2025-2026学年数学九年级上册苏科版-第1章一元二次方程章末测试卷（含解析）

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2025-2026学年数学九年级上册苏科版-第1章一元二次方程章末测试卷
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．方程的二次项系数、一次项系数和常数项可以是（　　）
A．1，，4 B．1，3，4 C．1，， D．1，3，
2．一元二次方程的根为（ ）
A． B．1 C．1或 D．0
3．将一元二次方程配方后可化为（ ）
A． B． C． D．
4．关于一元二次方程的根的情况，下列说法正确的是（ ）
A．只有一个实数根 B．没有实数根
C．有两个相等的实数根 D．有两个不相等的实数根
5．若关于x的一元二次方程（a≠0）有一解为，则一元二次方程必有一解为（ ）
A． B． C． D．
6．某商店以每件元的价格购进一批商品，根据规定，每件商品的利润不得超过．若每件商品的售价定为元，则可卖出件．如果商店预期要盈利元，那么每件商品的售价应定为（ ）
A．20元 B．20.8元 C．20元或30元 D．30元
7．已知是一元二次方程的两个实数根，则代数式的值为（ ）
A．2021 B．2022 C．2023 D．2024
8．用因式分解法解下列方程，其中正确的是（ ）
A．，所以
B．，所以或
C．，所以或
D．，所以或
9．如图，有一块长、宽的长方形绿地．在绿地中开辟两条宽为的道路，使得，开辟道路后剩余绿地的面积为，则b的值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
10．定义新运算：，例如：．若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
11．若方程有解，则的取值范围是 ．
12．已知关于x的一元二次方程的一个根是，则m的值为 ．
13．已知是关于x的一元二次方程的两个实数根，其中，则 ．
14．根据下列表格的对应值，由此可判断方程必有一个解的取值范围是 ．
15．我国南宋数学家杨辉在《田亩比类乘除捷法》中提出这样一题：直田积八百六十四步，只云阔不及长十二步，问阔及长各几步．意思是矩形面积为864平方步，宽比长少12步，问宽和长各几步．矩形的宽为 步，长为 步．
16．如图，在中，，，点E从A点出发，沿射线运动，速度为，点F从点C出发，沿线段运动，速度为，连接．E、F两点同时出发，当点F到达点A时，点E也停止运动，请问经过 s后，的面积恰为．
三、解答题
17．计算：
(1)；
(2)．
18．若，是菱形两条对角线的长，且，是一元二次方程的两个根，求菱形的周长．
19．关于x的一元二次方程．
(1)当时，求方程的根；
(2)若方程有两个不相等的实数根，求c的取值范围．
20．某小商品批发市场的某件商品在今年9月份一共销售了3万件，销售量逐月增加，11月份一共销售了3.63万件，已知该商品月销售量的月平均增长率相同．求9月份到11月份该商品月销售量的月平均增长率．
21．某校计划在一块长为30米，宽为20米的矩形 地面上铺设同样宽的两条通路（图中阴影部分），设每条通路的宽为x米，剩余部分计划绿化，若绿化的面积为551平方米，求通路的宽x 的值．
22．小明在学习有关配方的知识时，发现一个有趣的现象：关于x的多项式，由于，所以当取任意一对互为相反数的数时，多项式的值是相等的，例如，当，即或1时，的值均为4：当，即或0时，的值均为7，于是小明给出一个定义：关于x的多项式，若当取任意一对互为相反数的数时，该多项式的值相等，就称该多项式关于对称，例如关于对称．
请结合小明的思考过程，运用此定义解决下列问题：
(1)多项式关于_______对称；若关于x的多项式关于对称，求n的值；
(2)若整式关于对称，求实数a的值．
《2025-2026学年数学九年级上册苏科版-第1章一元二次方程章末测试卷》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 D C A C A A D C C C
1．D
【分析】此题考查了一元二次方程的一般形式，将方程化为一般形式后，确定二次项系数、一次项系数和常数项即可．
【详解】解： 方程化为一般形式为
∴二次项系数、一次项系数和常数项是1，3，，
故选：D
2．C
【分析】本题考查了一元二次方程的解法，通过因式分解求解即可．
【详解】解：原方程可分解为，
解得或，
故选：C．
3．A
【分析】本题考查配方法，根据配方法的步骤，一除，二移，三配，四变形，进行求解即可．
【详解】解：，
，
，
∴；
故选A．
4．C
【分析】本题考查了根的判别式，通过计算判别式判断一元二次方程的根的情况即可．
【详解】解：由方程得：，，，
，
方程有两个相等的实数根，
故选：Ｃ．
5．A
【分析】本题考查了一元二次方程的解，将第二个方程变形，使其与原方程的结构一致，利用已知解代入求解．
【详解】解：原方程有一解，代入得．
将第二个方程整理为：，
，
令，则方程变为，
与原方程形式相同，则解相同．
则，即，解得．
因此，第二个方程必有一解为，
故选：A．
6．A
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，解一元二次方程的应用题，找准等量关系，正确列出方程并检验结果是否符合题意是解题的关键．
本题可根据利润的计算公式列出方程，再结合利润限制条件求解，设每件商品的售价应定为元，则利润为元，根据要盈利元，列方程求解．
【详解】解：设每件商品的售价应定为元，则利润为元，由题意得，
整理得
解得：
当时，
每件商品的利润不得超过．
不符合题意，舍去．
故每件商品的售价应定为元．
故选：A．
7．D
【分析】本题主要考查了一元二次方程的根与系数的关系，一元二次方程解的定义；
根据一元二次方程的根与系数的关系和一元二次方程解的定义得到，，再把原式变形为，由此代值计算即可．
【详解】解：已知是一元二次方程的两个实数根，
．
故选：D．
8．C
【分析】本题主要考查了因式分解法解一元二次方程，根据因式分解法解一元二次方程，逐项分析判断，即可求解．
根据因式分解法解方程的条件，方程右边必须化为，左边为两个因式乘积的形式，再令每个因式等于求解．
【详解】解：选项A：方程的右边为0，正确解法应为或，
但选项A仅提到，漏掉，步骤不完整，错误．
选项B：方程的右边非，不能直接令各因式等于3或4；需先移项整理为再分解，选项B方法错误．
选项C：方程的右边为0，
正确解法为：令各因式或，步骤正确．
选项D：方程的右边非，不能直接令各因式等于1；
需移项后重新分解，选项D方法错误．
故选：C．
9．C
【分析】本题考查了一元二次方程的实际应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题关键．
剩余部分可合成长为，宽为的长方形，结合且剩余绿地面积为5046平方米，列出等式求解.
【详解】．
依题意，得，
即，
整理，得，
解得（不符合题意，舍去）．
故的值为．
故选：C．
10．C
【分析】本题主要考查了已知一元二次方程根的情况求参数的取值范围，解题的关键是熟练掌握当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根．
先根据题目所给新定义运算法则，得出，再根据“该方程有两个不相等的实数根”得出，列出不等式求解即可．
【详解】解：∵，
∴，即，
∵该方程有两个不相等的实数根，
∴，
解得：．
故选：C．
11．
【分析】本题考查了解一元二次方程，根据完全平方数是非负数得到关于的不等式，解不等式即可求解，掌握完全平方数是非负数是解题的关键．
【详解】解：∵方程有解，
∴，
∴，
故答案为：．
12．2
【分析】此题考查了一元二次方程，熟知一元二次方程的解满足方程是解题的关键．
根据一元二次方程解的定义，把代入方程，即可解得m的值．
【详解】解：∵关于x的一元二次方程的一个根是，
∴，
∴．
故答案为：2．
13．
【分析】本题考查根与系数的关系，根据根与系数的关系得到，结合，进行求解即可，熟练掌握根与系数的关系，是解题的关键．
【详解】解：∵是关于x的一元二次方程的两个实数根，
∴，
∵，
∴；
故答案为：．
14．
【分析】本题考查了一元二次方程的解，根据表格数据解答即可求解，看懂表格数据是解题的关键．
【详解】解：由表可知，时，；当时，，
∴当时，必有一个解，
∴的取值范围是，
故答案为：．
15． 24 36
【分析】本题考查一元二次方程的实际应用．设长为 步，根据矩形面积864平方步，宽比长少12步，列出一元二次方程进行求解即可．找准等量关系，正确的列出方程，是解题的关键．
【详解】解：设矩形的长为x步，则矩形的宽为步．
由题意，得．
整理，得，
解得（不合题意，舍去），
，
矩形的宽为24步，长为36步．
故答案为：24；36．
16．4或6
【分析】本题考查了一元二次方程的应用．熟练掌握含30度的直角三角形性质，三角形面积公式，是解题关键．
设经过t秒后的面积恰为，过点F作于点D，求出，结合，根据三角形的面积公式列出方程求解．
【详解】解：设经过时间为，过点F作于点D，
∵在中，，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
解得或，
即经过或后，的面积恰为．
故答案为：4或6．
17．(1)
(2)
【分析】本题考查了解一元二次方程，能用恰当的方法求解是解题的关键．
（1）求出的值，再代入公式求出即可．
（2）分解因式，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可．
【详解】（1）解：，
则，
∴，
∴，
∴．
（2）解：，
，
∴，
∴．
18．
【分析】本题考查了菱形的性质、一元二次方程根与系数的关系及勾股定理，解题的关键是利用菱形对角线互相垂直平分的性质，结合根与系数的关系求出菱形的边长．
关键步骤：明确菱形对角线互相垂直平分，对角线的一半与菱形的边长构成直角三角形；由一元二次方程根与系数的关系得对角线之和与积；利用勾股定理求出菱形的边长，进而求出周长．
【详解】解：∵四边形是菱形，a，b是其两条对角线的长，
∴菱形的对角线互相垂直平分，菱形的边长为
∵a，b是一元二次方程的两个根，
∴由根与系数的关系得：，
则菱形的边长为：
．
∴菱形的周长为．
19．(1)
(2)
【分析】本题考查的是一元二次方程根的判别式，熟知一元二次方程的根与有如下关系：（1）当时，方程有两个不相等的两个实数根；（2）当时，方程有两个相等的实数根；（3）当时，方程无实数根是解题的关键．
（1）把代入一元二次方程，求出的值即可；
（2）根据一元二次方程根的判别式解答即可．
【详解】（1）解：∵，
∴方程可化为，
∴，
解得；
（2）解：∵方程有两个不相等的实数根，
∴，即，
解得：．
20．10%
【分析】本题考查了一元二次方程的应用（增长率问题），解题的关键是根据平均增长率的计算公式列出方程并求解．
设月平均增长率为x，根据9月销售量以及平均增长率，表示出11月销售量，列出方程求解．
【详解】由题意得：，
解得：，（不合题意，舍去）．
答：9月份到11月份该商品月销售量的月平均增长率为10%．
21．1
【分析】本题考查一元二次方程的应用，由平移性质得到平移道路后总种植花草的边长及形状是解决本题的突破点．
将横向和纵向的两条道路平移，表示出剩余的长和宽，然后根据面积列出方程即可．
【详解】解：根据题意得，
整理得，
解得∶， （不合题意，舍去）．
答：通路的宽x的值为1．
22．(1)1；
(2)
【分析】本题考查了配方法的应用．
（1）依据题意，读懂题目，仅需配方即可得解；依据题意，由多项式，又多项式关于对称，从而可以得解；
（2）将整式进行配方，然后根据定义可求解．
【详解】（1）解：∵，
∴多项式关于对称；
由题意得多项式，
∴多项式关于对称，
∵多项式关于对称，
∴，
∴；
故答案为：1，；
（2）解：
，
∴关于对称，
又∵关于对称，
∴．
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