第1章一元二次方程能力提升卷（含解析）-2025-2026学年数学九年级上册苏科版

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第21章一元二次方程能力提升卷-2025-2026学年数学九年级上册苏科版
一、单选题
1．下列方程是一元二次方程的是（ ）
A． B．
C． D．
2．将一元二次方程化为一般形式为（ ）
A． B．
C． D．
3．已知关于的一元二次方程有一个非零根，则的值为（　　）
A． B． C． D．
4．方程的解是（ ）
A． B． C． D．
5．方程有解的条件是（ ）
A． B． C． D．
6．若方程中，a，b，c满足和，则方程的根是（ ）
A．0，4 B．0， C．，4 D．1，4
7．如果关于的一元二次方程的一个解是，则代数式的值为（ ）
A．2022 B．2023 C．2024 D．2025
8．若关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围为（　　）
A． B．且 C． D．且
9．定义运算：．例如：．则方程的根的情况为（ ）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．无实数根 D．只有一个实数根
10．股票每天的涨、跌幅均不超过，即当涨了原价的后，便不能再涨，叫涨停；当跌了原价的后，便不能再跌，叫跌停．已知一支股票某天跌停，之后两天时间又涨回到原价，若这两天此股票股价的平均增长率为，则满足的方程是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
11．已知关于的方程是一元二次方程，则 ．
12．小明在解方程时，只得出一个根，则被漏掉的一个根是 ．
13．若矩形的长和宽是方程的两根，则矩形的周长为 ．
14．若，则 ．
15．某校九年级准备以单循环（每两个班之间都进行一次比赛）的形式组织一次篮球比赛，这样共有15场比赛，则参赛球队有 个队．
16．小影与小冬一起写作业，在解一道二次项系数为1的一元二次方程时，小影在化简过程中写错了常数项，因而得到方程的两个根是6和1；小冬在化简过程中写错了一次项的系数，因而得到方程的两个根是和．原来的方程是 ．
三、解答题
17．解方程：
(1)；
(2)．
18．王老师在黑板上书写了一个正确的演算过程，随后用手掌遮住了一部分（如图）．
(1)当时，求手掌遮住的部分的值；
(2)若手掌遮住的部分为，求x的值．
19．已知关于x的一元二次方程．
(1)证明：不论m为何值，方程总有实数根；
(2)若方程的两个实数根为，且满足，求m的值．
20．某农场要建一个长方形的养鸡场，鸡场的一边靠墙（墙长25），另外三边用木栏围成，木栏长40，若养鸡场面积为，求鸡场两边的长分别是多少？
21．某市某楼盘准备以每平方米元的均价对外销售，由于国务院有关房地产的新政策出台后，购房者持币观望，房地产开发商为了加快资金周转，对价格经过两次下调后，决定以每平方米元的均价开盘销售．
(1)求平均每次下调的百分率；
(2)王先生准备以开盘价均价购买一套平方米的住房，开发商给予以下两种优惠方案：
①打折销售；
②不打折，一次性送装修费每平方米元，试问哪种方案更优惠
22．矩形的对角线相交于点．，．
(1)求证：四边形是菱形；
(2)若，菱形的面积为，求的长．
23．定义：如果关于x的一元二次方程（）有两个实数根，且其中一个根比另一个根大1，则称这样的方程为“邻根方程”．
(1)下列方程是“邻根方程”的是______（填序号）．
①；②；③；④．
(2)若方程是“邻根方程”，，是方程的两根，求：
①请求出k的值；
②求方程的两个根．
《第21章一元二次方程能力提升卷-2025-2026学年数学九年级上册苏科版》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 B B A D D C D B C A
1．B
【分析】本题考查了一元二次方程的定义，方程的两边都是整式，只含有一个未知数，并且化简后未知数的最高次数都是2的方程叫做一元二次方程．根据一元二次方程的定义逐项分析即可．
【详解】解：A．含2个未知数，不是一元二次方程，故不符合题意；
B．是一元二次方程，故符合题意；
C．的分母含未知数，不是一元二次方程，故不符合题意；
D．是多项式，不是一元二次方程，故不符合题意；
故选：B．
2．B
【分析】本题考查了一元二次方程的一般形式，熟记一元二次方程的一般形式为是解题的关键．
将方程移项即可得到一元二次方程的一般形式．
【详解】解：一元二次方程化为一般形式为，
故选：B．
3．A
【分析】本题主要考查了一元二次方程的解，解题的关键是把已知方程的根直接代入方程进而解决问题．由于关于的一元二次方程有一个非零根，那么代入方程中即可得到，再将方程两边同时除以即可求解．
【详解】解：∵于的一元二次方程有一个非零根，
∴，
∵，
∴方程两边同时除以，得，
∴；
故选：A ．
4．D
【分析】本题考查解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的方法是解题的关键．先移项，再利用因式分解法解一元二次方程即可．
【详解】解：，
移项，得，
因式分解，得，
即，
得或，
解得：，
故选：D．
5．D
【分析】本题考查了利用平方根解方程，因为在中，左边是一个平方数，总是大于等于，即大于等于解答即可．
【详解】解：由可得，
∴，
故选：D．
6．C
【分析】本题考查了一元二次方程的根，熟练掌握一元二次方程的根的定义是解题的关键．
根据当时，；当时，作答即可．
【详解】解：∵把代入得：，
∴方程的一个解是，
∵把代入得：，
∴方程的一个解是．
故选：C．
7．D
【分析】根据题意，是方程的解，得，化简代入计算即可．
本题考查了方程的根，求代数式的值，熟练掌握方程的根是解题的关键．
【详解】解：∵是方程的解，
∴，
∴，
∴，
故选：D．
8．B
【分析】此题考查了根的判别式，根据题意可得，然后结合即可求解，解题的关键是熟练掌握一元二次方程根的判别式，当方程有两个不相等的实数根时，；当方程有两个相等的实数根时，；当方程没有实数根时，．
【详解】解：∵关于的一元二次方程有实数根，
∴，
解得：，
∵，
∴的取值范围是且，
故选：．
9．C
【分析】本题考查根的判别式，根据新定义运算法则以及一元二次方程的判别式即可求出答案．
【详解】解：由题意可知：，
∴，
∴没有实数根，
故选：C．
10．A
【分析】本题主要考查了增长率的定义及由实际问题抽象出一元二次方程的知识，这道题的关键在于理解：价格上涨后是原来价格的倍．股票一次跌停就跌到原来价格的，再从的基础上涨到原来的价格，且涨幅只能，所以至少要经过两天的上涨才可以．设平均每天涨，第一天涨为，第二天涨为，据题意列出方程．
【详解】解：设这两天此股票股价的平均增长率为
∴，
即，
故选：A．
11．
【分析】本题考查了一元二次方程的定义，方程的两边都是整式，只含有一个未知数，并且整理后未知数的最高次数都是2，像这样的方程叫做一元二次方程．
根据一元二次方程的定义作答即可．
【详解】解：∵关于的方程是一元二次方程，
∴，，
即，，
∴
故答案为：．
12．
【分析】本题主要考查了解一元二次方程，解题的关键是掌握因式分解法．
利用因式分解法解一元二次方程即可．
【详解】解：
∴或，
∴或，
∴被漏掉的一个根是，
故答案为：．
13．24
【分析】本题重点考查的是一元二次方程根与系数的关系，矩形的周长，掌握知识点是解题的关键．
设矩形的长宽分别为x、y，根据一元二次方程的根与系数的关系进行解答即可．
【详解】解：设矩形的长宽分别为x、y，
∵矩形的长和宽是方程的两根，
∴根据一元二次方程的根与系数的关系得到
，
∴矩形周长为．
故答案为：24．
14．
【分析】本题考查了分式值为的条件，因式分解法解一元二次方程，根据题意可得，解方程即可求解．
【详解】解：依题意，
∴或，且
∴
故答案为：．
15．6
【分析】本题考查一元二次方程的实际运用．设参赛球队有x个队，根据题意，列出方程，即可求解．
【详解】解：设参赛球队有x个队，根据题意得：
，
解得：（舍去），
答：参赛球队有6个队．
故答案为：6
16．
【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，根据题意得出原方程中，即可求解．
【详解】解：根据题意设一元二次方程为：，
∵小影在化简过程中写错了常数项，得到方程的两个根是6和1；
∴，即，
又∵小冬写错了一次项的系数，因而得到方程的两个根是．
∴，
原来的方程是，
故答案为：
17．(1)，
(2)，
【分析】本题主要考查了解一元二次方程，灵活的选择解一元二次方程的方法是解题的关键．
（1）利用配方法解题即可；
（2）利用因式分解法解题即可．
【详解】（1）解：
，；
（2）解：
或
，
18．(1)13
(2)
【分析】本题考查代数式求值，解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的方法，是解题的关键：
（1）把代入代数式进行计算即可；
（2）利用因式分解法解方程即可．
【详解】（1）解：当时，；
（2）由题意，，
整理，得：，
∴，
解得：．
19．(1)证明见解析
(2)或．
【分析】本题考查的是一元二次方程根的判别式，一元二次方程根与系数的关系，熟练地运用“根的判别式证明方程的实数根的情况，利用根与系数的关系求解参数的值”是解本题的关键．
（1）计算判别式的值得到，利用非负数的意义得到，然后根据判别式得到结论；
（2）利用根与系数的关系得到，将变形为，然后解关于m的方程即可．
【详解】（1）证明：∵ ，
不论为何值时，方程总有实数根；
（2）解：根据题意得，
∵即： ，
∴，
解得，
∴m的值为或．
20．
【分析】本题考查一元二次方程的应用：首先设出鸡场宽为米，长为米，然后根据矩形的面积长宽，用未知数x表示出鸡场的面积，根据面积为列出方程，解方程即可；
【详解】设宽为米，长米，
根据题意得：，
解得：，，
由得，
故，
∴鸡场靠墙的一边长为：（m）．
∴鸡场两边的长分别是．
21．(1)
(2)方案②更优惠
【分析】本题主要考查一元二次方程的实际应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解．
()设出平均每次下调的百分率为，第一次下调后 的价格为元，第二次下调后的价格为元，根据已知销售价格列方程解答即可．
()分别计算两种方案的优惠价格，比较后发现更优惠方案即可．
【详解】（1）解：设平均每次下调的百分率为，
第一次下调后的价格为元，第二次下调后的价格为元，
根据题意，可列方程：
，
，
当时，，
当时，（下调百分率不能大于，舍去），
所以，平均每次下调的百分率为．
（2）方案①：
住房面积是平方米，开盘均价为每平方米元，打折销售，
那么总房款为：(元) ；
方案②：
不打折，一次性送装修费每平方米元，
那么实际支付款为： (元)
∵，
∴方案②更优惠．
22．(1)见解析
(2)
【分析】本题考查了菱形的判定和性质，矩形的性质，30度角的性质，解一元二次方程．
（1）根据对边平行得四边形是平行四边形，由原矩形对角线相等且互相平分得，所以四边形是菱形；
（2）连接对角线，根据菱形对角线平分面积得出的面积是菱形面积的一半，设，根据中位线性质求出的长，根据三角形面积公式列方程解出即可．
【详解】（1）证明：∵，，
四边形是平行四边形，
四边形是矩形，
，，，
，
是菱形；
（2）解：，
，
连接，交于，则，，
∵矩形
∴
∵，
∴
∴设，则，
∴
，，
，
，
，
，
．
23．(1)②④
(2)①，②，
【分析】本题考查了解一元二次方程、一元二次方程根与系数的关系．
（1）分别求得①②③中两个方程的根，再根据“邻根方程”的定义判断即可；
（2）①利用根与系数的关系和“邻根方程”的定义列出关于k的方程求解即可；
②利用，即可求得、．
【详解】（1）解：①解方程得，，
∵，
∴方程不是“邻根方程”；
②解方程得，，
∵，
∴方程是“邻根方程”；
③解方程得，，
∵，
∴方程不是“邻根方程”；
④解方程得，，
∵，
∴方程是“邻根方程”．
故答案为：②④；
（2）解：①∵方程是“邻根方程”， 、是方程的两根，
∴，，，
∵，
∴，
解得；
②∵方程是“邻根方程”，、是方程的两根，
∴，，
解得，．
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