21.2.4 一元二次方程的根与系数的关系 同步提优训练（含答案） 2025-2026学年人教版九年级数学上册
文档属性
| 名称 | 21.2.4 一元二次方程的根与系数的关系 同步提优训练（含答案） 2025-2026学年人教版九年级数学上册 |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 41.9KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2025-09-17 10:00:02 | ||
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文档简介
一元二次方程的根与系数的关系
基础巩固提优
1. 教材P16例4·变式(2023·天津中考)若x ,x 是方程 的两个根，则（ ）.
2.(2024·绥化中考)小影与小冬一起写作业，在解一道一元二次方程时，小影在化简过程中写错了常数项，因而得到方程的两个根是6和1；小冬在化简过程中写错了一次项的系数，因而得到方程的两个根是-2和-5，则原来的方程是( ).
3.若关于x的一元二次方程. 两根为x ,x ,且. 则m的值为（ ）.
A. 4 B. 8 C. 12 D. 16
4.(2023·随州中考)已知关于x 的一元二次方程 的两个实数根分别为x 和x ,则. 的值为 .
5.已知关于x的一元二次方程 0有两个不相等的实数根.
(1)求k 的取值范围；
(2)若方程的两个根为α，β，且 求k 的值.
思维拓展提优
6.(2024·乐山中考)若关于x 的一元二次方程. 2x+p=0两根为x ,x ,且 则 p的值为（ ）.
B. C. - 6 D. 6
7.(2023·泸州中考)若一个菱形的两条对角线长分别是关于x的一元二次方程 0的两个实数根，且其面积为11，则该菱形的边长为（ ）.
A. B. 2
8.(2024·烟台中考)若一元二次方程 的两根为m，n，则 的值为 .
9.(2025·衡阳祁东育贤中学模拟)若关于x 的一元二次方程 有两个不同的实数根x ,x ,且 则m= .
10.(陕西西安交大附中少年班自主招生)已知关于x 的一元二次方程 的解为 an, bn,求 的值.
11.(2025·广东清远期中)已知平行四边形ABCD 的两边 AB，AD 的长是关于 x 的方程 的两个实数根.
(1)当 m 为何值时,四边形 ABCD 是菱形 求出这时菱形的边长.
(2)若AB 的长为2,则平行四边形 ABCD 的周长是多少
(3)若这个方程的两个实数根分别为x ,x ,且 求m 的值.
延伸探究提优
12.阅读材料：
材料1：关于x的一元二次方程 0(a≠0)的两个实数根x ,x 和系数a,b,c,有如下关系：
材料2：已知一元二次方程 的两个实数根分别为m，n，求 的值.
解：∵m，n是一元二次方程. 的两个实数根,∴m+n=1, mn=-1.
则 根据上述材料，结合你所学的知识，完成下列问题：
(1)应用：一元二次方程 的两个实数根为x ，x ，则
(2)类比：已知一元二次方程 0的两个实数根为m，n，求 的值；
(3)提升：已知实数s，t满足 且s≠t,求 的值.
中考提分新题
13.(2024·内江中考)已知关于x 的一元二次方程 (p为常数)有两个不相等的实数根x 和x .
(1)填空:
(2)求
(3)已知 求p 的值.
一元二次方程的根与系数的关系
1. A [解析]∵x ,x 是方程. 的两个根， 故选 A.
方法诠释 若x ，x 是一元二次方程 (a≠0)的两根,则 反过来也成立，即
2. B
3. C[解析]∵一元二次方程 的两根为x ， 故选C.
4.2[解析]∵关于x 的一元二次方程. 的两个实数根分别为x 和
5.(1)∵关于x的一元二次方程. 有两个不相等的实数根，。 -8+4k>0,解得k>2.
(2)∵方程的两个根为 解得 (舍去).
6. A[解析]∵关于x的一元二次方程. 两根为 即 解得 故选 A.
7. C[解析]设菱形的两条对角线长分别为a，b，∵菱形的面积=两条对角线乘积的一半， 即 ab=22.由题意，得 菱形的边长 故选C.
8.6[解析]∵一元二次方程 的两根为m，n，
[解析]∵关于x 的一元二次方程 0有两个不同的实数根 解得 当 时 不符合不要忘记检验此种情况是否存在
题意，舍去；当 时， 符合题意.综上，
的解为 an, bn,
中高考趋势 本题体现了新高考趋势中对数学核心素养的综合考查，包括代数变形、数列求和及逻辑推理能力等.结合二次方程、代数变形及数列求和，体现知识点的整合；通过裂项法简化求和，减少繁琐运算，强调逻辑推导；考查数学抽象、运算能力和模型思想，符合新高考对核心素养的重视.
11.(1)当AB=AD 时,四边形 ABCD 是菱形,即方程 的两个实数根相等，
解得m=1,
此时方程为 解得
∴这时菱形的边长为
(2)根据题意知 解得
∴平行四边形 ABCD 的周长是
入周长公式求解
(3)∵这个方程的两个实数根分别为x ，x ，
代入到( ，可得 解得
(2)∵一元二次方程 的两个实数根分别为m
运用完全平方公式变形
(3)∵实数 s,t 满足 ，且s≠t,∴s,t 是一元二次方程 的两个实数根
13.(1)p 1
∵关于x 的一元二次方程. (p为常数)有两个不相等的实数根x 和. 即
方程两边同时除以x ，x ≠0是前提
(3)由根与系数的关系得
，解得
当p=3时, ;当 p=-1时,△=
知识拓展 一元二次方程根与系数的关系可以解决以下问题：①不解方程，判断两个数是不是一元二次方程的两个根；②已知方程及方程的一个根，求另一个根及未知数；③不解方程求关于根的式子的值，如求 等等；④判断两根的符号；⑤求作新方程；⑥由给出的两根满足的条件，确定字母的取值.这类问题比较综合，解题时除了利用根与系数的关系，同时还要考虑a≠0，△≥0这两个前提条件.
基础巩固提优
1. 教材P16例4·变式(2023·天津中考)若x ,x 是方程 的两个根，则（ ）.
2.(2024·绥化中考)小影与小冬一起写作业，在解一道一元二次方程时，小影在化简过程中写错了常数项，因而得到方程的两个根是6和1；小冬在化简过程中写错了一次项的系数，因而得到方程的两个根是-2和-5，则原来的方程是( ).
3.若关于x的一元二次方程. 两根为x ,x ,且. 则m的值为（ ）.
A. 4 B. 8 C. 12 D. 16
4.(2023·随州中考)已知关于x 的一元二次方程 的两个实数根分别为x 和x ,则. 的值为 .
5.已知关于x的一元二次方程 0有两个不相等的实数根.
(1)求k 的取值范围；
(2)若方程的两个根为α，β，且 求k 的值.
思维拓展提优
6.(2024·乐山中考)若关于x 的一元二次方程. 2x+p=0两根为x ,x ,且 则 p的值为（ ）.
B. C. - 6 D. 6
7.(2023·泸州中考)若一个菱形的两条对角线长分别是关于x的一元二次方程 0的两个实数根，且其面积为11，则该菱形的边长为（ ）.
A. B. 2
8.(2024·烟台中考)若一元二次方程 的两根为m，n，则 的值为 .
9.(2025·衡阳祁东育贤中学模拟)若关于x 的一元二次方程 有两个不同的实数根x ,x ,且 则m= .
10.(陕西西安交大附中少年班自主招生)已知关于x 的一元二次方程 的解为 an, bn,求 的值.
11.(2025·广东清远期中)已知平行四边形ABCD 的两边 AB，AD 的长是关于 x 的方程 的两个实数根.
(1)当 m 为何值时,四边形 ABCD 是菱形 求出这时菱形的边长.
(2)若AB 的长为2,则平行四边形 ABCD 的周长是多少
(3)若这个方程的两个实数根分别为x ,x ,且 求m 的值.
延伸探究提优
12.阅读材料：
材料1：关于x的一元二次方程 0(a≠0)的两个实数根x ,x 和系数a,b,c,有如下关系：
材料2：已知一元二次方程 的两个实数根分别为m，n，求 的值.
解：∵m，n是一元二次方程. 的两个实数根,∴m+n=1, mn=-1.
则 根据上述材料，结合你所学的知识，完成下列问题：
(1)应用：一元二次方程 的两个实数根为x ，x ，则
(2)类比：已知一元二次方程 0的两个实数根为m，n，求 的值；
(3)提升：已知实数s，t满足 且s≠t,求 的值.
中考提分新题
13.(2024·内江中考)已知关于x 的一元二次方程 (p为常数)有两个不相等的实数根x 和x .
(1)填空:
(2)求
(3)已知 求p 的值.
一元二次方程的根与系数的关系
1. A [解析]∵x ,x 是方程. 的两个根， 故选 A.
方法诠释 若x ，x 是一元二次方程 (a≠0)的两根,则 反过来也成立，即
2. B
3. C[解析]∵一元二次方程 的两根为x ， 故选C.
4.2[解析]∵关于x 的一元二次方程. 的两个实数根分别为x 和
5.(1)∵关于x的一元二次方程. 有两个不相等的实数根，。 -8+4k>0,解得k>2.
(2)∵方程的两个根为 解得 (舍去).
6. A[解析]∵关于x的一元二次方程. 两根为 即 解得 故选 A.
7. C[解析]设菱形的两条对角线长分别为a，b，∵菱形的面积=两条对角线乘积的一半， 即 ab=22.由题意，得 菱形的边长 故选C.
8.6[解析]∵一元二次方程 的两根为m，n，
[解析]∵关于x 的一元二次方程 0有两个不同的实数根 解得 当 时 不符合不要忘记检验此种情况是否存在
题意，舍去；当 时， 符合题意.综上，
的解为 an, bn,
中高考趋势 本题体现了新高考趋势中对数学核心素养的综合考查，包括代数变形、数列求和及逻辑推理能力等.结合二次方程、代数变形及数列求和，体现知识点的整合；通过裂项法简化求和，减少繁琐运算，强调逻辑推导；考查数学抽象、运算能力和模型思想，符合新高考对核心素养的重视.
11.(1)当AB=AD 时,四边形 ABCD 是菱形,即方程 的两个实数根相等，
解得m=1,
此时方程为 解得
∴这时菱形的边长为
(2)根据题意知 解得
∴平行四边形 ABCD 的周长是
入周长公式求解
(3)∵这个方程的两个实数根分别为x ，x ，
代入到( ，可得 解得
(2)∵一元二次方程 的两个实数根分别为m
运用完全平方公式变形
(3)∵实数 s,t 满足 ，且s≠t,∴s,t 是一元二次方程 的两个实数根
13.(1)p 1
∵关于x 的一元二次方程. (p为常数)有两个不相等的实数根x 和. 即
方程两边同时除以x ，x ≠0是前提
(3)由根与系数的关系得
，解得
当p=3时, ;当 p=-1时,△=
知识拓展 一元二次方程根与系数的关系可以解决以下问题：①不解方程，判断两个数是不是一元二次方程的两个根；②已知方程及方程的一个根，求另一个根及未知数；③不解方程求关于根的式子的值，如求 等等；④判断两根的符号；⑤求作新方程；⑥由给出的两根满足的条件，确定字母的取值.这类问题比较综合，解题时除了利用根与系数的关系，同时还要考虑a≠0，△≥0这两个前提条件.
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