y的一元二次方程是