3 正方形的性质与判定 第1课时 正方形的性质 教学课件 初中数学北师大版九年级上册

(共21张PPT)
第一章 特殊平行四边形
3 正方形的性质
第1课时 正方形的性质
第1课时 正方形的性质
情 境 导 入
生活中特殊的四边形
观察下面图形,正方形是我们熟悉的几何图形，在生活中无处不在.
图中的四边形都是特殊的平行四边形. 观察这些特殊的平行四边形，你能发现它们有什么样的共同特征？
生活中特殊的四边形
观察下面图形,正方形是我们熟悉的几何图形，在生活中无处不在.
你能总结出正方形的定义吗？
正方形定义：
有一组邻边相等，并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形.
生活中特殊的四边形
正方形既是矩形，又是菱形，它具有矩形与菱形的所有性质.
正方形的性质
（1）正方形是矩形吗？是菱形吗？
（2）你认为正方形具有哪些性质？与同伴交流.
四边形
平行四边形
矩形
菱形
正方形
相关图形性质的关系
平行四边形的性质
对边平行且相等
对角相等
对角线互相平分
菱形的性质
四条边相等
对角线互相垂直
四个角都是直角
对角线相等
矩形的性质
正方形的性质
正方形
菱形
矩形
探究正方形的性质
证一证
已知：如图,四边形ABCD是正方形.
求证：正方形ABCD四边相等,四个角都是直角.
证明：∵四边形ABCD是正方形.
∴∠A=90°, AB=AC （正方形的定义）.
又∵正方形是平行四边形.
∴正方形是矩形（矩形的定义）,
正方形是菱形(菱形的定义).
∴∠A=∠B =∠C =∠D = 90°,
AB= BC=CD=AD.
A
B
C
D
新 课 探 究
第1课时
正方形的性质
探究正方形的性质
证一证
已知：如图,四边形ABCD是正方形.对角线AC、BD相交于点O.求证：AO=BO=CO=DO,AC⊥BD.
A
B
C
D
O
证明：∵正方形ABCD是矩形,
∴AO=BO=CO=DO.
∵正方形ABCD是菱形.
∴AC⊥BD.
正方形有几条对称轴？
正方形既是轴对称图形，又是中心对称图形.
正方形有4条对称轴.
探究正方形的性质
例1.如图在正方形 ABCD 中，E 为CD上一点，F为BC边延长线上一点，且CE=CF.BE与DF之间有怎样的关系？请说明理由.
解：BE = DF, 且 BE⊥DF. 理由如下：
∵四边形 ABCD 是正方形,
∴BC = DC,∠BCE = 90°
（正方形的四条边都相等，四个角都是直角）.
∴∠DCF = 180°-∠BCE = 180°-90°= 90°.
∴∠BCE =∠DCF.
又∵CE = CF,
∴△BCE≌△DCF.
∴BE = DF.
探究正方形的性质
A
B
D
C
F
E
例1.如图在正方形 ABCD 中，E为CD上一点，F为BC边延长线上一点，且CE=CF.BE与DF之间有怎样的关系？请说明理由.
探究正方形的性质
A
B
D
C
F
E
延长 BE 交 DF 于点 M.
∵△BCE ≌ △DCF.
∴∠CBE = ∠CDF.
∵∠DCF = 90°.
∴∠CDF +∠F = 90°.
∴∠CBE +∠F = 90°.
∴∠BMF = 90°.
∴BE ⊥ DF.
平行四边形、菱形、矩形、正方形之间有么关系？你能用一个你喜欢的方式直观地表示它们之间的关系吗 ？与同伴交流.
探究正方形的性质
平行四边形
矩形
菱形
正方形
1. 如图正方形的边长为 , 点 ,分别是对角线上的两点 , , , , , 垂足分别为 , , , , 则图中阴影部分的面积等于____.
1
巩固练习
巩固练习
2.如图，在正方形 ABCD 中，对角线 AC 与 BD 相交于点 O，图中有多少个等腰三角形？
解：图中共有 8 个等腰三角形.
△OAB,△OBC,△OCD,△ODA,△ABC,△BCD,△CDA,△DAB
A
B
C
D
O
3. 如图，在正方形ABCD 中，点F 为对角线AC上一点,连接BF, DF.
你能找出图中的全等三角形吗？选择其中一对进行证明.
解：图中的全等三角形共有 3 对，
分别是 △ADC 与 △ABC,
△FCD与 △FCB,
△FAD 与 △FAB．
巩固练习
A
B
C
D
F
3. 如图，在正方形ABCD 中，点F 为对角线AC上一点,连接BF, DF.
你能找出图中的全等三角形吗？选择其中一对进行证明.
巩固练习
A
B
C
D
F
选择△FAD ≌△FAB 证明
过程如下：∵正方形ABCD,
∴AD = AB,∠DAF =∠BAF.
又∵AF = AF，
∴△FAD ≌△FAB.
正方形中的十字模型，存在相等和垂直的关系.
巩固练习
4. 如图, 四边形 是一个正方形花园，是它的两个门，且 . 要修建两条路和，，， ，， 这两条路等长吗 它们有什么位置关系 为什么
拓展延伸
5.如图，正方形的对角线，相交于点，又是正方形 的一个顶点，交于点，交于点.
证明： 四方形是正方形
，
,
.
在 和 中
.
（1） 求证：
拓展延伸
5.如图，正方形的对角线，相交于点，又是正方形 的一个顶点，交于点，交于点.
（2） 如果两个正方形的边长都为，那么这两个正方形重叠部分的面积为_ _____.

小结：注意此题中重叠部分的面积是一个定值.
课 堂 小 结
1、这节课你都学会了什么？
2、将你的所学形成网络框架.
第1课时 正方形的性质
正方形既是矩形，又是菱形，又是平行四边形，具有它们的所有性质.
四边形
平行四边形
矩形
菱形
正方形
THANK YOU